Križaljka je vrijednost koju karakterizira samo brojčana vrijednost. Veličine koje su potpuno određene svojom numeričkom vrijednošću

SLUČAJNE VRIJEDNOSTI I ZAKONI NJIHOVE DISTRIBUCIJE.

Slučajno naziva se veličina koja poprima vrijednosti ovisno o kombinaciji slučajnih okolnosti. razlikovati diskretna i nasumično stalan količinama.

Diskretna Količina se naziva ako ima prebrojiv skup vrijednosti. ( Primjer: broj pacijenata u liječničkoj ordinaciji, broj slova po stranici, broj molekula u određenom volumenu).

stalan naziva se veličina koja može poprimiti vrijednosti unutar određenog intervala. ( Primjer: temperatura zraka, tjelesna težina, ljudska visina itd.)

zakon distribucije Slučajna varijabla je skup mogućih vrijednosti te veličine i, odgovarajućih tim vrijednostima, vjerojatnosti (ili učestalosti pojavljivanja).

PRIMJER:

Numeričke karakteristike slučajnih varijabli.

U mnogim slučajevima, uz distribuciju slučajne varijable ili umjesto nje, informaciju o tim veličinama mogu dati numerički parametri tzv. numeričke karakteristike slučajne varijable . Najčešće korišteni od njih:

1 .Očekivana vrijednost - (prosječna vrijednost) slučajne varijable je zbroj umnožaka svih njezinih mogućih vrijednosti​​i vjerojatnosti tih vrijednosti:

2 .Disperzija nasumična varijabla:

3 .Standardna devijacija :

TRI ZNAKA - ako je slučajna varijabla raspodijeljena prema normalnom zakonu, tada odstupanje te vrijednosti od srednje vrijednosti u apsolutnoj vrijednosti ne prelazi tri puta standardnu ​​devijaciju

Gaussov zakon – zakon normalne distribucije

Često postoje vrijednosti raspoređene normalno pravo (Gaussov zakon). glavna značajka : to je ograničavajući zakon kojem se približavaju drugi zakoni raspodjele.

Slučajna varijabla je normalno distribuirana ako je njezina gustoća vjerojatnosti izgleda kao:

M(X) - matematičko očekivanje slučajne varijable;

 - standardna devijacija.

Gustoća vjerojatnosti (funkcija distribucije) pokazuje kako se mijenja vjerojatnost povezana s intervalom dx slučajna varijabla, ovisno o vrijednosti same varijable:

Osnovni pojmovi matematičke statistike

Matematička statistika - grana primijenjene matematike, neposredno susjedna teoriji vjerojatnosti. Glavna razlika između matematičke statistike i teorije vjerojatnosti je u tome što matematička statistika ne razmatra djelovanje na zakone distribucije i numeričke karakteristike slučajnih varijabli, već približne metode za pronalaženje tih zakona i numeričkih karakteristika na temelju eksperimentalnih rezultata.

Osnovni koncepti matematička statistika je:

Opća populacija;

uzorak;

serije varijacija;

moda;

medijan;

postotak,

frekvencijski poligon,

Grafikon.

Populacija - velika statistička populacija iz koje se odabiru neki od objekata istraživanja

(Primjer: cjelokupno stanovništvo regije, studenti grada itd.)

Uzorak (uzorak populacije) - skup objekata odabranih iz opće populacije.

Varijacijski nizovi - statistička distribucija, koja se sastoji od varijanti (vrijednosti slučajne varijable) i njihovih odgovarajućih frekvencija.

Primjer:

x - vrijednost slučajne varijable (masa djevojčica od 10 godina);

m - učestalost pojavljivanja.

Moda – vrijednost slučajne varijable koja odgovara najvećoj učestalosti pojavljivanja. (U gornjem primjeru, 24 kg je najčešća vrijednost za modu: m = 20).

Medijan - vrijednost slučajne varijable koja raspodjelu dijeli na pola: polovica vrijednosti nalazi se desno od medijana, polovica (ne više) - lijevo.

Primjer:

1, 1, 1, 1, 1. 1, 2, 2, 2, 3 , 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7 , 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8 , 8, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10

U primjeru promatramo 40 vrijednosti slučajne varijable. Sve vrijednosti poredane su uzlaznim redoslijedom, uzimajući u obzir učestalost njihovog pojavljivanja. Može se vidjeti da se 20 (polovica) od 40 vrijednosti nalazi desno od odabrane vrijednosti 7. Dakle, 7 je medijan.

Da bismo okarakterizirali raspršenje, nalazimo vrijednosti koje nisu veće od 25 i 75% rezultata mjerenja. Ove vrijednosti se nazivaju 25. i 75 percentili . Ako medijan prepolovi distribuciju, tada su 25. i 75. percentil odsječeni za četvrtinu. (Usput, sam medijan se može smatrati 50. percentilom.) Kao što možete vidjeti iz primjera, 25. i 75. percentil su 3 odnosno 8.

koristiti diskretna (točkasta) statistička distribucija i stalan (intervalna) statistička distribucija.

Radi preglednosti, statističke distribucije prikazane su grafički u obrascu frekvencijski poligon ili - histogrami .

Frekvencijski poligon - izlomljena linija čiji segmenti povezuju točke s koordinatama ( x 1 , m 1 ), (x 2 , m 2 ), ..., ili za poligon relativnih frekvencija - s koordinatama ( x 1 ,R * 1 ), (x 2 ,R * 2 ), ...(Sl. 1).

mm ja / nf(x)

x x

sl.1 sl.2

Histogram učestalosti - skup susjednih pravokutnika izgrađenih na jednoj ravnoj liniji (slika 2), osnovice pravokutnika su iste i jednake dx , a visine su jednake omjeru frekvencije prema dx , ili R * do dx (gustoća vjerojatnosti).

Primjer:

71, Numeričke karakteristike slučajnih varijabli naširoko se koriste u praksi za izračunavanje pokazatelja pouzdanosti. U mnogim pitanjima prakse nema potrebe potpuno, iscrpno karakterizirati slučajnu varijablu. Često je dovoljno navesti samo numeričke parametre koji u određenoj mjeri karakteriziraju bitna obilježja distribucije slučajne varijable, na primjer: značiti , u blizini koje su grupirane moguće vrijednosti slučajne varijable; broj koji karakterizira disperziju slučajne varijable u odnosu na prosječnu vrijednost itd. Numerički parametri koji omogućuju izražavanje u komprimiranom obliku najznačajnijih značajki slučajne varijable nazivaju se numeričke karakteristike slučajne varijable.

a) b)

Riža. 11 Definicija očekivanja

Numeričke karakteristike slučajnih varijabli koje se koriste u teoriji pouzdanosti dane su u tablici. jedan.

72, Očekivanje(srednja vrijednost) kontinuirane slučajne varijable čije moguće vrijednosti pripadaju intervalu , je određeni integral (Sl., 11, b)

. (26)

Matematičko očekivanje može se izraziti u smislu komplementa integralne funkcije. Da bismo to učinili, zamijenimo (11) u (26) i integriramo po dijelovima dobiveni izraz

, (27)

jer i , onda

. (28)

Za nenegativne slučajne varijable čije moguće vrijednosti pripadaju intervalu , formula (28) ima oblik

. (29)

tj. matematičko očekivanje nenegativne slučajne varijable čije moguće vrijednosti pripadaju intervalu , brojčano je jednaka površini ispod grafa komplementa integralne funkcije (Sl., 11, a).

73, Srednje vrijeme do prvog kvara prema statističkim podacima određuje se formulom

, (30)

gdje je vrijeme za prvi neuspjeh ja-th objekt; N- broj ispitanih objekata.

Slično se određuje prosječni resurs, prosječni vijek trajanja, prosječno vrijeme oporavka, prosječni vijek trajanja.

74, Raspršenje slučajne varijable oko njezine očekivane vrijednosti procijenjeno korištenjem standardna devijacija disperzije(RMS) i koeficijent varijacije.

Disperzija kontinuirane slučajne varijable X je matematičko očekivanje kvadrata odstupanja slučajne varijable od njenog matematičkog očekivanja i izračunava se formulom

. (31)

Disperzija ima dimenziju kvadrata slučajne varijable, što nije uvijek zgodno.

75, Standardna devijacija slučajna varijabla je kvadratni korijen varijance i ima dimenziju slučajne varijable

. (32)

76, Koeficijent varijacije je relativni pokazatelj disperzije slučajne varijable i definiran je kao omjer standardne devijacije i matematičkog očekivanja

. (33)

77, Gama - postotna vrijednost slučajne varijable- vrijednost slučajne varijable koja odgovara zadanoj vjerojatnosti da slučajna varijabla poprimi vrijednost veću od

. (34)

78, Gama - postotna vrijednost slučajne varijable može se odrediti integralnom funkcijom, njezinim komplementom i diferencijalnom funkcijom (slika 12). Vrijednost gama postotka slučajne varijable je kvantil vjerojatnosti (slika 12, a)

. (35)

Teorija pouzdanosti koristi gama postotna vrijednost resursa, životni vijek i rok trajanja(Stol 1). Gama postotak naziva se resurs, vijek trajanja, vijek trajanja, koji ima (i premašuje) postotak objekata date vrste.

a) b)

Slika 12 Određivanje vrijednosti gama postotka slučajne varijable

Gama postotni resurs karakterizira izdržljivost na odabranoj razini vjerojatnost neuništenja. Gama-postotni resurs dodjeljuje se uzimajući u obzir odgovornost objekata. Primjerice, za kotrljajuće ležajeve najčešće se koristi resurs od 90%, za ležajeve najkritičnijih objekata odabire se resurs od 95% i više, približavajući ga 100% ako je kvar opasan po život.

79, Medijan slučajne varijable je njegova gama postotna vrijednost na . Za medijan jednako je vjerojatno da će slučajna varijabla biti T više ili manje od njega, tj.

Geometrijski, medijan je apscisa sjecišta funkcije integralne distribucije i njenog komplementa (Sl. 12, b). Medijan se može tumačiti kao apscisa točke u kojoj ordinata diferencijalne funkcije prepolovljuje područje ograničeno krivuljom distribucije (Sl., 12, u).

Medijan slučajne varijable koristi se u teoriji pouzdanosti kao numerička karakteristika resursa, vijeka trajanja, vijeka trajanja (Tablica 1).

Postoji funkcionalni odnos između pokazatelja pouzdanosti objekata. Poznavanje jedne od funkcija
omogućuje određivanje drugih pokazatelja pouzdanosti. Sažetak odnosa između pokazatelja pouzdanosti dan je u tablici. 2.

Tablica 2. Funkcionalni odnos između pokazatelja pouzdanosti

Pri rješavanju mnogih praktičnih problema nije uvijek potrebno potpuno karakterizirati slučajnu varijablu, tj. odrediti zakone raspodjele. Osim toga, konstrukcija funkcije ili niza distribucija za diskretnu i gustoću - za kontinuiranu slučajnu varijablu je glomazna i nepotrebna.

Ponekad je dovoljno navesti pojedinačne numeričke parametre koji djelomično karakteriziraju značajke distribucije. Potrebno je znati neku prosječnu vrijednost svake slučajne varijable, oko koje se grupira njena moguća vrijednost, ili stupanj disperzije tih vrijednosti u odnosu na prosjek, itd.

Obilježja najznačajnijih obilježja distribucije nazivaju se numeričkim obilježjima nasumična varijabla. Uz njihovu pomoć olakšava se rješavanje mnogih probabilističkih problema bez određivanja zakona raspodjele za njih.

Najvažnija karakteristika položaja slučajne varijable na realnoj osi je očekivana vrijednost M[x]= a, koja se ponekad naziva srednja vrijednost slučajne varijable. Za diskretna slučajna varijabla X sa moguće vrijednosti x 1 , x 2 , … , x n i vjerojatnosti str 1 , str 2 ,… , p n određuje se formulom

S obzirom da je =1, možemo napisati

Na ovaj način, matematičko očekivanje Diskretna slučajna varijabla je zbroj proizvoda njenih mogućih vrijednosti i njihovih vjerojatnosti. Aritmetička sredina opaženih vrijednosti slučajne varijable s velikim brojem eksperimenata približava se njezinom matematičkom očekivanju.

Za kontinuirana slučajna varijabla X matematičko očekivanje nije određeno zbrojem, već sastavni

gdje f(x) - gustoća distribucije količine x.

Matematičko očekivanje ne postoji za sve slučajne varijable. Za neke od njih zbroj, odnosno integral, divergira, pa stoga nema očekivanja. U tim slučajevima, zbog točnosti, treba ograničiti raspon mogućih promjena u slučajnoj varijabli x, za koje će suma ili integral konvergirati.

U praksi se također koriste takve karakteristike položaja slučajne varijable kao mod i medijan.

Slučajna modanaziva se njegova najvjerojatnija vrijednost. U općem slučaju, mod i matematičko očekivanje se ne podudaraju.

Medijan slučajne varijableX je njegova vrijednost, s obzirom na koju je jednako vjerojatno da će se dobiti veća ili manja vrijednost slučajne varijable, tj. ovo je apscisa točke u kojoj je površina omeđena krivuljom raspodjele podijeljena na pola. Za simetričnu distribuciju sve tri karakteristike su iste.

Uz matematičko očekivanje, modu i medijan, u teoriji vjerojatnosti koriste se i druge karakteristike od kojih svaka opisuje određeno svojstvo distribucije. Na primjer, numeričke karakteristike koje karakteriziraju disperziju slučajne varijable, tj. koje pokazuju koliko su njezine moguće vrijednosti grupirane oko matematičkog očekivanja, jesu varijanca i standardna devijacija. One značajno nadopunjuju slučajnu varijablu, jer u praksi često postoje slučajne varijable s jednakim matematičkim očekivanjima, ali različitim distribucijama. Pri određivanju karakteristika raspršenja razlika između slučajne varijable x i njegovo matematičko očekivanje, tj.

gdje a = M[x] - očekivana vrijednost.

Ova razlika se zove centriranu slučajnu varijablu, odgovarajuća vrijednost x, i označeno :

Varijanca slučajne varijable je matematičko očekivanje kvadrata odstupanja vrijednosti od njezinog matematičkog očekivanja, tj.

D[ x]=M[( X-a) 2 ], ili

D[ x]=M[ 2 ].

Varijanca slučajne varijable je prikladna karakteristika disperzije i disperzije vrijednosti slučajne varijable oko njenog matematičkog očekivanja. Međutim, on je lišen vidljivosti, budući da ima dimenziju kvadrata slučajne varijable.

Za vizualnu karakterizaciju raspršenja prikladnije je koristiti veličinu čija se dimenzija podudara s onom slučajne varijable. Ova vrijednost je standardna devijacija slučajna varijabla koja je pozitivan kvadratni korijen njezine varijance.

Matematičko očekivanje, mod, medijan, varijanca, standardna devijacija - najčešće korištene numeričke karakteristike slučajnih varijabli. Pri rješavanju praktičnih problema, kada je nemoguće odrediti zakon distribucije, približan opis slučajne varijable je njezina numerička karakteristika, izražavajući neko svojstvo distribucije.

Osim glavnih karakteristika distribucije centra (očekivanja) i disperzije (disperzije), često je potrebno opisati i druge bitne karakteristike distribucije - simetrija i oštrina,što se može prikazati pomoću distribucijskih momenata.

Distribucija slučajne varijable je potpuno dana ako su poznati svi njeni momenti. Međutim, mnoge se distribucije mogu u potpunosti opisati pomoću prva četiri momenta, koji nisu samo parametri koji opisuju distribucije, već su važni i pri izboru empirijskih distribucija, odnosno izračunavanjem numeričkih vrijednosti momenata za danu statističku serije i pomoću posebnih grafova može se odrediti zakon raspodjele.

U teoriji vjerojatnosti razlikuju se dvije vrste momenata: početni i središnji.

Početni moment k-tog reda nasumična varijabla T naziva se matematičko očekivanje količine X k, tj.

Stoga se za diskretnu slučajnu varijablu izražava zbrojem

a za kontinuirani – integralni

Među početnim momentima slučajne varijable posebno je važan moment prvog reda, a to je matematičko očekivanje. Za izračunavanje središnjih momenata uglavnom se koriste početni momenti višeg reda.

Centralni moment k-tog reda slučajna varijabla naziva se matematičko očekivanje varijable ( X - M [x])k

gdje a = M[X].

Za diskretnu slučajnu varijablu izražava se zbrojem

a za kontinuirano – integralno

Među središnjim momentima slučajne varijable je centralni moment drugog reda, koji predstavlja varijancu slučajne varijable.

Centralni moment prvog reda uvijek je nula.

Treći početni trenutak karakterizira asimetriju (iskrivljenost) distribucije i, prema rezultatima promatranja za diskretne i kontinuirane slučajne varijable, određuje se odgovarajućim izrazima:

Budući da ima dimenziju kocke slučajne varijable, da bi se dobila bezdimenzijska karakteristika, m 3 podijeljeno standardnom devijacijom na treću potenciju

Rezultirajuća vrijednost naziva se koeficijent asimetrije i, ovisno o predznaku, karakterizira pozitivan ( Kao> 0) ili negativno ( Kao< 0) asimetrija distribucije (sl. 2.3).

"Mjerne jedinice fizikalnih veličina" - Apsolutna pogreška jednaka je polovici podjeka mjernog instrumenta. Mikrometar. Rezultat se dobiva izravno s mjernim uređajem. Duljina kutije: 4 cm kratka, 5 cm preko. Za svaku fizikalnu veličinu postoje odgovarajuće mjerne jedinice. Gledati. Relativna greška.

“Vrijednosti duljina” - 2. Koje se veličine mogu međusobno uspoređivati: 2. Objasniti zašto se sljedeći zadatak rješava zbrajanjem: 2. Opravdati izbor radnje pri rješavanju zadatka. Koliko ste paketa dobili? Koliko je olovaka u tri od ovih kutija? Haljine su sašivene od 12 m tkanine, a za svaku je utrošeno 4 m. Koliko je haljina sašiveno?

"Fizikalne veličine" - Granice koje razdvajaju fiziku od ostalih prirodnih znanosti povijesno su uvjetovane. Rezultat svakog mjerenja uvijek sadrži neku grešku. Nova tema. Ubrzati. Telefonska interakcija. Fizikalni zakoni prikazani su u obliku kvantitativnih omjera izraženih jezikom matematike. Greška mjerenja.

“Broj kao rezultat mjerenja vrijednosti” - “Broj kao rezultat mjerenja vrijednosti” sat matematike u 1. razredu. Mjerenje duljine odsječka mjerilom.

„Brojevi i količine“ – Upoznavanje s pojmom mase. Usporedba masa bez mjerenja. Rimsko pisano numeriranje. Kapacitet. Polaznik će naučiti: Brojeve i količine (30 sati) Koordinatni zrak Pojam koordinatni zrak. Planirani predmetni rezultati u dijelu "Brojevi i količine" u 2. razredu. Opći princip formiranja kardinalnih brojeva unutar proučavanih brojeva.

"Magnituda potražnje" - Uzroci promjena u potražnji. DD krivulja dobivena na grafikonu (od engleske potražnje - "potražnja") naziva se krivulja potražnje. Elastična potražnja (Epd>1). Količina potražnje. Čimbenici koji utječu na potražnju. Ovisnost tražene količine o razini cijena naziva se ljestvica potražnje. Apsolutno neelastična potražnja (Epd=0).

Očekivana vrijednost. matematičko očekivanje diskretna slučajna varijabla x, koji ima konačan broj vrijednosti xja s vjerojatnostima Rja, naziva se suma:

matematičko očekivanje kontinuirana slučajna varijabla x naziva se integral umnoška njegovih vrijednosti x na gustoću distribucije vjerojatnosti f(x):

(6b)

Nepravilan integral (6 b) pretpostavlja se da je apsolutno konvergentan (inače kažemo da je očekivanje M(x) ne postoji). Matematičko očekivanje karakterizira značiti nasumična varijabla x. Njegova dimenzija koincidira s dimenzijom slučajne varijable.

Svojstva matematičkog očekivanja:

Disperzija. disperzija nasumična varijabla x broj se zove:

Disperzija je karakteristika rasipanja vrijednosti slučajne varijable x u odnosu na njegovu prosječnu vrijednost M(x). Dimenzija varijance jednaka je dimenziji kvadrata slučajne varijable. Na temelju definicija varijance (8) i matematičkog očekivanja (5) za diskretnu slučajnu varijablu i (6) za kontinuiranu slučajnu varijablu, dobivamo slične izraze za varijancu:

(9)

Ovdje m = M(x).

Disperzijska svojstva:

Standardna devijacija:

(11)

Budući da je dimenzija standardne devijacije ista kao kod slučajne varijable, ona se češće od varijance koristi kao mjera disperzije.

distribucijski momenti. Koncepti matematičkog očekivanja i varijance posebni su slučajevi općenitijeg koncepta za numeričke karakteristike slučajnih varijabli - distribucijski momenti. Momenti raspodjele slučajne varijable uvode se kao matematička očekivanja nekih jednostavnih funkcija slučajne varijable. Dakle, trenutak reda k u odnosu na točku x 0 se naziva očekivanje M(x–x 0 )k. Trenuci u odnosu na ishodište x= 0 nazivaju se početni trenuci i označeni su:

(12)

Početni trenutak prvog reda je distribucijski centar razmatrane slučajne varijable:

(13)

Trenuci u odnosu na distribucijski centar x= m nazvao središnjim trenucima i označeni su:

(14)

Iz (7) slijedi da je središnji moment prvog reda uvijek jednak nuli:

Središnji momenti ne ovise o podrijetlu vrijednosti slučajne varijable, jer s pomakom za konstantnu vrijednost IZ njegov centar raspodjele pomaknut je za istu vrijednost IZ, a odstupanje od centra se ne mijenja: x – m = (x – IZ) – (m – IZ).
Sada je očito da disperzija- ovo je središnji moment drugog reda:

Asimetrija. Centralni moment trećeg reda:

(17)

služi za ocjenjivanje asimetrija distribucije. Ako je distribucija simetrična u odnosu na točku x= m, tada će središnji moment trećeg reda biti jednak nuli (kao i svi središnji momenti neparnih redova). Stoga, ako je središnji moment trećeg reda različit od nule, tada distribucija ne može biti simetrična. Veličina asimetrije procjenjuje se korištenjem bezdimenzionalnog koeficijent asimetrije:

(18)

Predznak koeficijenta asimetrije (18) označava desnu ili lijevu asimetriju (slika 2).

Riža. 2. Vrste asimetrije distribucija.

Višak. Centralni moment četvrtog reda:

(19)

služi za ocjenu tzv kurtosis, koji određuje stupanj strmosti (šiljastosti) krivulje distribucije u blizini središta distribucije u odnosu na krivulju normalne distribucije. Budući da je za normalnu distribuciju količina uzeta kao kurtoza:

(20)

Na sl. 3 prikazuje primjere distribucijskih krivulja s različitim vrijednostima kurtoze. Za normalnu raspodjelu E= 0. Krivulje koje su šiljatije od normalne imaju pozitivnu kurtozu, a krivulje s više ravnih vrhova imaju negativnu kurtozu.

Riža. 3. Krivulje raspodjele s različitim stupnjevima strmine (kurtosis).

Trenuci višeg reda u inženjerskim primjenama matematičke statistike obično se ne koriste.

Moda diskretna slučajna varijabla je njegova najvjerojatnija vrijednost. Moda stalan slučajna varijabla je njezina vrijednost pri kojoj je gustoća vjerojatnosti najveća (slika 2). Ako krivulja distribucije ima jedan maksimum, tada se distribucija naziva unimodalni. Ako krivulja distribucije ima više od jednog maksimuma, tada se naziva distribucija polimodalni. Ponekad postoje distribucije čije krivulje nemaju maksimum, već minimum. Takve se raspodjele nazivaju antimodalni. U općem slučaju modus i matematičko očekivanje slučajne varijable se ne podudaraju. U konkretnom slučaju, za modalni, tj. ima modus, simetričnu distribuciju, a pod uvjetom da postoji matematičko očekivanje, ono se poklapa s modusom i središtem simetrije distribucije.

Medijan nasumična varijabla x je njegovo značenje Mi, za koje vrijedi jednakost: tj. jednako je vjerojatno da slučajna varijabla x bit će manje ili više Mi. Geometrijski medijan je apscisa točke u kojoj je površina ispod krivulje distribucije podijeljena na pola (slika 2). U slučaju simetrične modalne distribucije, medijan, mod i srednja vrijednost su isti.