Doğrudan ve dolaylı ölçümlerin hataları nasıl bulunur. Dolaylı ölçümlerde hataların hesaplanması

İlk önce, değerin ne zaman olduğu durumu düşünün. de sadece bir değişkene bağlıdır X doğrudan ölçümle bulunan,

Ortalama<y> yerine (8) ile değiştirilerek bulunabilir X ortalama<X>.

Mutlak hata, ∆ argümanının artışıyla birlikte (8) fonksiyonunun bir artışı olarak düşünülebilir. X(ölçülen miktarın toplam hatası X). Küçük değerler için ∆ X fonksiyonun diferansiyeline yaklaşık olarak eşittir

, (9)

Burada hesaplanan fonksiyonun türevi . Göreceli hata şuna eşit olacaktır:

Belirlenen değer olsun de birkaç değişkenin bir fonksiyonudur x ben,

. (10)

Çalışma formülündeki tüm niceliklerin hatalarının rastgele, bağımsız ve aynı güven olasılığı ile hesaplandığı varsayılır (örneğin R= 0.95). Gerekli değerin hatası aynı güven olasılığına sahip olacaktır. Bu durumda, miktarın en olası değeri<de> hesaplama için miktarların en olası değerlerini kullanarak formül (10) ile belirlenir X i , yani ortalama değerleri:

<de> = f(<x 1 >, <x 2 >, …,<x ben >, …,<x m>).

Bu durumda, nihai sonucun mutlak hatası Δ de formül tarafından belirlenir

, (11)

nerede ∂ de/∂X i - fonksiyonların kısmi türevleri de argümanlarla X i , en olası değerleri için hesaplanmıştır X ben . Kısmi türev, bir fonksiyondan hesaplanan türevdir. de argümanla X diğer tüm argümanların sabit kabul edilmesini sağladım.

Göreceli değer hatası de bölerek elde ederiz ∆ deüzerinde<y>

. (12)

Bunu dikkate alarak (1/ de) dy/dx göre türevi temsil eder X doğal logaritmadan de bağıl hata olarak yazılabilir

. (13)

Formül (12), (10)'a bağlı olarak ölçülen büyüklüklerin olduğu durumlarda kullanılması daha uygundur. x ben esas olarak terimler biçiminde girin ve (10) miktarların bir ürünü olduğunda formül (13) hesaplamalar için uygundur X ben . İkinci durumda, (10) ifadesinin ön logaritması kısmi türevlerin biçimini önemli ölçüde basitleştirir. Ölçülmüş değer de boyutlu bir niceliktir ve boyutlu bir niceliğin logaritmasını almak imkansızdır. Bu yanlışlığı ortadan kaldırmak için bölmek gerekir. de belirli bir boyuta sahip bir sabite. Logaritma alındıktan sonra, miktarlara bağlı olmayan ek bir terim elde edilir. X i ve bu nedenle, sabit bir değerin türevi sıfıra eşit olduğundan, kısmi türevler alınırken kaybolur. Bu nedenle, bir logaritma alırken, böyle bir terimin varlığı basitçe ima edilir.

Mutlak ve bağıl hatalar arasındaki basit ilişki göz önüne alındığında e y = Δ de/<de>, bilinen değer Δ ile kolayca de hesaplamak e y ve tersi.

Doğrudan ölçüm hataları ve hata arasındaki fonksiyonel ilişki dolaylı ölçüm bazı basit durumlar için Tablo'da verilmiştir. 3.

Ölçüm hatalarının hesaplanmasında ortaya çıkan bazı özel durumları ele alalım. Dolaylı ölçümlerin hatalarını hesaplamak için yukarıdaki formüller, yalnızca tüm X i bağımsız niceliklerdir ve çeşitli alet ve yöntemlerle ölçülür. Uygulamada, bu koşul her zaman karşılanmaz. Örneğin, (10) ilişkisindeki herhangi bir fiziksel nicelik aynı aletle ölçülüyorsa, aletsel hatalar Δ X i pr bu nicelikler artık bağımsız olmayacak ve dolaylı olarak ölçülen niceliğin araçsal hatası Δ pr'de bu durumda, "kuadratik toplamdan" biraz daha büyük olacaktır. Örneğin, bir plakanın alanı bir uzunluğa sahipse ben ve genişlik b bir kumpas ile ölçülür, daha sonra dolaylı ölçümün nispi enstrümantal hatası

(∆S/S) pr = (Δ ben/ben) pr + ( Δb/b) vb,

şunlar. hatalar aritmetik olarak toplanır (hatalar Δ ben de Δb aynı işaretin pr'si ve değerleri aynıdır), göreceli araçsal hata yerine

bağımsız hatalarla.

Tablo 3

Doğrudan ve dolaylı ölçüm hatalarının fonksiyonel bağlantısı

çalışma formülü	Hatayı hesaplama formülü

Ölçümler yapılırken, değerlerin X Sahibim Farklı anlamlar, deney sırasında özel olarak değiştirilmiş veya ayarlanmış, örneğin, Poiseuille yöntemiyle sıvının viskozitesi, kılcal borunun üzerindeki sıvı sütununun farklı yükseklikleri için belirlenir veya yerçekimi ivmesi g, farklı uzunluklar için bir matematiksel sarkaç kullanılarak belirlenir). Bu gibi durumlarda, dolaylı olarak ölçülen miktarın değeri hesaplanmalıdır. de n deneyin her birinde ayrı ayrı ve en olası değer olarak ortalama değeri alın, yani. . Rastgele hata Δ sl'de doğrudan ölçümde bir hata olarak hesaplanır. Alet hatasının hesaplanması Δ pr'de(11) formülüne göre kısmi türevler yoluyla yapılır ve dolaylı olarak ölçülen miktarın nihai toplam hatası formülle hesaplanır

İstenen fiziksel büyüklük doğrudan cihaz tarafından ölçülemiyorsa, ancak ölçülen büyüklükler aracılığıyla formülle ifade ediliyorsa, bu tür ölçümlere denir. dolaylı.

Doğrudan ölçümlerde olduğu gibi, dolaylı ölçümlerin ortalama mutlak (aritmetik ortalama) hatasını veya ortalama karekök hatasını hesaplayabilirsiniz.

Genel kurallar her iki durum için hata hesaplamaları diferansiyel hesap kullanılarak elde edilir.

Fiziksel nicelik j( x, y, z, ...) bir dizi bağımsız argümanın bir fonksiyonudur x, y, z, ..., her biri deneysel olarak belirlenebilir. Miktarlar doğrudan ölçümlerle belirlenir ve bunların ortalama mutlak hataları veya ortalama karekök hataları değerlendirilir.

Fiziksel nicelik j'nin dolaylı ölçümlerinin ortalama mutlak hatası, formülle hesaplanır.

φ'nin kısmi türevleri nerede x, y, z karşılık gelen argümanların ortalama değerleri için hesaplanır.

Formül, toplamın tüm terimlerinin mutlak değerlerini kullandığından, ifade, bağımsız değişkenlerin verilen maksimum hataları için fonksiyonun ölçülmesindeki maksimum hatayı tahmin eder.

j fiziksel niceliğinin dolaylı ölçümlerinin ortalama karekök hatası

j fiziksel niceliğinin dolaylı ölçümlerinin nispi maksimum hatası

nerede, vb.

Benzer şekilde, dolaylı ölçümlerin göreceli kök-ortalama-kare hatasını yazabiliriz j

Formül, logaritma almak için uygun bir ifadeyi temsil ediyorsa (yani, bir çarpım, bir kesir, bir kuvvet), o zaman önce bağıl hatayı hesaplamak daha uygundur. Bunu yapmak için (ortalama mutlak hata durumunda) aşağıdakiler yapılmalıdır.

1. Fiziksel bir niceliğin dolaylı ölçümü için ifadenin logaritmasını alın.

2. Farklılaştırın.

3. Tüm terimleri aynı diferansiyel ile birleştirin ve parantez içinden çıkarın.

4. Çeşitli modulo diferansiyellerin önündeki ifadeyi alın.

5. Diferansiyellerin simgelerini resmi olarak mutlak hata D'nin simgeleriyle değiştirin.

Daha sonra, e'yi bilerek, mutlak hata Dj'yi formülle hesaplayabiliriz.

örnek 1 Bir silindirin hacminin dolaylı ölçümlerinin maksimum bağıl hatasını hesaplamak için bir formülün türetilmesi.

Fiziksel bir miktarın dolaylı ölçümü için ifade (başlangıç formülü)

çap değeri D ve silindir yüksekliği h sırasıyla doğrudan ölçüm hataları olan cihazlarla doğrudan ölçülürD D ve D h.

Orijinal formülün logaritmasını alıyoruz ve

Ortaya çıkan denklemi farklılaştır

Diferansiyellerin simgelerini mutlak hata D simgeleriyle değiştirerek, nihayet silindir hacminin dolaylı ölçümlerinin maksimum nispi hatasını hesaplamak için bir formül elde ederiz.

1. Giriş

Kimyagerlerin, fizikçilerin ve diğer doğa bilimleri mesleklerinin temsilcilerinin çalışmaları, genellikle çeşitli niceliklerin nicel ölçümlerinin performansı ile ilişkilidir. Bu, elde edilen değerlerin güvenilirliğini analiz etme, doğrudan ölçümlerin sonuçlarını işleme ve doğrudan ölçülen özelliklerin değerlerini kullanan hesaplama hatalarını tahmin etme sorusunu gündeme getirir (ikinci sürece sonuçların işlenmesi de denir) dolaylıölçümler). Bir takım nesnel nedenlerden dolayı, Moskova Devlet Üniversitesi Kimya Fakültesi mezunlarının hataların hesaplanması hakkındaki bilgileri, elde edilen verilerin doğru işlenmesi için her zaman yeterli değildir. Bu nedenlerden biri, yetersiz Müfredatölçüm sonuçlarının istatistiksel olarak işlenmesi dersinin fakültesi.

İle şimdiki an Hataları hesaplama konusu elbette kapsamlı bir şekilde incelenmiştir. var çok sayıda metodolojik gelişmeler hataların hesaplanması hakkında bilgi alabileceğiniz ders kitapları vb. Ne yazık ki, çoğu benzer işler ek ve her zaman gerekli olmayan bilgilerle aşırı yüklenmiştir. Özellikle, öğrenci atölyelerinin çalışmalarının çoğu, örneklerin karşılaştırılması, yakınsamanın değerlendirilmesi vb. gibi eylemleri gerektirmez. Bu nedenle, en sık kullanılan hesaplamalar için algoritmaları özetleyen kısa bir geliştirme oluşturmak uygun görünmektedir, bu geliştirme budur. adanmıştır.

2. Bu belgede kabul edilen notasyon

Ölçülen değer, - Ölçülen değerin ortalama değeri, - Ölçülen değerin ortalama değerinin mutlak hatası, - Ölçülen değerin ortalama değerinin bağıl hatası.

3. Doğrudan ölçüm hatalarının hesaplanması

Yani var olduğunu varsayalım n Aynı koşullar altında aynı miktardaki ölçümler. Bu durumda, ölçümlerde bu miktarın ortalama değerini hesaplayabilirsiniz:

(1)

Hata nasıl hesaplanır? Aşağıdaki formüle göre:

(2)

Bu formül Öğrenci katsayısını kullanır. Farklı güven olasılıkları ve değerleri için değerleri verilmiştir.

3.1. Doğrudan ölçüm hatalarının hesaplanmasına bir örnek:

Bir görev.

Metal çubuğun uzunluğu ölçüldü. 10 ölçüm yapılmış ve şu değerler elde edilmiştir: 10 mm, 11 mm, 12 mm, 13 mm, 10 mm, 10 mm, 11 mm, 10 mm, 10 mm, 11 mm. Ölçülen değerin (çubuk uzunluğu) ortalama değerini ve hatasını bulmak gerekir.

Çözüm.

(1) formülünü kullanarak şunları buluruz:

Şimdi, formül (2)'yi kullanarak, bir güven olasılığı ve serbestlik derecesi sayısı ile ortalama değerin mutlak hatasını buluyoruz (değeri = 2.262'den alıyoruz, alıyoruz):

Sonucu yazalım:

10,8±0,7 0,95 mm

4. Dolaylı ölçümlerin hatalarının hesaplanması

Deney sırasında değerlerin ölçüldüğünü varsayalım. , ve daha sonra c elde edilen değerler kullanılarak değer formülle hesaplanır . Bu durumda, doğrudan ölçülen değerlerin hataları, 3. paragrafta açıklandığı gibi hesaplanır.

Miktarın ortalama değerinin hesaplanması, bağımsız değişkenlerin ortalama değerleri kullanılarak bağımlılığa göre yapılır.

Büyüklük hatası aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

,(3)

nerede argüman sayısı , fonksiyonun argümanlara göre kısmi türevleri , argümanın ortalama değerinin mutlak hatasıdır .

Doğrudan ölçümlerde olduğu gibi mutlak hata, formülle hesaplanır.

4.1. Doğrudan ölçüm hatalarının hesaplanmasına bir örnek:

Bir görev.

Beş doğrudan ölçüm ve gerçekleştirilmiştir. Elde edilen değerler için: 50, 51, 52, 50, 47; değer için elde edilen değerler: 500, 510, 476, 354, 520. Formül ile belirlenen değerin değerinin hesaplanması ve elde edilen değerin hatasının bulunması gerekmektedir.

Dolaylı ölçümlerin hatalarını hesaplama formülleri, diferansiyel hesabın temsillerine dayanmaktadır.

Miktarın bağımlılığına izin verin Yölçülen değerden Z basit bir formu vardır: .

Burada ve değerleri bilinen sabitlerdir. z bir sayı kadar artırılır veya azaltılırsa, şu şekilde değişecektir:

Eğer - ölçülen değerin hatası Z, o zaman sırasıyla hesaplanan değerin hatası olacaktır. Y.

Tek değişkenli bir fonksiyonun genel durumunda mutlak hata formülünü elde ederiz. Bu fonksiyonun grafiği Şekil 1'de gösterilen forma sahip olsun. z 0 argümanının tam değeri, y 0 = f(z 0) fonksiyonunun tam değerine karşılık gelir.

Argümanın ölçülen değeri, argümanın kesin değerinden, ölçüm hataları nedeniyle Δz değeri kadar farklıdır. Fonksiyonun değeri tam değerinden Δy kadar farklı olacaktır.

Türevin geometrik anlamından, teğetin eğiminin belirli bir noktada eğriye tanjantı olarak (Şekil 1), şu şekildedir:

. (10)

Tek değişkenli bir fonksiyon durumunda dolaylı ölçümün bağıl hatası formülü şöyle olacaktır:
. (11)

Fonksiyonun diferansiyeli olduğunu düşünürsek,

(12)

Dolaylı ölçüm bir fonksiyon ise m değişkenler , o zaman dolaylı ölçüm hatası, doğrudan ölçümlerin hatalarına bağlı olacaktır. Argümanın ölçüm hatasıyla ilişkili kısmi hatayı belirtiriz. Diğer tüm argümanların değişmemesi koşuluyla, fonksiyonun artış oranında artışını oluşturur. Böylece, (10)'a göre kısmi mutlak hatayı aşağıdaki biçimde yazarız:

(13)

Bu nedenle, dolaylı ölçümün kısmi hatasını bulmak için, (13)'e göre kısmi türevi doğrudan ölçüm hatasıyla çarpmak gerekir. Bir fonksiyonun kalan argümanlara göre kısmi türevi hesaplanırken, bunlar sabit olarak kabul edilir.

Dolaylı ölçümün ortaya çıkan mutlak hatası, kısmi hataların karelerini içeren formül ile belirlenir.

dolaylı ölçüm:

veya dikkate alarak (13)

(14)

Dolaylı ölçümün bağıl hatası aşağıdaki formülle belirlenir:

Veya (11) ve (12) dikkate alınarak

. (15)

(14) ve (15) kullanılarak, hesaplamaların uygunluğuna bağlı olarak hatalardan biri mutlak veya bağıl olarak bulunur. Bu nedenle, örneğin, çalışma formülü bir ürün şeklindeyse, ölçülen miktarların oranı, bir logaritma almak ve dolaylı ölçümün göreli hatasını belirlemek için formül (15) kullanmak kolaydır. Sonra mutlak hatayı formül (16) kullanarak hesaplayın:

Dolaylı ölçümlerin hatasını belirlemek için yukarıdaki prosedürü göstermek için sanal duruma dönelim. laboratuvar işi"Matematiksel Sarkaç Kullanarak Serbest Düşüşün İvmesini Belirleme".

Çalışma formülü (1), ölçülen değerlerin oranı biçimindedir:

Bu nedenle, göreceli hatanın tanımıyla başlıyoruz. Bunu yapmak için, bu ifadenin logaritmasını alıyoruz ve sonra kısmi türevleri hesaplıyoruz:

; ; .

Formül (15)'e ikame, dolaylı ölçümün nispi hatası için formüle yol açar:

(17)

Doğrudan ölçümlerin sonuçlarını değiştirdikten sonra

{ ; ) (17)'de şunu elde ederiz:

(18)

Mutlak hatayı hesaplamak için, (16) ifadesini ve yerçekimi ivmesinin önceden hesaplanmış değerini (9) kullanırız. g:

Mutlak hatanın hesaplanmasının sonucu, anlamlı bir rakama yuvarlanır. Mutlak hatanın hesaplanan değeri, nihai sonucu kaydetmenin doğruluğunu belirler:

, α ≈ 1. (19)

Bu durumda, güven olasılığı, dolaylı ölçüm hatasına kesin bir katkı yapan doğrudan ölçümlerin güven olasılığı tarafından belirlenir. Bu durumda, bunlar dönem ölçümleridir.

Böylece, 1'e yakın bir olasılıkla, değer g 8 ile 12 arasındadır.

Serbest düşüş ivmesinin daha doğru bir değerini elde etmek için gölçüm tekniğini geliştirmek gereklidir. Bu amaçla, formül (18)'den aşağıdaki gibi, esas olarak zaman ölçüm hatası tarafından belirlenen bağıl hatayı azaltmak gerekir.

Bunu yapmak için, tam bir salınımın değil, örneğin 10 tam salınımın zamanını ölçmek gerekir. Ardından, (2)'den aşağıdaki gibi, bağıl hata formülü şu şekli alacaktır:

. (20)

Tablo 4, aşağıdakiler için ölçüm süresinin sonuçlarını sunar: N = 10

miktar için Lölçüm sonuçlarını Tablo 2'den alın. Doğrudan ölçüm sonuçlarını formül (20) ile değiştirerek, dolaylı ölçümlerin göreli hatasını buluruz:

Formül (2)'yi kullanarak dolaylı olarak ölçülen miktarın değerini hesaplarız:

Nihai sonuç şu şekilde yazılır:

; ; .

Bu örnek, ölçüm tekniğini geliştirmek için olası yönlerin analizinde bağıl hata formülünün rolünü göstermektedir.

Laboratuar uygulamasında, çoğu ölçüm dolaylıdır ve bizi ilgilendiren miktar, bir veya daha fazla doğrudan ölçülen miktarın bir fonksiyonudur:

N= ƒ (x, y, z, ...) (13)

Olasılık teorisinden aşağıdaki gibi, bir miktarın ortalama değeri, doğrudan ölçülen niceliklerin ortalama değerlerinin formül (13)'e ikame edilmesiyle belirlenir, yani.

¯ N= ƒ (¯x, ¯y, ¯z, ...) (14)

Bağımsız değişkenlerin hataları biliniyorsa bu fonksiyonun mutlak ve bağıl hatalarının bulunması gerekir.

Hataların sistematik veya rastgele olduğu iki uç durumu düşünün. Dolaylı ölçümlerin sistematik hatasının hesaplanması konusunda fikir birliği yoktur. Ancak sistematik hatanın maksimum olarak tanımlanmasına dayalı olarak olası hata, o zaman bulmak mantıklı Sistematik hata formüller

(15) veya

nerede

kısmi türev fonksiyonları N= ƒ(x, y, z, ...) x, y, z... argümanına göre, türevin bulunduğu argüman hariç diğer tüm argümanların olduğu varsayımı altında bulunur devamlı;
δx, δy, δz argümanların sistematik hatalarıdır.

Formül (15), işlev, argümanların toplamı veya farkı biçimindeyse, kullanımı uygundur. İşlev bir çarpım veya kısmi argümanlar biçimindeyse, (16) ifadesinin kullanılması tavsiye edilir.

Bulmak için rastgele hata dolaylı ölçümler için formülleri kullanmalısınız:

(17) veya

burada Δx, Δy, Δz, ..., x, y, z, ... argümanları için verilen güven olasılıkları (güvenilirlik) için güven aralıklarıdır. Δx, Δy, Δz, ... güven aralıklarının aynı güven olasılığı P 1 = P 2 = ... = P n = P ile alınması gerektiği akılda tutulmalıdır.

Bu durumda, güven aralığı Δ için güvenilirlik N ayrıca P olacak.

Formül (17) işlevi varsa kullanımı uygundur N= ƒ(x, y, z, ...) argümanların toplamı veya farkı şeklindedir. Formül (18) işlevi varsa kullanımı uygundur N= ƒ(x, y, z, ...) bir çarpım veya kısmi argümanlar biçimindedir.

Çoğu zaman, sistematik hata ve rastgele hatanın birbirine yakın olduğu bir durum vardır ve her ikisi de sonucun doğruluğunu aynı ölçüde belirler. Bu durumda, toplam hata ∑, rastgele Δ ve sistematik δ hataların ikinci dereceden toplamı olarak bulunur, burada P, rastgele bir hatanın güven olasılığıdır:

Dolaylı ölçümler yaparken tekrarlanamayan koşullar altında fonksiyon her bir ölçüm için bulunur ve istenen miktarın değerlerini doğrudan ölçümlerle aynı yöntemle elde etmek için güven aralığı hesaplanır.

Logaritma almak için uygun bir formülle ifade edilen işlevsel bir bağımlılık durumunda, önce bağıl hatayı ve ardından Δ ifadesinden belirlemenin daha kolay olduğu belirtilmelidir. N = ε ¯ N mutlak hatayı bulunuz.

Ölçümlere devam etmeden önce, her zaman sonraki hesaplamaları düşünmeli ve hataların hesaplanacağı formülleri yazmalısınız. Bu formüller, hangi ölçümlerin özellikle dikkatli yapılması gerektiğini ve hangilerinin fazla çaba gerektirmediğini anlamanızı sağlayacaktır.

Dolaylı ölçümlerin sonuçları işlenirken, aşağıdaki işlem sırası önerilmektedir:

Doğrudan ölçümlerin sonuçlarını işleme kurallarına uygun olarak doğrudan ölçümlerle bulunan tüm miktarları işleyin. Bu durumda, ölçülen tüm büyüklükler için aynı güvenilirlik değerini P olarak ayarlayın.
Türevlerin ortalama değerlerde hesaplandığı formüller (15) (16) kullanarak dolaylı ölçümlerin sonucunun doğruluğunu tahmin edin.
Bireysel ölçümlerin hatası, farklılaşmanın sonucuna birkaç kez dahil edilirse, aynı diferansiyeli içeren tüm terimleri ve diferansiyelden önce gelen parantez içindeki ifadeleri gruplamak gerekir. modulo al; işaret dΔ (veya δ) ile değiştirin.
Rastgele ve sistematik hataların büyüklükleri birbirine yakınsa, bunları hata toplama kuralına göre ekleyin. Hatalardan biri diğerinin üç katından az veya daha fazlaysa, daha küçük olanı atın.
Ölçümün sonucunu forma yazın:
N= ƒ (¯x, ¯y, ¯z, ...) ± Δƒ.
Bir dizi dolaylı ölçümün sonucunun göreli hatasını belirleyin
ε = ∆ƒ %100.
¯¯ ƒ¯

Dolaylı ölçüm hatasını hesaplamaya örnekler verelim.

örnek 1 Silindirin hacmi formülle bulunur.

V = π d 2 h ,
dört

nerede d silindir çapı, h silindir yüksekliği.

Bu miktarların her ikisi de doğrudan belirlenir. Bu miktarların ölçümü aşağıdaki sonuçları versin:

d = (4.01 ± 0.03) mm,
h = (8.65 ± 0.02) mm, aynı güvenilirliğe sahip Р = 0.95.
(14)'e göre hacmin ortalama değeri
V = 3.14 (4.01) 2 8.65 = 109.19 mm
dört

(18) ifadesini kullanarak:

ln V = ln π + 2 lnd + lnh - ln4;

;

Ölçümler bölme değeri 0.01 olan bir mikrometre ile yapıldığından mm, sistematik hatalar
δd = δh = 0.01 mm.(16)'ya dayanarak, sistematik hata δV olacaktır.

Sistematik hatanın rastgele olanla karşılaştırılabilir olduğu ortaya çıktı, bu nedenle