Dolaylı ölçümlerin hatası bir hesaplama örneğidir. Dolaylı ölçümlerin hatalarının tahmini

Fiziksel deneylerde, istenen fiziksel niceliğin deneysel olarak ölçülemediği, ancak doğrudan ölçülebilen diğer niceliklerin bir fonksiyonu olduğu sıklıkla görülür. Örneğin, bir silindirin hacmini belirlemek için D çapını ve yüksekliğini ölçmeniz gerekir. h ve ardından formülü kullanarak hacmi hesaplayın

değerler D ve h bazı hatalarla ölçülecektir. Bu nedenle hesaplanan değer V ayrıca bazı hatalarla çalışacaktır. Hesaplanan niceliğin hatasını, ölçülen niceliğin hataları cinsinden ifade edebilmek gerekir.

Doğrudan ölçümlerde olduğu gibi, ortalama mutlak (aritmetik ortalama) hatayı veya ortalama karekök hatasını hesaplayabilirsiniz.

Genel kurallar her iki durum için hata hesaplamaları diferansiyel hesap kullanılarak elde edilir.

İstenen değer φ birkaç değişkenin bir fonksiyonu olsun X, Y, Z…

φ( X, Y, Z…).

Doğrudan ölçümlerle, değerleri bulabilir ve ayrıca ortalama mutlak hatalarını ... veya kök ortalama kare hatalarını s X, s Y, s Z ...

Daha sonra aritmetik ortalama hatası Dj formülle hesaplanır.

φ'nin kısmi türevleri nerede X, Y, Z. Ortalama değerler için hesaplanırlar ...

Kök ortalama kare hatası formülle hesaplanır

Örnek. Bir silindirin hacmini hesaplamak için hata formüllerini türetiyoruz.

a) Aritmetik ortalama hatası.

değerler D ve h D hatası ile buna göre ölçülür D ve D h.

b) Kök ortalama kare hatası.

değerler D ve h sırasıyla bir hata ile ölçülür s D , s h .

Hacim değerindeki hata şuna eşit olacaktır:

Formül, logaritma almak için uygun bir ifadeyi temsil ediyorsa (yani, bir çarpım, bir kesir, bir kuvvet), o zaman önce bağıl hatayı hesaplamak daha uygundur. Bunu yapmak için (aritmetik ortalama hatası durumunda), aşağıdakileri yapmanız gerekir.

1. İfadenin logaritmasını alın.

2. Farklılaştırın.

3. Tüm terimleri aynı diferansiyel ile birleştirin ve parantez içinden çıkarın.

4. Çeşitli modulo diferansiyellerin önündeki ifadeyi alın.

5. Fark rozetlerini değiştirin d mutlak hata D'nin simgeleri üzerinde.

Sonuç, göreceli hata için bir formüldür.

O zaman, e'yi bilerek, mutlak Dj hatasını hesaplayabiliriz.

Örnek.

Benzer şekilde, göreli kök-ortalama-kare hatasını yazabiliriz.

Ölçüm sonuçlarını sunma kuralları aşağıdaki gibidir:

1) hata anlamlı bir rakama yuvarlanmalıdır:

doğru Dj = 0.04,

yanlış - Dj = 0.0382;

2) Sonucun son anlamlı basamağı hata ile aynı büyüklükte olmalıdır:

doğru j = 9.83±0.03,

yanlış - j = 9.826±0.03;

3) sonuç çok büyük veya çok küçük bir değere sahipse, üstel gösterimi kullanmak gerekir - sonuç ve hatası için aynı ve ondalık nokta sonucun ilk önemli basamağını takip etmelidir:

doğru - j \u003d (5.27 ± 0.03) × 10 -5,

yanlış - j = 0.0000527±0.0000003,

j = 5,27×10 -5 ±0,0000003,

j = = 0.0000527±3×10 -7 ,

j = (527±3)×10 -7 ,

j = (0.527±0.003) ×10 -4 .

4) Sonucun bir boyutu varsa belirtilmelidir:

doğru - g \u003d (9.82 ± 0.02) m / s 2,

yanlış - g=(9,82±0,02).

Grafik Kuralları

1. Grafikler grafik kağıdı üzerine inşa edilmiştir.

2. Çizim yapmadan önce, hangi değişkenin argüman, hangisinin fonksiyon olduğunu açıkça tanımlamak gerekir. Argüman değerleri apsis eksenine çizilir (eksen X), fonksiyon değerleri - y ekseninde (eksen de).

3. Deneysel verilerden, argüman ve fonksiyonun değişim sınırlarını belirleyin.

4. Koordinat eksenlerinde çizilen fiziksel miktarları belirtin ve miktar birimlerini belirleyin.

5. Deney noktalarını grafiğe çizerek işaretleyin (çapraz, daire, kalın nokta).

6. Deney noktalarından düzgün bir eğri (düz) çizin, böylece bu noktalar eğrinin her iki tarafında yaklaşık olarak eşit sayılarda yer alır.

Herhangi bir ölçüm her zaman, ölçüm cihazlarının sınırlı doğruluğu, yanlış seçim ve ölçüm yönteminin hatası, deneycinin fizyolojisi, ölçülen nesnelerin özellikleri, ölçüm koşullarındaki değişiklikler vb. ile ilgili bazı hatalarla yapılır. Bu nedenle, ölçüm görevi yalnızca miktarın kendisini değil, aynı zamanda ölçüm hatasını, yani. ölçülen niceliğin gerçek değerinin bulunma olasılığının en yüksek olduğu aralık. Örneğin, t zaman aralığını 0,2 s bölme değerine sahip bir kronometre ile ölçerken, gerçek değerinin s'den s'ye kadar olan aralıkta olduğunu söyleyebiliriz.
İle birlikte. Böylece ölçülen değer her zaman bir miktar hata içerir.
, nerede ve X, sırasıyla, incelenen miktarın gerçek ve ölçülen değerleridir. Değer
aranan mutlak hata(hata) ölçümleri ve ifadesi
ölçüm doğruluğunu karakterize eden denir göreceli hata.

Deneycinin her ölçümü elde edilebilecek en yüksek doğrulukla yapmaya çalışması oldukça doğaldır, ancak böyle bir yaklaşım her zaman uygun değildir. Şu veya bu miktarı ne kadar doğru ölçmek istersek, kullanmamız gereken aletler ne kadar karmaşıksa, bu ölçümler o kadar fazla zaman alacaktır. Bu nedenle, nihai sonucun doğruluğu deneyin amacına uygun olmalıdır. Hata teorisi, ölçümlerin nasıl yapılması gerektiği ve sonuçların nasıl işlenmesi gerektiği konusunda tavsiyelerde bulunur, böylece hata payı mümkün olduğunca küçük olur.

Ölçümlerden kaynaklanan tüm hatalar genellikle üç türe ayrılır - sistematik, rastgele ve eksik veya büyük hatalar.

Sistematik hatalar cihazların imalatının sınırlı doğruluğu (cihaz hataları), seçilen ölçüm yönteminin eksiklikleri, hesaplama formülünün yanlışlığı, cihazın yanlış kurulumu vb. Böylece sistematik hatalar, aynı ölçümler birçok kez tekrarlandığında aynı şekilde hareket eden faktörlerden kaynaklanır. Bu hatanın değeri belirli bir yasaya göre sistematik olarak tekrarlanır veya değiştirilir. Bazı sistematik hatalar, ölçüm yöntemini değiştirerek, cihaz okumalarına düzeltmeler getirerek ve dış faktörlerin sürekli etkisini hesaba katarak ortadan kaldırılabilir (pratikte bunu başarmak her zaman kolaydır).

Tekrarlanan ölçümler sırasındaki sistematik (enstrümental) hata, ölçülen değerin bir yönde gerçek değerden sapmasını verse de, hangi yönde olduğunu asla bilemeyiz. Bu nedenle, araçsal hata çift işaretle yazılır.

Rastgele hatalarçok sayıda rastgele nedenden (sıcaklık, basınç, bina sarsıntısı vb.) kaynaklanır, bunların her bir ölçüm üzerindeki etkisi farklıdır ve önceden dikkate alınamaz. Rastgele hatalar, deneycinin duyu organlarının kusurlu olması nedeniyle de meydana gelir. Rastgele hatalar, ölçülen nesnenin özelliklerinden kaynaklanan hataları da içerir.

Bireysel ölçümlerin rastgele hatalarını hariç tutmak imkansızdır, ancak çoklu ölçümler yaparak bu hataların nihai sonuç üzerindeki etkisini azaltmak mümkündür. Rastgele hatanın araçsal (sistematik) hatadan önemli ölçüde daha az olduğu ortaya çıkarsa, ölçüm sayısını artırarak rastgele hatayı daha da azaltmanın bir anlamı yoktur. Rastgele hata aletsel hatadan büyükse, rastgele hatanın değerini azaltmak ve aletsel hata ile bir veya daha az büyüklükte yapmak için ölçüm sayısı arttırılmalıdır.

Hatalar veya gaflar- bunlar cihazdaki yanlış okumalar, okumanın yanlış kaydedilmesi vb. Kural olarak, belirtilen nedenlerden kaynaklanan kayıplar açıkça görülebilir, çünkü bunlara karşılık gelen okumalar diğer okumalardan keskin bir şekilde farklıdır. Kayıplar kontrol ölçümleri ile ortadan kaldırılmalıdır. Böylece, ölçülen niceliklerin gerçek değerlerinin bulunduğu aralığın genişliği sadece rastgele ve sistematik hatalarla belirlenecektir.

2 . Sistematik (araçsal) hata tahmini

Doğrudan ölçümler içinölçülen miktarın değeri doğrudan ölçüm cihazının ölçeğinde okunur. Okuma hatası, bir ölçek bölümünün onda birkaçına ulaşabilir. Genellikle, bu tür ölçümlerde, sistematik hatanın büyüklüğü, ölçüm cihazının ölçek bölümünün yarısına eşit olarak kabul edilir. Örneğin, 0,05 mm'lik bir bölme değerine sahip bir kumpas ile ölçüm yaparken, enstrümantal ölçüm hatasının değeri 0,025 mm'ye eşit olarak alınır.

Dijital ölçü aletleri alet ölçeğindeki son basamağın bir biriminin değerine eşit bir hata ile ölçtükleri niceliklerin değerini verirler. Bu nedenle, bir dijital voltmetre 20.45 mV değerini gösteriyorsa, ölçümdeki mutlak hata şudur:
mV.

Tablolardan belirlenen sabit değerler kullanıldığında da sistematik hatalar oluşur. Bu gibi durumlarda, hata, son anlamlı basamağın yarısına eşit olarak alınır. Örneğin, tabloda çelik yoğunluğunun değeri 7.9∙10 3 kg / m3'e eşit bir değerle verilirse, bu durumda mutlak hata eşittir
kg / m3

Elektrikli ölçü aletlerinin aletsel hatalarının hesaplanmasındaki bazı özellikler aşağıda tartışılacaktır.

Sistematik (enstrümantal) hatayı belirlerken dolaylı ölçümler fonksiyonel değer
formül kullanılır

, (1)

nerede - miktarın doğrudan ölçümlerinin alet hataları , - fonksiyonun değişkene göre kısmi türevleri.

Örnek olarak, bir silindirin hacmini ölçerken sistematik hatayı hesaplamak için bir formül elde edeceğiz. Bir silindirin hacmini hesaplama formülü:

.

Değişkenlere göre kısmi türevler d ve h eşit olacak

,
.

Bu nedenle, (2. ..)'ye göre bir silindirin hacminin ölçülmesinde mutlak sistematik hatayı belirleme formülü aşağıdaki forma sahiptir.

,

nerede
ve
silindirin çapını ve yüksekliğini ölçmede enstrümantal hatalar

3. Rastgele hata tahmini.

Güven Aralığı ve Güven Olasılığı

Basit ölçümlerin büyük çoğunluğu için, sözde normal rastgele hatalar yasası oldukça iyi karşılanmaktadır ( Gauss yasası), aşağıdaki ampirik hükümlerden türetilmiştir.

ölçüm hataları sürekli bir dizi değer alabilir;

çok sayıda ölçüm, aynı büyüklükte hatalar, ancak farklı işaret eşit sıklıkta meydana gelir

Rastgele hata ne kadar büyük olursa, meydana gelme olasılığı o kadar az olur.

Normal Gauss dağılımının grafiği Şekil 1'de gösterilmiştir. Eğri denklemi şu şekildedir:

, (2)

nerede
- bir hata olasılığını karakterize eden rastgele hataların (hataların) dağıtım fonksiyonu
, σ – kök ortalama kare hatası.

σ değeri rastgele bir değişken değildir ve ölçüm sürecini karakterize eder. Ölçüm koşulları değişmezse, σ sabit kalır. Bu miktarın karesine denir ölçümlerin dağılımı. Dağılım ne kadar küçük olursa, bireysel değerlerin yayılması o kadar küçük ve ölçüm doğruluğu o kadar yüksek olur.

Ortalama karekök hatasının σ tam değeri ve ayrıca ölçülen miktarın gerçek değeri bilinmemektedir. Bu parametrenin, ortalama kare hatasının aritmetik ortalamanın ortalama kare hatasına eşit olduğu bir sözde istatistiksel tahmini vardır. . Değeri formülle belirlenir

, (3)

nerede - sonuç i-inci boyut; - elde edilen değerlerin aritmetik ortalaması; n ölçüm sayısıdır.

Ölçüm sayısı ne kadar büyük olursa, o kadar küçük olur ve σ'ya o kadar yaklaşır. Ölçülen değerin gerçek değeri μ, ölçümler sonucunda elde edilen aritmetik ortalama değeri ve rastgele mutlak hata ise, ölçüm sonucu şu şekilde yazılacaktır:
.

Değer aralığı
önceki
Ölçülen miktarın μ gerçek değerinin düştüğü , denir güven aralığı. Rastgele bir değişken olduğu için gerçek değer, α olasılığı olarak adlandırılan güven aralığına düşer. güven olasılığı, veya güvenilirlikölçümler. Bu değer, gölgeli eğrisel yamuğun alanına sayısal olarak eşittir. (resme bakın.)

Bütün bunlar, σ'ya yakın olduğunda, yeterince büyük sayıda ölçüm için geçerlidir. Laboratuvar çalışmaları sırasında ele aldığımız az sayıdaki ölçümün güven aralığını ve güven seviyesini bulmak için kullanırız. Öğrencinin olasılık dağılımı. Bu, rastgele değişkenin olasılık dağılımıdır. aranan Öğrenci katsayısı, güven aralığının değerini aritmetik ortalamanın ortalama kare hatasının kesirleri cinsinden verir .

. (4)

Bu miktarın olasılık dağılımı σ 2'ye bağlı değildir, ancak esas olarak deney sayısına bağlıdır. n. Deney sayısının artmasıyla n Student dağılımı Gauss dağılımına eğilimlidir.

Dağıtım işlevi tablolaştırılmıştır (Tablo 1). Öğrenci katsayısının değeri, ölçüm sayısına karşılık gelen çizginin kesişme noktasındadır. n ve α güven düzeyine karşılık gelen sütun

Tablo 1.

Tablodaki verileri kullanarak şunları yapabilirsiniz:

belirli bir olasılık verilen güven aralığını belirleyin;

bir güven aralığı seçin ve güven düzeyini belirleyin.

Dolaylı ölçümler için, fonksiyonun aritmetik ortalamasının ortalama karekök hatası formülle hesaplanır.

. (5)

Güven aralığı ve güven olasılığı, doğrudan ölçümlerde olduğu gibi belirlenir.

Toplam ölçüm hatasının tahmini. Nihai sonucun kaydedilmesi.

X'in ölçüm sonucunun toplam hatası sistematik ve rastgele hataların ortalama kare değeri olarak tanımlanacaktır.

, (6)

nerede δx - aletsel hata, Δ X rastgele bir hatadır.

X, doğrudan veya dolaylı olarak ölçülen bir miktar olabilir.

, α=…, Е=… (7)

Hata teorisinin formüllerinin çok sayıda ölçüm için geçerli olduğu akılda tutulmalıdır. Bu nedenle, rastgele ve dolayısıyla toplam hatanın değeri küçük bir miktar için belirlenir. n büyük bir hatayla. Δ hesaplanırken Xölçüm sayısı ile
3'ten büyükse bir anlamlı rakamla, ilk anlamlı rakam 3'ten küçükse iki anlamlı rakamla sınırlandırılması tavsiye edilir. Örneğin, eğer Δ ise. X= 0.042, sonra 2'yi atın ve Δ yazın X=0.04 ve eğer Δ X=0.123, sonra Δ yazıyoruz X=0,12.

Sonucun basamak sayısı ve toplam hata aynı olmalıdır. Bu nedenle, hatanın aritmetik ortalaması aynı olmalıdır. Bu nedenle, aritmetik ortalama önce ölçümden bir basamak fazla hesaplanır ve sonuç kaydedilirken değeri toplam hatanın basamak sayısı kadar rafine edilir.

4. Ölçüm hatalarını hesaplama metodolojisi.

Doğrudan ölçüm hataları

Doğrudan ölçümlerin sonuçları işlenirken aşağıdaki işlem sırasının benimsenmesi önerilir.

. (8)

.

.

Toplam hata belirlenir

Ölçüm sonucunun bağıl hatası tahmin edilir

.

Nihai sonuç olarak yazılır

, α=… E=…% ile.

5. Dolaylı ölçümlerde hata

Diğer bağımsız niceliklerin bir fonksiyonu olan dolaylı olarak ölçülen bir niceliğin gerçek değerini değerlendirirken
, iki yöntem kullanılabilir.

İlk yol değeri kullanılırsa y belirlenen çeşitli koşullar deneyim. Bu durumda, değerlerin her biri için,
ve ardından tüm değerlerin aritmetik ortalaması belirlenir y i

. (9)

Sistematik (enstrümantal) hata, formüle göre tüm ölçümlerin bilinen araçsal hataları temelinde bulunur. Bu durumda rastgele hata, doğrudan ölçüm hatası olarak tanımlanır.

İkinci yol işlev varsa geçerlidir y aynı ölçümlerle birkaç kez belirlenir. Bu durumda, değer ortalama değerlerden hesaplanır. Laboratuvar uygulamamızda, dolaylı olarak ölçülen miktarı belirlemenin ikinci yöntemi daha sık kullanılmaktadır. y. Sistematik (enstrümantal) hata, ilk yöntemde olduğu gibi, formüle göre tüm ölçümlerin bilinen araçsal hataları temelinde bulunur.

Dolaylı bir ölçümün rastgele hatasını bulmak için, ilk önce bireysel ölçümlerin aritmetik ortalamasının ortalama karekök hataları hesaplanır. Daha sonra kök ortalama kare hatası bulunur y. Güven olasılığının ayarlanması α, Öğrenci katsayısının bulunması, rastgele ve toplam hataların belirlenmesi, doğrudan ölçümlerde olduğu gibi gerçekleştirilir. Benzer şekilde, tüm hesaplamaların sonucu formda sunulur.

, α=… E=…% ile.

6. Bir laboratuvar çalışması tasarlama örneği

Laboratuvar #1

SİLİNDİR HACİM TESPİTİ

Aksesuarlar: 0,05 mm ölçek bölmeli sürmeli kumpas, 0,01 mm ölçek bölmeli mikrometre, silindirik gövde.

Amaç: en basit fiziksel ölçümlere aşinalık, bir silindirin hacmini belirleme, doğrudan ve dolaylı ölçüm hatalarını hesaplama.

İş emri

Bir kumpas ile silindir çapının ve bir mikrometre ile yüksekliğinin en az 5 ölçümünü yapın.

Silindirin hacmini hesaplamak için hesaplama formülü

burada d silindirin çapıdır; h yüksekliktir.

Ölçüm sonuçları

Tablo 2.

Mutlak hata

;
.

5. Göreceli hata veya ölçüm doğruluğu

; E = %0.5.

6. Nihai sonucun kaydedilmesi

İncelenen miktar için nihai sonuç şu şekilde yazılır:

, E = % 0,5.

Not. Son kayıtta, sonucun basamak sayısı ile mutlak hata aynı olmalıdır.

6. Ölçüm sonuçlarının grafiksel gösterimi

Fiziksel ölçümlerin sonuçları sıklıkla grafik şeklinde sunulur. Grafiklerin bir numarası var önemli faydalar ve değerli özellikler:

a) işlevsel bağımlılığın türünü ve geçerli olduğu sınırları belirlemeyi mümkün kılmak;

b) deneysel verileri teorik eğri ile görsel olarak karşılaştırmayı mümkün kılmak;

c) bir grafik oluştururken, rastgele hatalar nedeniyle meydana gelen bir fonksiyon sırasındaki atlamaları düzeltirler;

d) belirli miktarları belirlemeyi veya grafiksel farklılaşmayı, entegrasyonu, bir denklemin çözümünü vb. gerçekleştirmeyi mümkün kılmak.

Rafiki, kural olarak, özel kağıt üzerinde gerçekleştirilir (milimetrik, logaritmik, yarı logaritmik). Bağımsız değişkeni yatay eksen boyunca çizmek gelenekseldir, yani. değeri deneycinin kendisi tarafından belirlenen değer ve dikey eksen boyunca bu durumda belirlediği değer. Koordinat eksenlerinin kesişiminin x ve y'nin sıfır değerleriyle çakışması gerekmediği akılda tutulmalıdır. Koordinatların kökenini seçerken, çizimin tüm alanının tamamen kullanıldığı gerçeğine rehberlik edilmelidir (Şekil 2.).

Grafiğin koordinat eksenlerinde, yalnızca niceliklerin adları veya sembolleri değil, aynı zamanda ölçüm birimleri de belirtilir. Koordinat eksenleri boyunca ölçek, ölçülen noktaların sayfanın tüm alanı üzerinde yer alması için seçilmelidir. Aynı zamanda, ölçek basit olmalıdır, böylece bir grafik üzerinde noktalar çizerken, akılda aritmetik hesaplamalar yapmak zorunda kalmazsınız.

Grafikteki deneysel noktalar doğru ve net bir şekilde görüntülenmelidir. Farklı deneysel koşullar altında (örneğin, ısıtma ve soğutma) elde edilen noktalar, farklı renkler veya farklı simgelerle faydalı bir şekilde çizilebilir. Deneyin hatası biliniyorsa, bir nokta yerine, boyutları eksenler boyunca bu hataya karşılık gelen bir çarpı veya dikdörtgen tasvir etmek daha iyidir. Deney noktalarının kesikli bir çizgi ile birbirine bağlanması önerilmez. Grafik üzerindeki eğri, Şekil 3'te gösterildiği gibi deneysel noktaların eğrinin hem üstünde hem de altında yer aldığından emin olarak düzgün bir şekilde çizilmelidir.

Grafikleri çizerken, tek tip ölçekli bir koordinat sistemine ek olarak, fonksiyonel ölçekler olarak adlandırılanlar kullanılır. Uygun x ve y fonksiyonlarını seçerek, grafikte normal yapıya göre daha basit bir çizgi elde edebilirsiniz. Genellikle bu, parametrelerini belirlemek için belirli bir grafik için bir formül seçerken gereklidir. Fonksiyonel ölçekler, grafikteki eğrinin herhangi bir bölümünü uzatmanın veya kısaltmanın gerekli olduğu durumlarda da kullanılır. Çoğu zaman, fonksiyonel ölçeklerden logaritmik ölçek kullanılır (Şekil 4).

Belirli koşullardan, gereksinimlerden ve fırsatlardan tahminlerhatalarSonuçlarölçümler. Göre Genel Hükümler bilgi teorisi...

Bağımsız olarak ölçülen iki fiziksel nicelik ve sırasıyla ve hatalarla bilinmesine izin verin. O zamanlar kurallara uymak:

1. Toplamın (fark) mutlak hatası, mutlak hataların toplamıdır. Yani, eğer

Daha makul bir tahmin (miktarların ve bağımsız olduğu ve gerçek değerlerinin aynı anda aralıkların kenarlarında olması muhtemel olmadığı dikkate alınarak) aşağıdaki formülle elde edilir:

Herkes için okul olimpiyatları bu iki formülden herhangi biri kullanılabilir. Birkaç (ikiden fazla) terim olması durumunda benzer formüller geçerlidir.

Örnek:

Değere izin ver ,

.

2. Çarpımın bağıl hatası (bölüm), göreli hataların toplamıdır.

Yani, eğer

Önceki durumda olduğu gibi, daha makul bir formül

Benzer formüller, birkaç (ikiden fazla) faktör olması durumunda geçerlidir.

Böylece, iki nicelik toplanarak önce niceliğin mutlak hatası hesaplanır ve daha sonra bağıl hata hesaplanabilir.

Örnek:

Değere izin ver ,

3. Üs alma kuralı. Eğer öyleyse .

Örnek:

4. Bir sabitle çarpma kuralı. Eğer bir .

Örnek:

5. Miktarların daha karmaşık işlevleri, hataları yukarıda sunulan formüller kullanılarak hesaplanabilen daha basit hesaplamalara bölünür.

Örnek:

İzin vermek

6. Hesaplama formülü karmaşıksa ve yukarıda açıklanan durumlara indirgenemiyorsa, kısmi türev kavramına aşina olan okul çocukları dolaylı ölçüm hatasını aşağıdaki gibi bulabilirler:

veya daha basit bir tahminle:

Örnek:

İzin vermek

7. Türevlere aşina olmayan öğrenciler, aşağıdakilerden oluşan sınır yöntemini kullanabilirler: Her değer için gerçek değerinin bulunduğu aralığı bize bildirin. Değerleri ayarlama alanındaki değerin minimum ve maksimum olası değerini hesaplayalım:

Değerin mutlak hatası için maksimum ve minimum değerlerin yarı farkını alırız:

Örnek:

İzin vermek

Yuvarlama kuralları

Ölçüm sonuçlarını işlerken, genellikle yuvarlama yapmak gerekir. Bu durumda yuvarlama sırasında oluşan hatanın diğer hatalardan en az bir büyüklük mertebesi küçük olmasına dikkat edilmelidir. Ancak çok fazla önemli rakam bırakmak da değerli zaman kaybını beraberinde getirdiği için yanlıştır. Çoğu durumda, hatayı iki anlamlı rakama ve sonucu hatayla aynı sıraya yuvarlamak yeterlidir. Son cevabı yazarken, bu rakamın bir olduğu durum dışında, hatada yalnızca bir anlamlı rakam bırakmak gelenekseldir, o zaman hatada iki anlamlı rakam bırakılmalıdır. Ayrıca, çoğu zaman sayının sırası parantezden çıkarılır, böylece sayının ilk anlamlı basamağı ya birimler sırasında ya da onuncular sırasında kalır.

Örneğin, Young'ın çelik ve Alüminyum modülü ölçüldüyse, aşağıdaki değerler elde edildi (yuvarlamadan önce):

, , , .

Doğru yazılmış son cevap daha sonra şöyle görünür:

çizim

Okul fizik olimpiyatlarında sunulan birçok görevde, bir fiziksel niceliğin diğerine bağımlılığını ortadan kaldırmak ve daha sonra bu bağımlılığı analiz etmek gerekir (deneysel bağımlılığı teorik olanla karşılaştırın, teorik bağımlılığın bilinmeyen parametrelerini belirleyin). Grafik, verileri sunmanın ve daha fazla analiz etmenin en uygun ve görsel yoludur. Bu nedenle, çoğu deneysel problemin değerlendirme kriterlerinde, grafiğin oluşturulması koşulda açıkça gerekli olmasa bile, grafik için noktalar vardır. Bu nedenle, bir problemi çözerken, bu problemde bir grafik çizmenin gerekli olup olmadığından şüphe ediyorsanız - bir grafik lehine bir seçim yapın.

Grafik kuralları

1. Grafik, grafik kağıdı üzerine inşa edilmiştir. Olimpiyat grafik kağıdının deneysel turunda hemen sağlanmadıysa, bunu organizatörlerden istemeniz gerekir.

2. Bu grafiği hangi katılımcının oluşturduğunun her zaman belirlenebilmesi için grafiğin üst kısmına imzalanmalıdır. Makale, gözden geçirme sırasında programın kaybolması durumunda uygun bir programın oluşturulduğunu belirtmelidir.

3. Grafik kağıdı yönü yatay veya dikey olabilir.

4. Grafiğin koordinat eksenleri olmalıdır. Dikey eksen grafiğin sol tarafında ve yatay eksen altta çizilir.

5. Dikey eksen, fonksiyonun değerlerine, yatay eksen ise argümanın değerlerine karşılık gelmelidir.

6. Grafikteki eksenler, grafik kağıdının kenarından 1-2 cm girinti ile çizilir.

7. Her eksen imzalanmalıdır, yani bu eksen boyunca çizilen fiziksel miktar ve (virgülle ayrılmış) ölçü birimi belirtilmelidir. "", "" ve "" biçimindeki girişler eşdeğerdir, ancak ilk ikisi tercih edilir. Yatay eksen üst uçta solda, dikey eksen ise sağ uçta aşağıda imzalanmıştır.

8. Eksenler (0,0) noktasında kesişmek zorunda değildir.

9. Grafiğin ölçeği ve referans noktasının koordinat eksenlerindeki konumu, çizilen noktaların mümkünse sayfanın tüm alanına yerleştirileceği şekilde seçilir. Bu durumda koordinat eksenlerinin sıfırları grafiğin üzerine hiç düşmeyebilir.

10. Grafik kağıdına bir santimetre boyunca çizilen çizgiler, miktarların yuvarlak değerlerine düşmelidir. Milimetrik kağıt üzerinde 1 cm, bu eksen boyunca 1, 2, 4, 5 * 10 n ölçü birimine karşılık geliyorsa, grafikle çalışmak uygundur. Eksen üzerindeki bölümlerin bir kısmı imzalanmalıdır. İmzalı bölmeler birbirinden eşit uzaklıkta olmalıdır. Eksen üzerindeki işaretli bölmeler en az 4 en fazla 10 olmalıdır.

11. Grafikteki noktalar, açık ve net bir şekilde görülebilecek şekilde uygulanmalıdır. Grafikte çizilen değerin hatalı olduğunu göstermek için her noktadan yukarı ve aşağı, sağa ve sola doğru segmentler çizilir. Yatay bölümlerin uzunluğu, yatay eksen boyunca çizilen değerin hatasına karşılık gelir, dikey bölümlerin uzunluğu, dikey eksen boyunca çizilen değerin hatasına karşılık gelir. Böylece, hata kesişimleri adı verilen deneysel noktanın belirlendiği alanlar belirtilir. Aşağıdaki durumlar dışında hata çarpılarının çizelgeye çizilmesi zorunludur: sorunlu durumda, hataları değerlendirmemek için doğrudan bir talimat verilir, hata karşılık gelen eksen ölçeğinde 1 mm'den azdır. İkinci durumda, değerlerdeki hatanın bu eksen boyunca uygulanamayacak kadar küçük olduğu belirtilmelidir. Bu gibi durumlarda, nokta boyutunun ölçüm hatasına karşılık geldiği kabul edilir.

12. Programınızın uygun, anlaşılır ve doğru olmasını sağlamaya çalışın. Hataların düzeltilebilmesi için bir kalemle oluşturun. İlgili değeri noktanın yanına etiketlemeyin - bu, grafiği karmaşıklaştırır. Aynı grafikte birden fazla ilişki gösteriliyorsa, noktalar için farklı semboller veya renkler kullanın. Hangi tür deneysel noktaların hangi bağımlılığa karşılık geldiğini belirlemek için çizim açıklamasını kullanın. Grafikte üstü çizililere izin verilir (silgi başarısız olduysa veya iyi kalem), ancak dikkatli bir şekilde yapılmalıdır. Kontur düzeltici kullanmayın - çirkin görünüyor.

Not: Yukarıdaki kuralların tümü, yalnızca programla çalışmanın rahatlığından kaynaklanmaktadır. Ancak, Olimpiyatlardaki çalışmaları kontrol ederken, jüri bu kuralları resmi kriterler olarak kullanır: ölçek kötü seçilmiş - eksi yarım puan. Bu nedenle, Olimpiyat'ta bu kurallara kesinlikle uyulmalıdır.

Örnek:

Sağda kriterlere göre değil, solda yukarıdaki kurallara göre oluşturulmuş bir grafik var.

Dolaylı ölçümlerin hatalarını tahmin etmenin temel prensibini anlamak için, bu hataların kaynağını analiz etmek gerekir.

Fiziksel nicelik Y, doğrudan ölçülen niceliğin bir fonksiyonu olsun. X,
Y = f(x).

Değer X D hatası var X. Bu hata D X- argümanın tanımındaki yanlışlık x fiziksel nicelik hatasının kaynağıdır Y, bir fonksiyon olan f(x).

Artış D X argüman X fonksiyonun artışını belirler.

Argüman hatası D X dolaylı olarak belirlenmiş fiziksel miktar Y hatayı belirler, burada D X- doğrudan ölçümlerde bulunan fiziksel niceliğin hatası.

Fiziksel bir nicelik doğrudan birkaçın bir fonksiyonuysa
ölçülen miktarlar, daha sonra, her argüman için benzer akıl yürütme xi, şunu elde ederiz:

Bu formülle hesaplanan hatanın maksimum olduğu ve çalışılan fonksiyonun tüm argümanlarının aynı anda ortalama değerlerinden maksimum sapmaya sahip olduğu duruma karşılık geldiği açıktır. Uygulamada, bu tür durumlar olası değildir ve çok nadiren gerçekleşir, bu nedenle hesaplanmalıdır.
dolaylı ölçümlerin sonucunun hatası .
( Bu formül, hatalar teorisinde kanıtlanmıştır.)
Gerçek ölçümlerde, çeşitli niceliklerin nispi doğruluğu Xçok farklı olabilirim Bu durumda, miktarlardan biri için xm eşitsizlik , nerede i=1,…, m-1, m+1,…, n, o zaman dolaylı olarak belirlenen D miktarının hatasının olduğunu varsayabiliriz. Y D hatası tarafından belirlenir xm:

Örnek.
Hız ölçerken V dönen diskler yöntemiyle mermi uçuşu, mermi hızı V=3601N/ j, dolaylı ölçümlerin sonucudur, burada ben - diskler arasındaki mesafe , N- doğrulukla bilinen, zaman birimi başına devir sayısı , j - derece cinsinden ölçülen dönüş açısı , bu nedenle, dönüş açıları için j £ 70o, disklerin dönüş açısının doğruluğu belirleyici faktör olacaktır.

Yani, dolaylı olarak belirlenmiş bir fiziksel miktarın hatasını hesaplarken her şeyden önce, doğrudan ölçümlerde en az kesin olarak belirlenmiş miktarı ortaya çıkarmak gerekir ve eğer varsa , say , geri kalanın hatalarını ihmal et X i i ¹ m .

Fiziksel niceliklerin ilişkisinin en yaygın durumlarını düşünün.

Bu durumda, önce bağıl hatayı hesaplamak daha kolaydır.

Bu ifade fazla tahmin edilmiş bir hata veriyor. Hatalar teorisinden türetilen daha kesin bir formül şudur: .

Diferansiyellerden sonlu artışlara geçerken, elimizde:
.
Bu durumda, mutlak hata DY, doğrudan ölçülen miktarın göreli hatasıyla orantılıdır. x. eğer D x= const, sonra büyüme ile X DY azalacaktır (bu nedenle logaritmik grafikler eşit olmayan hatalara sahip olma eğilimindedir D Y).
Örnek.

Naftalinin üçlü noktasını belirlerken, ln bağımlılığını çizmek gerekir. P dönüş sıcaklığından, nerede R mmHg cinsinden basınç, en yakın 1 mmHg'ye belirlenir. Sanat.

Şekil 1.
Yani, formun logaritmik fonksiyonları içinY = Alogaxgöreli hatayla orantılı olan mutlak hatayı hemen hesaplamak daha kolaydırdeğişken x: