Ristsõna on väärtus, mida iseloomustab ainult arvväärtus. Kogused, mis on täielikult määratud nende arvväärtusega

JUHUSLIKUD VÄÄRTUSED JA NENDE JAOTAMISE SEADUSED.

Juhuslik nimetatakse suuruseks, mis võtab väärtusi sõltuvalt juhuslike asjaolude kombinatsioonist. Eristama diskreetne ja juhuslikult pidev kogused.

Diskreetne Kogust nimetatakse siis, kui see võtab loendatava väärtuste hulga. ( Näide: patsientide arv arstikabinetis, tähtede arv leheküljel, molekulide arv antud mahus).

pidev nimetatakse suuruseks, mis võib teatud intervalli jooksul väärtusi võtta. ( Näide:õhutemperatuur, kehakaal, inimese pikkus jne)

jaotusseadus Juhuslik suurus on selle suuruse võimalike väärtuste kogum ja nendele väärtustele vastavad tõenäosused (või esinemissagedused).

NÄIDE:

Juhuslike suuruste arvulised karakteristikud.

Paljudel juhtudel koos juhusliku suuruse jaotusega või selle asemel saab nende suuruste kohta teavet anda numbriliste parameetritega nn. juhusliku suuruse arvkarakteristikud . Kõige sagedamini kasutatavad neist:

1 .Oodatud väärtus - juhusliku suuruse (keskmine väärtus) on kõigi selle võimalike väärtuste ja nende väärtuste tõenäosuste korrutised:

2 .Dispersioon juhuslik muutuja:

3 .Standardhälve :

KOLM SIGMI - kui juhuslik suurus on jaotatud normaalseaduse järgi, siis selle väärtuse hälve absoluutväärtuse keskmisest väärtusest ei ületa kolmekordset standardhälvet

Gaussi seadus – normaaljaotuse seadus

Sageli on väärtused jagatud tavaline seadus (Gaussi seadus). peamine omadus : see on piirav seadus, millele lähenevad teised levitamisseadused.

Juhuslik muutuja on tavaliselt jaotatud, kui see tõenäosustihedus tundub, et:

M(X) - juhusliku suuruse matemaatiline ootus;

 - standardhälve.

Tõenäosuse tihedus (jaotusfunktsioon) näitab, kuidas intervalliga seotud tõenäosus muutub dx juhuslik muutuja, olenevalt muutuja enda väärtusest:

Matemaatilise statistika põhimõisted

Matemaatika statistika - rakendusmatemaatika haru, mis külgneb vahetult tõenäosusteooriaga. Peamine erinevus matemaatilise statistika ja tõenäosusteooria vahel seisneb selles, et matemaatilises statistikas ei arvestata jaotusseaduste ja juhuslike suuruste arvuliste karakteristikutega seotud toiminguid, vaid ligikaudseid meetodeid nende seaduste ja arvuliste tunnuste leidmiseks katsetulemuste põhjal.

Põhimõisted matemaatiline statistika on järgmine:

Üldrahvastik;

näidis;

variatsiooniseeria;

mood;

mediaan;

protsentiil,

sageduse hulknurk,

tulpdiagramm.

Rahvaarv - suur statistiline üldkogum, millest valitakse välja osa uurimisobjekte

(Näide: kogu piirkonna elanikkond, linna üliõpilased jne)

Valim (valimi populatsioon) - üldpopulatsioonist valitud objektide kogum.

Variatsiooniseeria - statistiline jaotus, mis koosneb variantidest (juhusliku suuruse väärtused) ja nende vastavatest sagedustest.

Näide:

x - juhusliku suuruse väärtus (10-aastaste tüdrukute mass);

m - esinemissagedus.

Mood – juhusliku suuruse väärtus, mis vastab suurimale esinemissagedusele. (Ülaltoodud näites on moe jaoks kõige levinum väärtus 24 kg: m = 20).

Mediaan - juhusliku suuruse väärtus, mis jagab jaotuse pooleks: pooled väärtustest asuvad mediaanist paremal, pooled (mitte enam) - vasakul.

Näide:

1, 1, 1, 1, 1. 1, 2, 2, 2, 3 , 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7 , 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8 , 8, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10

Näites vaatleme juhusliku muutuja 40 väärtust. Kõik väärtused on järjestatud kasvavas järjekorras, võttes arvesse nende esinemise sagedust. On näha, et 20 (pool) 40 väärtusest asuvad valitud väärtusest 7 paremal. Nii et 7 on mediaan.

Hajuvuse iseloomustamiseks leiame väärtused, mis ei olnud kõrgemad kui 25 ja 75% mõõtmistulemustest. Neid väärtusi nimetatakse 25. ja 75 protsentiilid . Kui mediaan poolitab jaotuse, lõigatakse 25. ja 75. protsentiil sellest veerandi võrra ära. (Mediaani ennast, muide, võib pidada 50. protsentiiliks.) Nagu näitest näha, on 25. ja 75. protsentiil vastavalt 3 ja 8.

kasutada diskreetne (punkt) statistiline jaotus ja pidev (intervall) statistiline jaotus.

Selguse huvides on statistilised jaotused vormil graafiliselt kujutatud sageduse hulknurk või - histogrammid .

Sageduse hulknurk - katkendjoon, mille lõigud ühendavad punkte koordinaatidega ( x 1 , m 1 ), (x 2 , m 2 ), ... või jaoks suhteliste sageduste hulknurk - koordinaatidega ( x 1 ,R * 1 ), (x 2 ,R * 2 ), ...(joonis 1).

mm i / nf(x)

x x

Joon.1 Joon.2

Sageduse histogramm - ühele sirgele ehitatud kõrvuti asetsevate ristkülikute kogum (joon. 2), ristkülikute alused on ühesugused ja võrdsed dx , ja kõrgused on võrdsed sageduse suhtega dx , või R * juurde dx (tõenäosuse tihedus).

Näide:

71, Juhuslike suuruste arvulised karakteristikud kasutatakse laialdaselt praktikas usaldusväärsuse näitajate arvutamiseks. Paljudes praktikaküsimustes puudub vajadus juhuslikku suurust täielikult ja ammendavalt iseloomustada. Sageli piisab, kui näidata ainult arvulisi parameetreid, mis mingil määral iseloomustavad juhusliku suuruse jaotuse olulisi tunnuseid, näiteks: tähendab , mille lähedale on rühmitatud juhusliku suuruse võimalikud väärtused; juhusliku suuruse dispersiooni iseloomustav arv keskmise väärtuse suhtes jne. Arvulisi parameetreid, mis võimaldavad tihendatud kujul väljendada juhusliku suuruse olulisimaid tunnuseid, nimetatakse juhusliku suuruse arvulisteks tunnusteks.

a) b)

Riis. 11 Ootuse definitsioon

Usaldusväärsuse teoorias kasutatavate juhuslike suuruste arvulised karakteristikud on toodud tabelis. üks.

72,Ootus(keskväärtus) pidevast juhuslikust suurusest, mille võimalikud väärtused kuuluvad intervalli , on kindel integraal (joonis 11, b)

. (26)

Matemaatilise ootuse saab väljendada integraalfunktsiooni täiendusena. Selleks asendame (11) väärtusega (26) ja integreerime saadud avaldise osade kaupa

, (27)

sest ja , siis

. (28)

Mittenegatiivsete juhuslike muutujate jaoks, mille võimalikud väärtused kuuluvad intervalli , valem (28) võtab kuju

. (29)

st mittenegatiivse juhusliku muutuja matemaatiline ootus, mille võimalikud väärtused kuuluvad intervalli , on arvuliselt võrdne integraalfunktsiooni täiendi graafiku all oleva pindalaga (joonis 11, a).

73,Keskmine aeg esimese rikkeni statistilise teabe kohaselt määratakse valemiga

, (30)

kus on aeg esimese ebaõnnestumiseni i-th objekt; N- testitud objektide arv.

Samamoodi määratakse keskmine ressurss, keskmine kasutusiga, keskmine taastumisaeg, keskmine säilivusaeg.

74, juhusliku suuruse hajumine selle eeldatava väärtuse ümber hinnatud kasutades standardhälbe dispersioon(RMS) ja variatsioonikoefitsient.

Pideva juhusliku suuruse X dispersioon on juhusliku suuruse ruudus kõrvalekalde matemaatiline ootus selle matemaatilisest ootusest ja see arvutatakse valemiga

. (31)

Dispersioon on juhusliku suuruse ruudu mõõtmega, mis pole alati mugav.

75,Standardhälve juhuslik suurus on dispersiooni ruutjuur ja sellel on juhusliku suuruse mõõde

. (32)

76,Variatsioonikoefitsient on juhusliku suuruse dispersiooni suhteline indikaator ja on defineeritud kui standardhälbe ja matemaatilise ootuse suhe

. (33)

77, Gamma - juhusliku suuruse protsentuaalne väärtus- antud tõenäosusele vastava juhusliku suuruse väärtus et juhuslik suurus saab suurema väärtuse kui

. (34)

78, Gamma - juhusliku suuruse protsentuaalse väärtuse saab määrata integraalfunktsiooni, selle komplement- ja diferentsiaalfunktsiooni abil (joonis 12). Juhusliku suuruse gamma protsendiväärtus on tõenäosuskvantiil (joonis 12, a)

. (35)

Usaldusväärsuse teooria kasutab ressursi gamma-protsendiline väärtus, kasutusiga ja säilivusaeg(Tabel 1). Gamma protsenti nimetatakse ressursiks, kasutuseaks, säilivusajaks, millel on (ja ületab) teatud tüüpi objektide protsent.

a) b)

Joonis 12 Juhusliku suuruse gamma protsendi väärtuse määramine

Gamma protsenti ressurss iseloomustab vastupidavus valitud tasemel mittehävimise tõenäosus. Gamma-protsendiline ressurss määratakse objektide vastutust arvestades. Näiteks veerelaagrite puhul kasutatakse kõige sagedamini 90% ressurssi, kõige kriitilisemate objektide laagrite puhul valitakse 95% ressurss ja üle selle, lähendades seda 100% -le, kui rike on eluohtlik.

79, juhusliku suuruse mediaan on selle gamma protsendi väärtus juures . Mediaani jaoks sama tõenäoline on, et juhuslik suurus on T rohkem või vähem kui see, st.

Geomeetriliselt on mediaan integraaljaotusfunktsiooni ja selle täiendi lõikepunkti abstsiss (joonis 12, b). Mediaani võib tõlgendada selle punkti abstsissina, kus diferentsiaalfunktsiooni ordinaat poolitab jaotuskõveraga piiratud ala (joonis 12, sisse).

Juhusliku suuruse mediaani kasutatakse usaldusväärsuse teoorias ressursi, kasutusea, säilivusaja arvulise tunnusena (tabel 1).

Objektide usaldusväärsuse näitajate vahel on funktsionaalne seos. Ühe funktsiooni tundmine
võimaldab määrata muid usaldusväärsuse näitajaid. Kokkuvõte usaldusväärsuse näitajate vahelistest seostest on toodud tabelis. 2.

Tabel 2. Usaldusväärsuse näitajate vaheline funktsionaalne seos

Paljude praktiliste ülesannete lahendamisel ei ole alati vaja juhuslikku suurust täielikult iseloomustada, s.t määrata jaotusseadusi. Lisaks on funktsiooni või jaotuste seeria konstrueerimine diskreetse ja tiheduse jaoks pideva juhusliku muutuja jaoks tülikas ja mittevajalik.

Mõnikord piisab üksikute numbriliste parameetrite märkimisest, mis jaotuse tunnuseid osaliselt iseloomustavad. On vaja teada iga juhusliku suuruse mõnda keskmist väärtust, mille ümber selle võimalik väärtus on rühmitatud, või nende väärtuste hajumise astet keskmise suhtes jne.

Jaotuse olulisemate tunnuste tunnuseid nimetatakse arvtunnusteks juhuslik muutuja. Nende abiga hõlbustatakse paljude tõenäosusülesannete lahendamist, määramata nende jaoks jaotusseadusi.

Juhusliku suuruse asukoha kõige olulisem tunnus reaalteljel on oodatud väärtus M[X]= a, mida mõnikord nimetatakse juhusliku suuruse keskmiseks väärtuseks. Sest diskreetne juhuslik suurus X koos võimalikud väärtused x 1 , x 2 , … , x n ja tõenäosused lk 1 , lk 2 ,… , p n see määratakse valemiga

Arvestades, et =1, saame kirjutada

Sellel viisil, matemaatiline ootus Diskreetne juhuslik suurus on selle võimalike väärtuste ja nende tõenäosuste korrutiste summa. Suure arvu katsetega juhusliku suuruse vaadeldud väärtuste aritmeetiline keskmine läheneb selle matemaatilisele ootusele.

Sest pidev juhuslik suurus X matemaatilist ootust ei määra mitte summa, vaid lahutamatu

kus f(x) - koguse jaotustihedus x.

Matemaatiline ootus ei eksisteeri kõigi juhuslike muutujate jaoks. Mõnel neist summa ehk integraal lahkneb ja seetõttu pole ootusi. Sellistel juhtudel tuleks täpsuse huvides piirata juhusliku suuruse võimalike muutuste ulatust x, mille puhul summa ehk integraal läheneb.

Praktikas kasutatakse ka selliseid juhusliku suuruse asukoha tunnuseid nagu mood ja mediaan.

Juhuslik moodnimetatakse selle kõige tõenäolisemaks väärtuseks.Üldjuhul režiim ja matemaatiline ootus ei lange kokku.

Juhusliku muutuja mediaanX on selle väärtus, mille suhtes on võrdse tõenäosusega saada juhusliku suuruse suurem või väiksem väärtus, st see on punkti abstsiss, kus jaotuskõveraga piiratud ala jagatakse pooleks. Sümmeetrilise jaotuse korral on kõik kolm omadust ühesugused.

Tõenäosusteoorias kasutatakse lisaks matemaatilisele ootusele, moodusele ja mediaanile ka muid tunnuseid, millest igaüks kirjeldab jaotuse teatud omadust. Näiteks arvulised karakteristikud, mis iseloomustavad juhusliku suuruse dispersiooni, st näitavad, kui tihedalt on selle võimalikud väärtused matemaatilise ootuse ümber rühmitatud, on dispersioon ja standardhälve. Need täiendavad oluliselt juhuslikku muutujat, kuna praktikas on sageli võrdsete matemaatiliste ootustega, kuid erineva jaotusega juhuslikud muutujad. Hajumistunnuste määramisel juhusliku suuruse erinevus X ja selle matemaatiline ootus, s.o.

kus a = M[X] - oodatud väärtus.

Seda erinevust nimetatakse tsentreeritud juhuslik muutuja, vastav väärtus x, ja tähistatud :

Juhusliku suuruse dispersioon on väärtuse matemaatilisest ootusest kõrvalekaldumise ruudu matemaatiline ootus, st:

D[ X]=M[( X-a) 2 ] või

D[ X]=M[ 2 ].

Juhusliku suuruse dispersioon on mugav tunnus juhusliku muutuja väärtuste hajutamiseks ja hajutamiseks selle matemaatilise ootuse ümber. Sellel puudub aga nähtavus, kuna sellel on juhusliku suuruse ruudu mõõde.

Hajuvuse visuaalseks iseloomustamiseks on mugavam kasutada suurust, mille mõõde langeb kokku juhusliku suuruse omaga. See väärtus on standardhälve juhuslik muutuja, mis on selle dispersiooni positiivne ruutjuur.

Matemaatiline ootus, moodus, mediaan, dispersioon, standardhälve – kõige sagedamini kasutatavad juhuslike muutujate arvkarakteristikud. Praktiliste ülesannete lahendamisel, kui jaotusseadust pole võimalik määrata, on juhusliku suuruse ligikaudseks kirjelduseks selle numbrilised omadused, mis väljendavad jaotuse mõnda omadust.

Lisaks tsentri (ootus) jaotuse (dispersioon) põhiomadustele on sageli vaja kirjeldada ka muid olulisi jaotuse tunnuseid - sümmeetria ja teravus, mida saab esitada jaotusmomentide abil.

Juhusliku suuruse jaotus on täielikult antud, kui on teada kõik selle momendid. Kuid paljusid jaotusi saab täielikult kirjeldada nelja esimese momendi abil, mis ei ole ainult jaotusi kirjeldavad parameetrid, vaid on olulised ka empiiriliste jaotuste valikul, st arvutades antud statistilise momentide arvväärtusi. jada ja spetsiaalsete graafikute abil saab määrata jaotusseaduse.

Tõenäosusteoorias eristatakse kahte tüüpi momente: alg- ja keskseid.

K-nda korra algushetk juhuslik muutuja T nimetatakse koguse matemaatiliseks ootuseks X k , st.

Seetõttu väljendatakse diskreetse juhusliku suuruse korral seda summana

ja pideva jaoks - integraal

Juhusliku suuruse algmomentide hulgas on eriti oluline esimest järku hetk, mis on matemaatiline ootus. Kõrgemat järku algmomente kasutatakse peamiselt keskmomentide arvutamiseks.

K-nda korra keskne moment juhuslikku muutujat nimetatakse muutuja matemaatiliseks ootuseks ( X-M [X])k

kus a = M[X].

Diskreetse juhusliku suuruse korral väljendatakse seda summana

a pideva jaoks – integraal

Juhusliku muutuja kesksete hetkede hulgas on teist järku keskne moment, mis esindab juhusliku suuruse dispersiooni.

Esimest järku keskne moment on alati null.

Kolmas algushetk iseloomustab jaotuse asümmeetriat (viltust) ja vastavalt diskreetsete ja pidevate juhuslike suuruste vaatlustulemustele määratakse vastavate avaldiste abil:

Kuna sellel on juhusliku suuruse kuubiku mõõde, siis selleks, et saada dimensioonitu tunnus, m 3 jagatud standardhälbega kolmandaks astmeks

Saadud väärtust nimetatakse asümmeetria koefitsiendiks ja see iseloomustab olenevalt märgist positiivset ( Nagu> 0) või negatiivne ( Nagu< 0) jaotuse viltu (joon. 2.3).

"Füüsikaliste suuruste mõõtühikud" – absoluutviga võrdub poolega mõõtevahendi skaala jaotusest. Mikromeeter. Tulemus saadakse otse mõõteriistaga. Karbi pikkus: 4 cm lühike, 5 cm üle. Iga füüsikalise suuruse jaoks on vastavad mõõtühikud. Vaata. Suhteline viga.

“Pikkuse väärtused” - 2. Milliseid suurusi saab omavahel võrrelda: 2. Selgitage, miks on liitmise abil lahendatud järgmine ülesanne: 2. Põhjendage tegevuse valikut ülesande lahendamisel. Mitu pakki sa said? Mitu pastakat on kolmes neist karpidest? Kleidid õmmeldi 12 m kangast, kulutades igaühele 4 m Mitu kleiti õmmeldi?

"Füüsikalised suurused" – Füüsikat ja teisi loodusteadusi eraldavad piirid on ajalooliselt tinglikud. Iga mõõtmise tulemus sisaldab alati viga. Uus teema. Kiirus. Telefoni suhtlus. Füüsikalised seadused esitatakse matemaatika keeles väljendatud kvantitatiivsete suhtarvudena. Mõõtmisviga.

“Arv väärtuse mõõtmise tulemusena” - “Arv väärtuse mõõtmise tulemusena” matemaatikatund 1. klassis. Lõigu pikkuse mõõtmine mõõdupuuga.

"Arvud ja kogused" - Massi mõistega tutvumine. Masside võrdlus ilma mõõtmisteta. Rooma kirjalik numeratsioon. Mahutavus. Õpilane õpib: Arvud ja kogused (30 tundi) Koordinaatkiir Koordinaatkiire mõiste. Planeeritud ainetulemused rubriigis "Arvud ja kogused" 2. klassis. Kardinaalarvude moodustamise üldpõhimõte uuritud arvude sees.

"Nõudluse suurus" – nõudluse muutumise põhjused. Diagrammil saadud DD kõverat (inglise keelest nõudlus - "nõudlus") nimetatakse nõudluskõveraks. Elastne nõudlus (Epd>1). Nõudluse suurus. Nõudlust mõjutavad tegurid. Nõutava koguse sõltuvust hinnatasemest nimetatakse nõudluse skaalaks. Absoluutselt mitteelastne nõudlus (Epd=0).

Oodatud väärtus. matemaatiline ootus diskreetne juhuslik suurus X, mis võtab piiratud arvu väärtusi Xi tõenäosustega Ri, nimetatakse summaks:

matemaatiline ootus pidev juhuslik suurus X nimetatakse selle väärtuste korrutise integraaliks X tõenäosusjaotuse tiheduse kohta f(x):

(6b)

Vale integraal (6 b) eeldatakse olevat absoluutselt konvergentne (muidu ütleme, et ootus M(X) ei eksisteeri). Matemaatiline ootus iseloomustab tähendab juhuslik muutuja X. Selle mõõde langeb kokku juhusliku suuruse mõõtmega.

Matemaatilise ootuse omadused:

Dispersioon. dispersioon juhuslik muutuja X numbrit kutsutakse:

Dispersioon on hajumise tunnus juhusliku suuruse väärtused X võrreldes selle keskmise väärtusega M(X). Dispersiooni mõõde on võrdne juhusliku suuruse ruudus. Diskreetse juhusliku suuruse dispersiooni (8) ja matemaatilise ootuse (5) ja pideva juhusliku suuruse (6) definitsioonide põhjal saame dispersiooni jaoks sarnased avaldised:

(9)

Siin m = M(X).

Dispersiooni omadused:

Standardhälve:

(11)

Kuna standardhälbe mõõde on sama, mis juhuslikul suurusel, kasutatakse seda sagedamini dispersiooni mõõtjana kui dispersiooni.

jaotushetked. Matemaatilise ootuse ja dispersiooni mõisted on juhuslike muutujate arvuliste tunnuste üldisema kontseptsiooni erijuhud - jaotushetked. Juhusliku suuruse jaotusmomendid on toodud juhusliku suuruse mõne lihtsa funktsiooni matemaatiliste ootustena. Niisiis, tellimuse hetk k punkti suhtes X 0 nimetatakse ootuseks M(X–X 0 )k. Hetked päritoluga võrreldes X= 0 kutsutakse esialgsed hetked ja on märgitud:

(12)

Esimest järku algushetk on vaadeldava juhusliku suuruse jaotuskeskus:

(13)

Jaotuskeskusega seotud hetked X= m helistas kesksed hetked ja on märgitud:

(14)

(7) järeldub, et esimest järku keskmoment on alati võrdne nulliga:

Kesksed momendid ei sõltu juhusliku suuruse väärtuste päritolust, kuna nihkega konstantse väärtuse võrra FROM selle jaotuskeskust nihutatakse sama väärtuse võrra FROM, ja kõrvalekalle keskpunktist ei muutu: X – m = (X – FROM) – (m – FROM).
Nüüd on see selge dispersioon- see on teist järku keskne moment:

Asümmeetria. Kolmanda tellimuse keskne hetk:

(17)

aitab hinnata jaotuse viltu. Kui jaotus on punkti suhtes sümmeetriline X= m, siis on kolmanda järgu keskmoment võrdne nulliga (nagu ka kõik paaritute järkude keskmomendid). Seega, kui kolmandat järku keskmoment erineb nullist, ei saa jaotus olla sümmeetriline. Asümmeetria suurust hinnatakse mõõtmeteta asümmeetria koefitsient:

(18)

Asümmeetriakoefitsiendi märk (18) näitab parem- või vasakpoolset asümmeetriat (joonis 2).

Riis. 2. Jaotuste asümmeetria tüübid.

Liigne. Neljanda tellimuse keskne hetk:

(19)

aitab hinnata nn kurtosis, mis määrab jaotuskeskme lähedal asuva jaotuskõvera järsuse (tiiruse) astme normaaljaotuskõvera suhtes. Kuna normaaljaotuse korral on kurtoosiks võetud kogus:

(20)

Joonisel fig. 3 on näidatud erinevate kurtoosi väärtustega jaotuskõverate näited. Normaaljaotuse jaoks E= 0. Kõveratel, mis on tavalisest suurema tipuga, on positiivne kurtoos ja lamedamate tippudega kõveratel on negatiivne kurtoos.

Riis. 3. Erineva järsusastmega jaotuskõverad (kurtoos).

Matemaatilise statistika insenerirakendustes kõrgemat järku momente tavaliselt ei kasutata.

Mood diskreetne juhuslik suurus on selle kõige tõenäolisem väärtus. Mood pidev juhuslik suurus on selle väärtus, mille korral tõenäosustihedus on maksimaalne (joonis 2). Kui jaotuskõveral on üks maksimum, siis nimetatakse jaotust unimodaalne. Kui jaotuskõveral on rohkem kui üks maksimum, kutsutakse jaotus polümodaalne. Mõnikord on jaotusi, mille kõveratel pole mitte maksimum, vaid miinimum. Selliseid jaotusi nimetatakse antimodaalne. Üldjuhul juhusliku suuruse mood ja matemaatiline ootus ei lange kokku. Konkreetsel juhul modaalne, st. millel on mood, sümmeetriline jaotus ja eeldusel, et on olemas matemaatiline ootus, langeb viimane kokku jaotuse mooduse ja sümmeetriakeskmega.

Mediaan juhuslik muutuja X on selle tähendus Mina, mille puhul kehtib võrdsus: st. sama tõenäoline, et juhuslik suurus X on vähem või rohkem Mina. Geomeetriliselt mediaan on selle punkti abstsiss, kus jaotuskõvera alune pindala on pooleks jagatud (joonis 2). Sümmeetrilise modaaljaotuse korral on mediaan, mood ja keskmine samad.