Bulmaca, yalnızca sayısal bir değerle karakterize edilen bir değerdir. Tamamen sayısal değerleri ile belirlenen miktarlar

Rastgele DEĞERLER VE DAĞILIMI YASALARI.

Rastgele rastgele durumların birleşimine bağlı olarak değerler alan nicelik olarak adlandırılır. Ayırt etmek ayrık ve rastgele sürekli miktarları.

ayrık Sayılabilir bir değerler kümesi alıyorsa bir miktar denir. ( Örnek: doktor muayenehanesindeki hasta sayısı, sayfa başına harf sayısı, belirli bir ciltteki molekül sayısı).

sürekli belli bir aralık içinde değer alabilen nicelik denir. ( Örnek: hava sıcaklığı, vücut ağırlığı, insan boyu vb.)

dağıtım yasası Rastgele bir değişken, bu miktarın bir dizi olası değeri ve bu değerlere karşılık gelen olasılıklar (veya oluşma sıklığı).

ÖRNEK:

Rastgele değişkenlerin sayısal özellikleri.

Çoğu durumda, rastgele bir değişkenin dağılımı ile birlikte veya onun yerine, bu nicelikler hakkında bilgi, adı verilen sayısal parametrelerle sağlanabilir. rastgele bir değişkenin sayısal özellikleri . Bunlardan en sık kullanılanları:

1 .Beklenen değer - (ortalama değer), bir rastgele değişkenin tüm olası değerlerinin çarpımlarının ve bu değerlerin olasılıklarının toplamıdır:

2 .Dağılım rastgele değişken:

3 .Standart sapma :

ÜÇ İŞARET - bir rastgele değişken normal yasaya göre dağıtılırsa, bu değerin mutlak değerdeki ortalama değerden sapması standart sapmanın üç katını geçmez.

Gauss yasası - normal dağılım yasası

Genellikle dağıtılmış değerler vardır normal hukuk (Gauss yasası). ana özellik : diğer dağıtım yasalarının yaklaştığı sınırlayıcı yasadır.

Rastgele bir değişken, aşağıdaki durumlarda normal olarak dağıtılır: olasılık yoğunluğu şuna benziyor:

M(X) - rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisi;

 - standart sapma.

Olasılık Yoğunluğu (dağılım fonksiyonu) aralıkla ilgili olasılığın nasıl değiştiğini gösterir. dx değişkenin değerine bağlı olarak rastgele değişken:

Matematiksel istatistiklerin temel kavramları

Matematik istatistikleri - olasılık teorisine doğrudan bitişik bir uygulamalı matematik dalı. Matematiksel istatistik ve olasılık teorisi arasındaki temel fark, matematiksel istatistiklerin dağıtım yasaları ve rastgele değişkenlerin sayısal özellikleri üzerindeki eylemleri değil, bu yasaları ve deneysel sonuçlara dayalı sayısal özellikleri bulmak için yaklaşık yöntemleri dikkate almasıdır.

Temel konseptler matematiksel istatistikler:

Genel popülasyon;

örneklem;

varyasyon serisi;

moda;

medyan;

yüzdelik,

frekans poligonu,

grafik çubuğu.

Nüfus - araştırma için bazı nesnelerin seçildiği büyük bir istatistiksel popülasyon

(Örnek: bölgenin tüm nüfusu, şehrin üniversite öğrencileri vb.)

Örnek (örnek popülasyon) - genel popülasyondan seçilen bir dizi nesne.

Varyasyon serisi - değişkenlerden (rastgele bir değişkenin değerleri) ve bunlara karşılık gelen frekanslardan oluşan istatistiksel dağılım.

Örnek:

x - rastgele bir değişkenin değeri (10 yaşındaki kızların kütlesi);

m - oluşma sıklığı.

Moda - en yüksek oluşum sıklığına karşılık gelen rastgele değişkenin değeri. (Yukarıdaki örnekte 24 kg moda için en yaygın değerdir: m = 20).

Medyan - dağılımı ikiye bölen rastgele bir değişkenin değeri: değerlerin yarısı medyanın sağında, yarısı (daha fazla değil) - solda.

Örnek:

1, 1, 1, 1, 1. 1, 2, 2, 2, 3 , 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7 , 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8 , 8, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10

Örnekte, rastgele bir değişkenin 40 değerini gözlemliyoruz. Tüm değerler, oluşum sıklığı dikkate alınarak artan sırada düzenlenmiştir. 40 değerin 20'sinin (yarısının) seçilen değer 7'nin sağında yer aldığı görülebilir. Yani 7 medyandır.

Saçılımı karakterize etmek için, ölçüm sonuçlarının %25'inden ve %75'inden yüksek olmayan değerleri buluyoruz. Bu değerler 25. ve 75. olarak adlandırılır. yüzdelikler . Medyan dağılımı ikiye bölerse, 25. ve 75. yüzdelik dilimler ondan dörtte bir oranında kesilir. (Bu arada, medyanın kendisi 50. yüzdelik dilim olarak kabul edilebilir.) Örnekten de görebileceğiniz gibi, 25. ve 75. yüzdelikler sırasıyla 3 ve 8'dir.

kullanmak ayrık (nokta) istatistiksel dağılım ve sürekli (aralık) istatistiksel dağılım.

Anlaşılır olması için istatistiksel dağılımlar grafiksel olarak şu şekilde gösterilmiştir: frekans poligonu veya - histogramlar .

Frekans poligonu - segmentleri noktaları koordinatlarla birleştiren kesik bir çizgi ( x 1 , m 1 ), (x 2 , m 2 ), ..., yada ... için bağıl frekansların çokgeni - koordinatlarla ( x 1 ,R * 1 ), (x 2 ,R * 2 ), ...(Şek.1).

mm i / nf(x)

x x

Şekil.1 Şekil.2

Frekans histogramı - bir düz çizgi üzerine inşa edilmiş bir dizi bitişik dikdörtgen (Şekil 2), dikdörtgenlerin tabanları aynı ve eşittir dx , ve yükseklikler frekansın oranına eşittir dx , veya R * ile dx (olasılık yoğunluğu).

Örnek:

71, Rastgele değişkenlerin sayısal özellikleri güvenilirlik göstergelerini hesaplamak için pratikte yaygın olarak kullanılmaktadır. Pek çok uygulama sorununda, bir rastgele değişkeni tamamen, kapsamlı bir şekilde karakterize etmeye gerek yoktur. Rastgele bir değişkenin dağılımının temel özelliklerini bir dereceye kadar karakterize eden yalnızca sayısal parametreleri belirtmek genellikle yeterlidir, örneğin: kastetmek , rastgele değişkenin olası değerlerinin gruplandırıldığı; rastgele bir değişkenin dağılımını karakterize eden sayı ortalama değere göre, vb. Rastgele bir değişkenin en önemli özelliklerini sıkıştırılmış bir biçimde ifade etmeye izin veren sayısal parametrelere, bir rastgele değişkenin sayısal özellikleri denir.

a) b)

Pirinç. 11 Beklentinin tanımı

Güvenilirlik teorisinde kullanılan rastgele değişkenlerin sayısal özellikleri Tablo'da verilmiştir. bir.

72, Beklenti(ortalama değer) olası değerleri aralığa ait olan sürekli bir rastgele değişken , belirli bir integraldir (Şek., 11, b)

. (26)

Matematiksel beklenti, integral fonksiyonunun tümleyeni olarak ifade edilebilir. Bunu yapmak için, (11)'i (26) yerine koyarız ve elde edilen ifadeyi parçalar halinde bütünleştiririz.

, (27)

çünkü ve , sonra

. (28)

Olası değerleri aralığa ait olan negatif olmayan rastgele değişkenler için , formül (28) şeklini alır

. (29)

yani, olası değerleri aralığa ait olan negatif olmayan bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi , integral fonksiyonunun tamamlayıcısının grafiğinin altındaki alana sayısal olarak eşittir (Şekil, 11, a).

73,İstatistiksel bilgilere göre ilk arızaya kadar geçen ortalama süre formül tarafından belirlenir

, (30)

ilk başarısızlık zamanı nerede i-inci nesne; N- test edilen nesnelerin sayısı.

Benzer şekilde ortalama kaynak, ortalama hizmet ömrü, ortalama geri kazanım süresi, ortalama raf ömrü belirlenir.

74, Rastgele bir değişkenin beklenen değeri etrafında saçılması kullanılarak değerlendirildi standart sapma dağılımı(RMS) ve varyasyon katsayısı.

Sürekli bir rasgele değişken X'in dağılımı, rasgele değişkenin matematiksel beklentisinden karesi alınmış sapmanın matematiksel beklentisidir ve formülle hesaplanır.

. (31)

Dağılım her zaman uygun olmayan rastgele bir değişkenin karesinin boyutuna sahiptir.

75, Standart sapma rasgele değişken, varyansın kare köküdür ve rasgele değişkenin boyutuna sahiptir

. (32)

76, Varyasyon katsayısı rastgele bir değişkenin dağılımının göreli bir göstergesidir ve standart sapmanın matematiksel beklentiye oranı olarak tanımlanır.

. (33)

77, Gama - rastgele bir değişkenin yüzde değeri- verilen olasılığa karşılık gelen rastgele değişkenin değeri rastgele değişkenin daha büyük bir değer aldığı

. (34)

78, Gama - rastgele bir değişkenin yüzde değeri, integral işlevi, tamamlayıcısı ve diferansiyel işlevi ile belirlenebilir (Şekil 12). Rastgele bir değişkenin gama yüzde değeri, olasılık niceliğidir (Şekil 12, a)

. (35)

Güvenilirlik teorisi kullanır kaynağın gama yüzde değeri, hizmet ömrü ve raf ömrü(Tablo 1). Gama yüzdesi kaynak, hizmet ömrü, raf ömrü, belirli bir türdeki nesnelerin bir yüzdesine sahip olan (ve aşan).

a) b)

Şekil 12 Rastgele bir değişkenin gama yüzde değerinin belirlenmesi

Gama yüzde kaynağı karakterize eder dayanıklılık seçilen seviyede yıkılmama olasılığı. Gama yüzdesi kaynağı, nesnelerin sorumluluğu dikkate alınarak atanır. Örneğin, rulmanlı rulmanlar için en sık %90 kaynak kullanılır, en kritik nesnelerin rulmanları için %95 ve üzeri bir kaynak seçilir ve arıza hayati tehlike arz ediyorsa bu kaynak %100'e yaklaşır.

79, rastgele bir değişkenin medyanı gama yüzde değeri . ortanca için rastgele değişkenin olması eşit derecede olasıdır T bundan daha fazla veya daha az, yani .

Geometrik olarak medyan, integral dağılım fonksiyonunun ve onun tamamlayıcısının kesişme noktasının apsisidir (Şekil 12, b). Medyan, diferansiyel fonksiyonun ordinatının dağılım eğrisi tarafından sınırlanan alanı ikiye böldüğü noktanın apsisi olarak yorumlanabilir (Şekil, 12, içinde).

Bir rastgele değişkenin medyanı, güvenilirlik teorisinde kaynağın, hizmet ömrünün, raf ömrünün sayısal bir özelliği olarak kullanılır (Tablo 1).

Nesnelerin güvenilirlik göstergeleri arasında işlevsel bir ilişki vardır. Fonksiyonlardan birinin bilgisi
diğer güvenilirlik göstergelerini belirlemenizi sağlar. Güvenilirlik göstergeleri arasındaki ilişkilerin bir özeti Tablo'da verilmiştir. 2.

Tablo 2. Güvenilirlik göstergeleri arasındaki fonksiyonel ilişki

Birçok pratik problemi çözerken, rastgele bir değişkeni tamamen karakterize etmek, yani dağılım yasalarını belirlemek her zaman gerekli değildir. Ek olarak, sürekli bir rastgele değişken için ayrık ve yoğunluk için bir fonksiyonun veya bir dizi dağılımın oluşturulması hantal ve gereksizdir.

Bazen dağılımın özelliklerini kısmen karakterize eden bireysel sayısal parametreleri belirtmek yeterlidir. Olası değerinin etrafında gruplandırıldığı her rastgele değişkenin bazı ortalama değerlerini veya bu değerlerin ortalamaya göre dağılım derecesini vb. bilmek gerekir.

Dağılımın en önemli özelliklerinin özelliklerine sayısal özellikler denir. rastgele değişken. Onların yardımıyla, onlar için dağıtım yasalarını belirlemeden birçok olasılık probleminin çözümü kolaylaştırılır.

Rastgele bir değişkenin gerçek eksen üzerindeki konumunun en önemli özelliği, beklenen değer M[X]= bir, buna bazen rastgele değişkenin ortalama değeri denir. İçin ayrık rastgele değişken X ile olası değerler x 1 , x 2 , … , x n ve olasılıklar p 1 , p 2 ,… , p n formül tarafından belirlenir

=1 olduğuna göre yazabiliriz.

Böylece, matematiksel beklenti Kesikli bir rastgele değişken, olası değerlerinin ve olasılıklarının ürünlerinin toplamıdır.Çok sayıda deneyle rastgele bir değişkenin gözlenen değerlerinin aritmetik ortalaması, matematiksel beklentisine yaklaşır.

İçin sürekli rastgele değişken X matematiksel beklenti toplam tarafından belirlenmez, ancak integral

nerede f(x) - miktar dağılım yoğunluğu x.

Tüm rastgele değişkenler için matematiksel beklenti mevcut değildir. Bazıları için toplam veya integral birbirinden uzaklaşır ve bu nedenle bir beklenti yoktur. Bu durumlarda, doğruluk nedenleriyle, rastgele değişkendeki olası değişikliklerin aralığı sınırlandırılmalıdır. x, bunun için toplam veya integral yakınsar.

Uygulamada, rastgele bir değişkenin konumunun mod ve medyan gibi özellikleri de kullanılır.

rastgele modaen olası değeri denir. Genel durumda, mod ve matematiksel beklenti örtüşmez.

Rastgele bir değişkenin medyanıX, rastgele bir değişkenin daha büyük veya daha küçük bir değerini elde etme olasılığının eşit olduğu değeridir., yani bu, dağılım eğrisi tarafından sınırlanan alanın ikiye bölündüğü noktanın apsisidir. Simetrik bir dağılım için, üç özelliğin tümü aynıdır.

Matematiksel beklenti, mod ve medyana ek olarak, olasılık teorisinde her biri dağılımın belirli bir özelliğini tanımlayan diğer özellikler de kullanılır. Örneğin, rastgele bir değişkenin dağılımını karakterize eden, yani olası değerlerinin matematiksel beklenti etrafında ne kadar yakın gruplandığını gösteren sayısal özellikler, varyans ve standart sapmadır. Rastgele değişkeni önemli ölçüde tamamlarlar, çünkü pratikte genellikle eşit matematiksel beklentilere sahip, ancak farklı dağılımlara sahip rastgele değişkenler vardır. Saçılma özellikleri belirlenirken rastgele değişken arasındaki fark X ve matematiksel beklentisi, yani.

nerede a = M[X] - beklenen değer.

Bu fark denir merkezli rastgele değişken, karşılık gelen değer x, ve belirtilen :

Rastgele bir değişkenin varyansı bir değerin matematiksel beklentisinden sapmasının karesinin matematiksel beklentisidir, yani:

D[ X]=A[( X-a) 2 ] veya

D[ X]=A[ 2 ].

Rastgele bir değişkenin varyansı, rastgele bir değişkenin değerlerinin matematiksel beklentisi etrafında dağılması ve dağılmasının uygun bir özelliğidir. Ancak, rastgele bir değişkenin karesi boyutuna sahip olduğu için görünürlükten yoksundur.

Saçılmanın görsel bir karakterizasyonu için, boyutu rastgele bir değişkeninkiyle çakışan bir nicelik kullanmak daha uygundur. Bu değer standart sapma varyansının pozitif karekökü olan rastgele değişken.

Matematiksel beklenti, mod, medyan, varyans, standart sapma - rastgele değişkenlerin en sık kullanılan sayısal özellikleri. Pratik problemleri çözerken, dağıtım yasasını belirlemek imkansız olduğunda, rastgele bir değişkenin yaklaşık bir açıklaması, dağılımın bazı özelliklerini ifade eden sayısal özellikleridir.

Merkezin dağılımının (beklenti) ve dağılımın (dağılımın) ana özelliklerine ek olarak, genellikle dağılımın diğer önemli özelliklerini tanımlamak gerekir - simetri ve keskinlik dağıtım anları kullanılarak temsil edilebilir.

Tüm momentleri biliniyorsa, rastgele bir değişkenin dağılımı tamamen verilir. Bununla birlikte, birçok dağılım, yalnızca dağılımları tanımlayan parametreler değil, aynı zamanda ampirik dağılımların seçiminde, yani belirli bir istatistiksel an için anların sayısal değerlerinin hesaplanmasında da önemli olan ilk dört an kullanılarak tam olarak tanımlanabilir. seriler ve özel grafikler kullanılarak dağıtım kanunu belirlenebilir.

Olasılık teorisinde iki tür an ayırt edilir: ilk ve merkezi.

k. mertebenin ilk anı rastgele değişken T miktarın matematiksel beklentisi denir xk , yani

Bu nedenle, kesikli bir rastgele değişken için toplam ile ifade edilir.

ve sürekli - integral için

Rastgele bir değişkenin başlangıç ​​anları arasında matematiksel beklenti olan birinci mertebenin momenti özellikle önemlidir. Daha yüksek mertebeden başlangıç ​​momentleri esas olarak merkezi momentleri hesaplamak için kullanılır.

k. mertebenin merkezi momenti rastgele değişken, değişkenin matematiksel beklentisi olarak adlandırılır ( X - M [X])k

nerede a = M[X].

Kesikli bir rastgele değişken için toplam ile ifade edilir.

a sürekli - integral için

Rastgele bir değişkenin merkezi momentleri arasında, ikinci dereceden merkezi moment, rastgele değişkenin varyansını temsil eder.

Birinci dereceden merkezi moment her zaman sıfırdır.

Üçüncü ilk an dağılımın asimetrisini (çarpıklığını) karakterize eder ve ayrık ve sürekli rastgele değişkenler için gözlem sonuçlarına göre karşılık gelen ifadelerle belirlenir:

Rastgele bir değişkenin küp boyutuna sahip olduğundan boyutsuz bir özellik elde etmek için, m3 standart sapma ile üçüncü güce bölünür

Ortaya çıkan değere asimetri katsayısı denir ve işarete bağlı olarak pozitifi karakterize eder ( Olarak> 0) veya negatif ( Olarak< 0) dağılımın çarpıklığı (Şekil 2.3).

"Fiziksel büyüklüklerin ölçü birimleri" - Mutlak hata, ölçüm cihazının ölçek bölümünün yarısına eşittir. Mikrometre. Sonuç doğrudan ölçüm cihazı ile elde edilir. Kutu uzunluğu: 4 cm kısa, 5 cm üstü. Her fiziksel nicelik için karşılık gelen ölçüm birimleri vardır. İzlemek. Göreceli hata.

“Uzunluk değerleri” - 2. Hangi nicelikler birbiriyle karşılaştırılabilir: 2. Aşağıdaki problemin neden toplama kullanılarak çözüldüğünü açıklayın: 2. Problemi çözerken eylem seçimini gerekçelendirin. Kaç paket aldın? Bu kutulardan üçünde kaç kalem var? Elbiseler 12 m kumaştan dikildi, her biri 4 m harcandı, kaç elbise dikildi?

"Fiziksel nicelikler" - Fizik ve diğer doğa bilimlerini ayıran sınırlar tarihsel olarak koşulludur. Herhangi bir ölçümün sonucu her zaman bir miktar hata içerir. Yeni Konu. Hız. Telefon etkileşimi. Fiziksel yasalar, matematik dilinde ifade edilen nicel oranlar şeklinde sunulur. Ölçüm hatası.

1. sınıf matematik dersi “Değer ölçme sonucu sayı” - “Değer ölçme sonucu sayı” matematik dersi. Bir kıstas ile bir parçanın uzunluğunu ölçmek.

"Sayılar ve miktarlar" - Kütle kavramı ile tanışma. Ölçüsüz kütlelerin karşılaştırılması. Roma yazılı numaralandırma. Kapasite. Öğrenci şunları öğrenecektir: Sayılar ve nicelikler (30 saat) Koordinat ışını Koordinat ışını kavramı. Planlanan konu sonuçları 2. sınıf "Sayılar ve miktarlar" bölümündedir. Çalışılan sayılar içinde kardinal sayıların oluşumunun genel prensibi.

"Talebin büyüklüğü" - Talepteki değişikliklerin nedenleri. Grafikte elde edilen DD eğrisine (İngilizce talepten - "talep") talep eğrisi denir. Esnek talep (Epd>1). Talep miktarı. Talebi etkileyen faktörler. Talep edilen miktarın fiyat düzeyine bağımlılığına talep ölçeği denir. Kesinlikle esnek olmayan talep (Epd=0).

Beklenen değer. matematiksel beklenti Ayrık rassal değişken X sonlu sayıda değer alan Xi olasılıklarla Ri, toplamı denir:

matematiksel beklenti sürekli rastgele değişken X değerlerinin çarpımının integrali denir X olasılık dağılım yoğunluğu üzerine f(x):

(6b)

Yanlış integral (6 b) mutlak yakınsak olduğu varsayılır (aksi takdirde beklentinin M(X) bulunmuyor). Matematiksel beklenti karakterize eder kastetmek rastgele değişken X. Boyutu, rastgele bir değişkenin boyutuyla örtüşür.

Matematiksel beklentinin özellikleri:

Dağılım. dağılım rastgele değişken X numara aranır:

dağılım saçılma özelliği rastgele bir değişkenin değerleri X ortalama değerine göre M(X). Varyansın boyutu, rastgele değişkenin karesinin boyutuna eşittir. Kesikli bir rastgele değişken için varyans (8) ve matematiksel beklenti (5) ve sürekli bir rastgele değişken için (6) matematiksel beklentiye dayalı olarak, varyans için benzer ifadeler elde ederiz:

(9)

Burada m = M(X).

Dağılım özellikleri:

Standart sapma:

(11)

Standart sapmanın boyutu rastgele bir değişkenin boyutuyla aynı olduğundan, dağılım ölçüsü olarak kullanılan varyanstan daha sık görülür.

dağıtım anları. Matematiksel beklenti ve varyans kavramları, rastgele değişkenlerin sayısal özellikleri için daha genel bir kavramın özel durumlarıdır - dağıtım anları. Bir rastgele değişkenin dağılım momentleri, bir rastgele değişkenin bazı basit fonksiyonlarının matematiksel beklentileri olarak tanıtılır. Yani sipariş anı k noktaya göre X 0 beklenti denir M(X–X 0 )k. Orijine göre anlar X= 0 denir ilk anlar ve işaretlenir:

(12)

Birinci derecenin ilk anı, dikkate alınan rastgele değişkenin dağıtım merkezidir:

(13)

Dağıtım merkezine göre anlar X= m aranan merkezi anlar ve işaretlenir:

(14)

(7)'den birinci mertebenin merkezi momentinin her zaman sıfıra eşit olduğu sonucu çıkar:

Merkezi momentler, sabit bir değerde bir kayma olduğu için rastgele değişkenin değerlerinin kökenine bağlı değildir. İTİBAREN dağıtım merkezi aynı değerle kaydırılır İTİBAREN ve merkezden sapma değişmez: X – m = (X – İTİBAREN) – (m – İTİBAREN).
Şimdi açıkça görülüyor ki dağılım- bu ikinci dereceden merkezi moment:

Asimetri. Üçüncü derecenin merkezi momenti:

(17)

değerlendirmeye hizmet eder dağılım çarpıklığı. Dağılım nokta etrafında simetrik ise X= m, o zaman üçüncü mertebenin merkezi momenti sıfıra eşit olacaktır (tek sıraların tüm merkezi momentlerinin yanı sıra). Bu nedenle, üçüncü mertebenin merkezi momenti sıfırdan farklıysa, dağılım simetrik olamaz. Asimetrinin büyüklüğü boyutsuz kullanılarak tahmin edilir. asimetri katsayısı:

(18)

Asimetri katsayısının (18) işareti, sağ veya sol taraflı asimetriyi gösterir (Şekil 2).

Pirinç. 2. Dağılımların asimetri türleri.

AŞIRI. Dördüncü mertebenin merkezi momenti:

(19)

sözde değerlendirmek için hizmet vermektedir Basıklık normal dağılım eğrisine göre dağıtım merkezine yakın dağılım eğrisinin diklik (nokta) derecesini belirleyen . Normal dağılım için basıklık olarak alınan miktar:

(20)

Şek. 3, farklı basıklık değerlerine sahip dağılım eğrilerinin örneklerini gösterir. Normal dağılım için E= 0. Normalden daha sivri olan eğriler pozitif basıklığa sahiptir ve daha düz tepe noktaları olan eğriler negatif basıklığa sahiptir.

Pirinç. 3. Farklı derecelerde diklik (basıklık) ile dağılım eğrileri.

Matematiksel istatistiklerin mühendislik uygulamalarında yüksek dereceli momentler genellikle kullanılmaz.

Moda ayrık rastgele değişken en olası değeridir. Moda sürekli rastgele bir değişken, olasılık yoğunluğunun maksimum olduğu değeridir (Şekil 2). Dağılım eğrisinin bir maksimumu varsa, dağılım denir. tek modlu. Dağılım eğrisinin birden fazla maksimumu varsa dağılım denir. polimodal. Bazen eğrileri maksimum değil, minimum olan dağılımlar vardır. Bu tür dağılımlara denir antimodal. Genel durumda, bir rastgele değişkenin modu ve matematiksel beklentisi örtüşmez. Özel bir durumda, için modal, yani bir mod, simetrik bir dağılıma sahip olmak ve matematiksel bir beklenti olması koşuluyla ikincisi, dağılımın modu ve simetri merkezi ile çakışmaktadır.

Medyan rastgele değişken X onun anlamı mı Ben, bunun için eşitlik geçerlidir: yani. rasgele değişken olması eşit derecede olasıdır X daha az veya daha fazla olacak Ben. Geometrik olarak medyan dağılım eğrisi altında kalan alanın ikiye bölündüğü noktanın apsisidir (Şekil 2). Simetrik bir mod dağılımı durumunda, medyan, mod ve ortalama aynıdır.