Kryžiažodis yra reikšmė, kuriai būdinga tik skaitinė reikšmė. Kiekiai, kuriuos visiškai lemia jų skaitinė vertė

ATSITIKTINĖS VERTYBĖS IR JŲ PASKIRSTYMO DĖSNIAI.

Atsitiktinis vadinamas dydžiu, kurio reikšmės priklauso nuo atsitiktinių aplinkybių derinio. Išskirti diskretus ir atsitiktinai tęstinis kiekiai.

Diskretus Dydis vadinamas, jei jis užima skaičiuojamą reikšmių rinkinį. ( Pavyzdys: pacientų skaičius gydytojo kabinete, raidžių skaičius puslapyje, molekulių skaičius tam tikrame tūryje).

tęstinis vadinamas dydžiu, kuris gali įgyti vertes tam tikru intervalu. ( Pavyzdys: oro temperatūra, kūno svoris, žmogaus ūgis ir kt.)

paskirstymo įstatymas Atsitiktinis dydis yra galimų šio dydžio verčių ir, atitinkančių šias reikšmes, tikimybių (arba pasireiškimo dažnių) rinkinys.

PAVYZDYS:

Atsitiktinių dydžių skaitinės charakteristikos.

Daugeliu atvejų kartu su atsitiktinio dydžio pasiskirstymu arba vietoj jo informaciją apie šiuos dydžius galima pateikti skaitiniais parametrais, vadinamais atsitiktinio dydžio skaitinės charakteristikos . Dažniausiai iš jų naudojami:

1 .Tikėtina vertė - Atsitiktinio dydžio (vidutinė reikšmė) yra visų jo galimų reikšmių sandaugų ir šių reikšmių tikimybių suma:

2 .Sklaida atsitiktinis kintamasis:

3 .Standartinis nuokrypis :

TRYS SIGMS - jei atsitiktinis dydis yra paskirstytas pagal normalųjį dėsnį, tai šios reikšmės nuokrypis nuo vidutinės reikšmės absoliučia verte neviršija standartinio nuokrypio tris kartus

Gauso dėsnis – normalaus pasiskirstymo dėsnis

Dažnai vertybės yra paskirstytos normalus įstatymas (Gauso dėsnis). Pagrindinis bruožas : tai yra ribojantis dėsnis, kuriam taikomi kiti paskirstymo dėsniai.

Atsitiktinis dydis paprastai yra pasiskirstęs, jei jo tikimybės tankis atrodo kaip:

M(X) - matematinis atsitiktinio dydžio lūkestis;

 – standartinis nuokrypis.

Tikimybių tankis (paskirstymo funkcija) parodo, kaip kinta su intervalu susijusi tikimybė dx atsitiktinis kintamasis, priklausomai nuo paties kintamojo reikšmės:

Pagrindinės matematinės statistikos sąvokos

Matematinė statistika - taikomosios matematikos šaka, tiesiogiai greta tikimybių teorijos. Pagrindinis skirtumas tarp matematinės statistikos ir tikimybių teorijos yra tas, kad matematinė statistika neatsižvelgia į veiksmus, susijusius su pasiskirstymo dėsniais ir atsitiktinių dydžių skaitinėmis charakteristikomis, o į apytikslius šių dėsnių ir skaitinių charakteristikų nustatymo metodus, pagrįstus eksperimentiniais rezultatais.

Pagrindinės sąvokos Matematinė statistika yra tokia:

Bendra populiacija;

pavyzdys;

variacijų serija;

mada;

mediana;

procentilė,

dažnio daugiakampis,

Juostinė diagrama.

Gyventojų skaičius - didelė statistinė visuma, iš kurios atrenkami kai kurie tyrimo objektai

(Pavyzdys: visi regiono gyventojai, miesto universitetų studentai ir kt.)

Imtis (imties visuma) - objektų rinkinys, atrinktas iš bendrosios populiacijos.

Variacijų serija - statistinis pasiskirstymas, susidedantis iš variantų (atsitiktinio dydžio reikšmių) ir juos atitinkančių dažnių.

Pavyzdys:

x - atsitiktinio dydžio reikšmė (10 metų mergaičių masė);

m - pasireiškimo dažnumas.

Mada – atsitiktinio dydžio reikšmė, atitinkanti didžiausią pasireiškimo dažnumą. (Anksčiau pateiktame pavyzdyje 24 kg yra labiausiai paplitusi mados vertė: m = 20).

Mediana - atsitiktinio dydžio, dalijančio pasiskirstymą per pusę, reikšmė: pusė reikšmių yra dešinėje nuo medianos, pusė (ne daugiau) - kairėje.

Pavyzdys:

1, 1, 1, 1, 1. 1, 2, 2, 2, 3 , 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7 , 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8 , 8, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10

Pavyzdyje stebime 40 atsitiktinio dydžio reikšmių. Visos reikšmės yra išdėstytos didėjančia tvarka, atsižvelgiant į jų atsiradimo dažnumą. Matyti, kad 20 (pusė) iš 40 reikšmių yra dešinėje nuo pasirinktos vertės 7. Taigi 7 yra mediana.

Norėdami apibūdinti sklaidą, randame vertes, kurios buvo ne didesnės kaip 25 ir 75% matavimo rezultatų. Šios vertės vadinamos 25 ir 75 procentiliai . Jei mediana pasiskirsto per pusę, tada 25-asis ir 75-asis procentiliai nuo jos atskiriami ketvirtadaliu. (Pati mediana, beje, gali būti laikoma 50 procentiliu.) Kaip matote iš pavyzdžio, 25 ir 75 procentiliai yra atitinkamai 3 ir 8.

naudoti diskretus (taškinis) statistinis pasiskirstymas ir tęstinis (intervalinis) statistinis pasiskirstymas.

Aiškumo dėlei statistiniai pasiskirstymai formoje pavaizduoti grafiškai dažnio daugiakampis arba - histogramos .

Dažnio daugiakampis - trūkinė linija, kurios atkarpos jungia taškus su koordinatėmis ( x 1 , m 1 ), (x 2 , m 2 ), ..., arba už santykinių dažnių daugiakampis - su koordinatėmis ( x 1 ,R * 1 ), (x 2 ,R * 2 ), ...(1 pav.).

mm i / nf(x)

x x

1 pav.2 pav

Dažnio histograma - gretimų stačiakampių rinkinys, pastatytas ant vienos tiesios linijos (2 pav.), stačiakampių pagrindai yra vienodi ir lygūs dx , o aukščiai lygūs dažnio santykiui su dx , arba R * į dx (tikimybių tankis).

Pavyzdys:

71, Atsitiktinių dydžių skaitinės charakteristikos yra plačiai naudojami praktikoje patikimumo rodikliams skaičiuoti. Daugeliu praktikos klausimų nebūtina visiškai, išsamiai apibūdinti atsitiktinio dydžio. Dažnai pakanka nurodyti tik skaitinius parametrus, kurie tam tikru mastu apibūdina esmines atsitiktinio dydžio pasiskirstymo ypatybes, pavyzdžiui: reiškia , šalia kurios grupuojamos galimos atsitiktinio dydžio reikšmės; skaičius, apibūdinantis atsitiktinio dydžio sklaidą palyginti su vidutine verte ir pan. Skaitiniai parametrai, leidžiantys suspausta forma išreikšti reikšmingiausius atsitiktinio dydžio požymius, vadinami atsitiktinio dydžio skaitinėmis charakteristikomis.

a) b)

Ryžiai. 11 Tikėjimo apibrėžimas

Patikimumo teorijoje naudojamų atsitiktinių dydžių skaitinės charakteristikos pateiktos lentelėje. vienas.

72,Lūkėjimas(vidutinė vertė) nuolatinio atsitiktinio dydžio, kurio galimos reikšmės priklauso intervalui , yra apibrėžtasis integralas (11 pav., b)

. (26)

Matematinis lūkestis gali būti išreikštas integralinės funkcijos komplementu. Norėdami tai padaryti, pakeičiame (11) į (26) ir dalimis integruojame gautą išraišką

, (27)

nes ir , tada

. (28)

Neneigiamiems atsitiktiniams dydžiams, kurių galimos reikšmės priklauso intervalui , formulė (28) įgauna formą

. (29)

y., matematinis neneigiamo atsitiktinio dydžio, kurio galimos reikšmės priklauso intervalui, lūkestis , yra skaitine prasme lygus plotui po integralinės funkcijos komplemento grafiku (11 pav., a).

73,Vidutinis laikas iki pirmojo gedimo pagal statistinę informaciją nustatoma pagal formulę

, (30)

kur laikas iki pirmosios nesėkmės i-tas objektas; N- išbandytų objektų skaičius.

Panašiai nustatomi vidutiniai ištekliai, vidutinis tarnavimo laikas, vidutinis atkūrimo laikas, vidutinis galiojimo laikas.

74, Atsitiktinio dydžio sklaida aplink jo numatomą reikšmę vertinamas naudojant standartinio nuokrypio dispersija(RMS) ir variacijos koeficientas.

Ištisinio atsitiktinio dydžio X dispersija yra atsitiktinio dydžio kvadratinio nuokrypio nuo jo matematinio lūkesčio matematinis lūkestis ir apskaičiuojamas pagal formulę

. (31)

Sklaida turi atsitiktinio dydžio kvadrato matmenį, o tai ne visada patogu.

75,Standartinis nuokrypis Atsitiktinis kintamasis yra dispersijos kvadratinė šaknis ir turi atsitiktinio dydžio matmenį

. (32)

76,Variacijos koeficientas yra santykinis atsitiktinio dydžio sklaidos rodiklis ir apibrėžiamas kaip standartinio nuokrypio ir matematinio lūkesčio santykis

. (33)

77, Gama – atsitiktinio dydžio procentinė reikšmė- atsitiktinio dydžio reikšmė, atitinkanti nurodytą tikimybę kad atsitiktinis dydis įgyja didesnę reikšmę nei

. (34)

78, Gama - atsitiktinio dydžio procentinę reikšmę galima nustatyti integralo funkcija, jos komplemento ir diferencialine funkcija (12 pav.). Atsitiktinio dydžio gama procentinė reikšmė yra tikimybės kvantilis (12 pav., a)

. (35)

Taikoma patikimumo teorija gama procentinė išteklių vertė, tarnavimo laikas ir galiojimo laikas(1 lentelė). Gama procentas vadinamas ištekliais, tarnavimo laiku, galiojimo laiku, kuris turi (ir viršija) tam tikro tipo objektų procentą.

a) b)

12 pav. Atsitiktinio dydžio gama procentinės reikšmės nustatymas

Gama procentinis išteklius charakterizuoja ilgaamžiškumas pasirinktame lygyje nesunaikinimo tikimybė. Gama procentų išteklius priskiriamas atsižvelgiant į objektų atsakomybę. Pavyzdžiui, riedėjimo guoliams dažniausiai naudojamas 90% resursas, svarbiausių objektų guoliams pasirenkamas 95% ir daugiau išteklių, priartinant prie 100%, jei gedimas kelia pavojų gyvybei.

79, Atsitiktinio dydžio mediana yra jo gama procentinė vertė . Dėl medianos taip pat tikėtina, kad atsitiktinis dydis bus T daugiau ar mažiau nei tai, t.y.

Geometriškai mediana yra integraliojo skirstinio funkcijos ir jos komplemento susikirtimo taško abscisė (12 pav. b). Mediana gali būti aiškinama kaip abscisė to taško, kuriame diferencialinės funkcijos ordinatė dalija plotą, kurį riboja pasiskirstymo kreivė (12 pav., in).

Atsitiktinio dydžio mediana patikimumo teorijoje naudojama kaip skaitinė išteklių, tarnavimo trukmės, galiojimo trukmės charakteristika (1 lentelė).

Tarp objektų patikimumo rodiklių yra funkcinis ryšys. Vienos iš funkcijų išmanymas
leidžia nustatyti kitus patikimumo rodiklius. Ryšių tarp patikimumo rodiklių santrauka pateikta lentelėje. 2.

2 lentelė. Funkcinis ryšys tarp patikimumo rodiklių

Sprendžiant daugelį praktinių uždavinių, ne visada reikia visiškai apibūdinti atsitiktinį dydį, t.y. nustatyti pasiskirstymo dėsnius. Be to, funkcijos ar skirstinių serijos konstravimas diskrečiam atsitiktiniam dydžiui, o tankis - nuolatiniam atsitiktiniam dydžiui, yra sudėtingas ir nereikalingas.

Kartais pakanka nurodyti atskirus skaitinius parametrus, kurie iš dalies apibūdina skirstinio ypatybes. Būtina žinoti tam tikrą kiekvieno atsitiktinio dydžio vidutinę reikšmę, aplink kurią sugrupuojama jo galima reikšmė, arba šių reikšmių sklaidos laipsnį, palyginti su vidurkiu, ir pan.

Reikšmingiausių skirstinio požymių charakteristikos vadinamos skaitinėmis charakteristikomis atsitiktinis kintamasis. Jų pagalba palengvinamas daugelio tikimybinių problemų sprendimas, nenustatant jiems pasiskirstymo dėsnių.

Svarbiausia atsitiktinio dydžio padėties tikrojoje ašyje charakteristika yra tikėtina vertė M[X]= a, kuri kartais vadinama vidutine atsitiktinio dydžio reikšme. Dėl diskrečiųjų atsitiktinių dydžių X su galimas vertes x 1 , x 2 , … , x n ir tikimybės p 1 , p 2 ,… , p n ji nustatoma pagal formulę

Atsižvelgiant į tai, kad =1, galime rašyti

Šiuo būdu, matematinis lūkestis Diskretusis atsitiktinis dydis yra jo galimų reikšmių ir jų tikimybių sandaugų suma. Atsitiktinio kintamojo stebimų verčių aritmetinis vidurkis su daugybe eksperimentų artėja prie matematinio lūkesčio.

Dėl nuolatinis atsitiktinis dydis X matematinį lūkestį lemia ne suma, o integralas

kur f(x) - kiekio pasiskirstymo tankis x.

Matematinis lūkestis neegzistuoja visiems atsitiktiniams dydžiams. Kai kurių iš jų suma arba integralas skiriasi, todėl nereikia tikėtis. Tokiais atvejais tikslumo sumetimais reikėtų apriboti galimų atsitiktinio dydžio pokyčių diapazoną x, kurių suma arba integralas susilies.

Praktikoje taip pat naudojamos tokios atsitiktinio dydžio padėties charakteristikos kaip režimas ir mediana.

Atsitiktinė madavadinama labiausiai tikėtina jo vertė. Bendru atveju režimas ir matematinis lūkestis nesutampa.

Atsitiktinio dydžio medianaX yra jo reikšmė, kurios atžvilgiu yra vienoda tikimybė gauti didesnę ar mažesnę atsitiktinio dydžio reikšmę, t.y., tai taško, kuriame plotas, ribojamas pasiskirstymo kreivės, padalintas per pusę, abscisė. Simetriškam pasiskirstymui visos trys charakteristikos yra vienodos.

Be matematinio lūkesčio, režimo ir medianos, tikimybių teorijoje naudojamos ir kitos charakteristikos, kurių kiekviena apibūdina tam tikrą skirstinio savybę. Pavyzdžiui, skaitinės charakteristikos, apibūdinančios atsitiktinio kintamojo sklaidą, t. Jie reikšmingai papildo atsitiktinį kintamąjį, nes praktikoje dažnai pasitaiko atsitiktinių dydžių su vienodais matematiniais lūkesčiais, bet skirtingais pasiskirstymais. Nustatant sklaidos charakteristikas, skirtumas tarp atsitiktinio dydžio X ir jo matematinis lūkestis, t.y.

kur a = M[X] - tikėtina vertė.

Šis skirtumas vadinamas centruotas atsitiktinis kintamasis, atitinkamą vertę x, ir žymimas :

Atsitiktinio dydžio dispersija yra reikšmės nuokrypio nuo jos matematinio lūkesčio kvadrato matematinis lūkestis, t.y.:

D[ X]=M[( X-a) 2 ] arba

D[ X]=M[ 2 ].

Atsitiktinio dydžio dispersija yra patogi atsitiktinio dydžio reikšmių sklaidos ir sklaidos aplink jo matematinius lūkesčius charakteristika. Tačiau jis nėra matomas, nes turi atsitiktinio dydžio kvadrato matmenį.

Norint vizualiai apibūdinti sklaidą, patogiau naudoti dydį, kurio matmuo sutampa su atsitiktinio dydžio matmenimis. Ši vertė yra standartinis nuokrypis atsitiktinis kintamasis, kuris yra jo dispersijos teigiama kvadratinė šaknis.

Matematinės lūkesčiai, režimas, mediana, dispersija, standartinis nuokrypis – dažniausiai naudojamos atsitiktinių dydžių skaitmeninės charakteristikos. Sprendžiant praktinius uždavinius, kai neįmanoma nustatyti skirstinio dėsnio, apytikslis atsitiktinio dydžio apibūdinimas yra jo skaitinės charakteristikos, išreiškiančios kokią nors skirstinio savybę.

Be pagrindinių centro (tikties) ir sklaidos (sklaidos) charakteristikų, dažnai reikia apibūdinti ir kitas svarbias pasiskirstymo charakteristikas – simetrija ir aštrumas, kuriuos galima pavaizduoti naudojant paskirstymo momentus.

Atsitiktinio dydžio pasiskirstymas yra visiškai duotas, jei žinomi visi jo momentai. Tačiau daugelį skirstinių galima visiškai apibūdinti naudojant pirmuosius keturis momentus, kurie yra ne tik skirstinius apibūdinantys parametrai, bet ir svarbūs renkantis empirinius skirstinius, tai yra apskaičiuojant momentų skaitines reikšmes tam tikram statistiniam rodikliui. serijas ir naudojant specialius grafikus galima nustatyti skirstinio dėsnį.

Tikimybių teorijoje išskiriami du momentų tipai: pradinis ir centrinis.

Pradinis k-osios eilės momentas atsitiktinis kintamasis T vadinamas matematiniu kiekio lūkesčiu X k , t.y.

Todėl diskrečiam atsitiktiniam dydžiui jis išreiškiamas suma

o tęstiniam – integralinis

Tarp pradinių atsitiktinio dydžio momentų ypač svarbus yra pirmosios eilės momentas, kuris yra matematinis lūkestis. Didesnio laipsnio pradiniai momentai daugiausia naudojami centriniams momentams apskaičiuoti.

Centrinis k-osios eilės momentas Atsitiktinis kintamasis vadinamas matematiniu kintamojo lūkesčiu ( X-M [X])k

kur a = M[X].

Diskrečiajam atsitiktiniam dydžiui jis išreiškiamas suma

a tęstiniam – integralinis

Tarp pagrindinių atsitiktinio dydžio momentų yra antros eilės centrinis momentas, kuri parodo atsitiktinio dydžio dispersiją.

Pirmosios eilės centrinis momentas visada yra nulis.

Trečias pradinis momentas apibūdina skirstinio asimetriją (kreipumą) ir pagal stebėjimų rezultatus diskretiesiems ir nuolatiniams atsitiktiniams dydžiams nustato atitinkamos išraiškos:

Kadangi jis turi atsitiktinio dydžio kubo matmenis, norint gauti bedimensinę charakteristiką, m 3 padalintas iš standartinio nuokrypio iki trečiojo laipsnio

Gauta reikšmė vadinama asimetrijos koeficientu ir, priklausomai nuo ženklo, apibūdina teigiamą ( Kaip> 0) arba neigiamas ( Kaip< 0) skirstinio kreivumas (2.3 pav.).

„Fizikinių dydžių matavimo vienetai“ – absoliuti paklaida lygi pusei matavimo priemonės skalės padalos. Mikrometras. Rezultatas gaunamas tiesiogiai su matavimo prietaisu. Dėžutės ilgis: 4 cm trumpas, 5 cm didesnis. Kiekvienam fiziniam dydžiui yra atitinkami matavimo vienetai. Žiūrėti. Santykinė klaida.

„Ilgio reikšmės“ - 2. Kokius dydžius galima palyginti tarpusavyje: 2. Paaiškinkite, kodėl ši problema išspręsta naudojant papildymą: 2. Pagrįskite veiksmo pasirinkimą sprendžiant uždavinį. Kiek pakuočių gavai? Kiek rašiklių yra trijose iš šių dėžučių? Suknelės buvo pasiūtos iš 12 m audinio, išleidžiant po 4 m. Kiek suknelių pasiūta?

„Fiziniai dydžiai“ – ribos, skiriančios fiziką ir kitus gamtos mokslus, yra istoriškai sąlyginės. Bet kurio matavimo rezultate visada yra tam tikra paklaida. Nauja tema. Greitis. Sąveika telefonu. Fizikiniai dėsniai pateikiami kiekybinių santykių forma, išreikšta matematikos kalba. Matavimo klaida.

„Skaičius kaip vertės matavimo rezultatas“ - „Skaičius kaip vertės matavimo rezultatas“ matematikos pamoka 1 klasėje. Atkarpos ilgio matavimas matuokliu.

„Skaičiai ir kiekiai“ – Pažintis su masės samprata. Masių palyginimas be matavimų. Romėniška rašytinė numeracija. Talpa. Studentas išmoks: Skaičiai ir kiekiai (30 val.) Koordinačių spindulys Koordinačių spindulio samprata. Planuojami dalykų rezultatai skiltyje „Skaičiai ir kiekiai“ 2 klasėje. Bendrasis kardinalių skaičių formavimo principas tiriamų skaičių viduje.

„Paklausos dydis“ – Paklausos pokyčių priežastys. Diagramoje gauta DD kreivė (iš anglų kalbos paklausa – „paklausa“) vadinama paklausos kreive. Elastinė paklausa (Epd>1). Paklausos kiekis. Paklausą įtakojantys veiksniai. Paklausos kiekio priklausomybė nuo kainų lygio vadinama paklausos skale. Visiškai neelastinga paklausa (Epd=0).

Tikėtina vertė. matematinis lūkestis diskrečiųjų atsitiktinių dydžių X, kuriai reikalingas baigtinis reikšmių skaičius Xi su tikimybėmis Ri, vadinama suma:

matematinis lūkestis nuolatinis atsitiktinis dydis X vadinamas jo vertybių sandaugos integralu X apie tikimybių pasiskirstymo tankį f(x):

(6b)

Netinkamas integralas (6 b) yra laikoma absoliučiai konvergentiška (kitaip sakome, kad lūkestis M(X) neegzistuoja). Matematinis lūkestis apibūdina reiškia atsitiktinis kintamasis X. Jo matmuo sutampa su atsitiktinio dydžio matmeniu.

Matematinės lūkesčių savybės:

Sklaida. dispersija atsitiktinis kintamasis X numeris vadinamas:

Sklaida yra sklaidos charakteristika atsitiktinio dydžio reikšmės X palyginti su jo vidutine verte M(X). Dispersijos matmuo yra lygus atsitiktinio dydžio kvadratiniam matmeniui. Remdamiesi dispersijos (8) ir matematinių lūkesčių (5) apibrėžimais diskrečiajam atsitiktiniam dydžiui ir (6) nuolatiniam atsitiktiniam dydžiui, gauname panašias dispersijos išraiškas:

(9)

Čia m = M(X).

Dispersijos savybės:

Standartinis nuokrypis:

(11)

Kadangi standartinio nuokrypio matmuo yra toks pat kaip ir atsitiktinio dydžio, jis dažniau naudojamas kaip dispersijos matas nei dispersija.

paskirstymo momentai. Matematinės lūkesčių ir dispersijos sąvokos yra ypatingi bendresnės atsitiktinių dydžių skaitinių charakteristikų sampratos atvejai. paskirstymo momentai. Atsitiktinio dydžio pasiskirstymo momentai pateikiami kaip kai kurių paprastų atsitiktinio dydžio funkcijų matematiniai lūkesčiai. Taigi, užsakymo momentas k taško atžvilgiu X 0 vadinamas lūkesčiu M(X–X 0 )k. Akimirkos, susijusios su kilme X= 0 yra vadinami pradines akimirkas ir yra pažymėti:

(12)

Pirmosios eilės pradinis momentas yra nagrinėjamo atsitiktinio dydžio pasiskirstymo centras:

(13)

Akimirkos, susijusios su paskirstymo centru X= m paskambino centriniai momentai ir yra pažymėti:

(14)

Iš (7) išplaukia, kad pirmosios eilės centrinis momentas visada lygus nuliui:

Centriniai momentai nepriklauso nuo atsitiktinio dydžio verčių kilmės, nes pasislinkus pastovia verte NUO jos pasiskirstymo centras pasislenka ta pačia reikšme NUO, o nuokrypis nuo centro nesikeičia: X – m = (X – NUO) – (m – NUO).
Dabar tai akivaizdu dispersija- tai yra antros eilės centrinis momentas:

Asimetrija. Centrinis trečiojo užsakymo momentas:

(17)

padeda įvertinti paskirstymo iškrypimas. Jei skirstinys yra simetriškas taško atžvilgiu X= m, tada trečiosios eilės centrinis momentas bus lygus nuliui (kaip ir visi centriniai nelyginių eilių momentai). Todėl, jei trečiosios eilės centrinis momentas skiriasi nuo nulio, tada skirstinys negali būti simetriškas. Asimetrijos dydis apskaičiuojamas naudojant bedimensį asimetrijos koeficientas:

(18)

Asimetrijos koeficiento ženklas (18) rodo dešiniąją arba kairiąją asimetriją (2 pav.).

Ryžiai. 2. Skirstinių asimetrijos tipai.

Perteklius. Centrinis ketvirtojo užsakymo momentas:

(19)

tarnauja įvertinti vadinamąją kurtosis, kuris nustato pasiskirstymo kreivės ties pasiskirstymo centro statumo (smailumo) laipsnį normaliojo pasiskirstymo kreivės atžvilgiu. Kadangi normaliam pasiskirstymui, kurtozės dydis yra:

(20)

Ant pav. 3 parodyta pasiskirstymo kreivių su skirtingomis kurtozės reikšmėmis pavyzdžiai. Normaliam pasiskirstymui E= 0. Kreivės, kurių smailės yra didesnės nei įprasta, turi teigiamą kreivę, o kreivės su daugiau plokščių smailių turi neigiamą kreivę.

Ryžiai. 3. Skirtingo statumo laipsnio pasiskirstymo kreivės (kurtozė).

Aukštesnio laipsnio momentai matematinės statistikos inžineriniuose taikymuose dažniausiai nenaudojami.

Mada diskretus Atsitiktinis kintamasis yra jo labiausiai tikėtina reikšmė. Mada tęstinis atsitiktinis dydis yra jo reikšmė, kuriai esant tikimybės tankis yra didžiausias (2 pav.). Jei pasiskirstymo kreivė turi vieną maksimumą, tada skirstinys vadinamas unimodalinis. Jei pasiskirstymo kreivė turi daugiau nei vieną maksimumą, tada skirstinys vadinamas polimodalinis. Kartais būna skirstinių, kurių kreivės turi ne maksimumą, o minimumą. Tokie skirstiniai vadinami antimodalinis. Bendru atveju atsitiktinio dydžio režimas ir matematinis lūkestis nesutampa. Konkrečiu atveju, už modalinis, t.y. turintis modą, simetrinį skirstinį ir su sąlyga, kad yra matematinis lūkestis, pastarasis sutampa su skirstinio moda ir simetrijos centru.

Mediana atsitiktinis kintamasis X yra jo prasmė Aš, kurioms galioja lygybė: t.y. taip pat tikėtina, kad atsitiktinis kintamasis X bus mažiau ar daugiau Aš. Geometriškai mediana yra taško, kuriame plotas po pasiskirstymo kreive yra padalintas per pusę, abscisė (2 pav.). Simetriško modalinio pasiskirstymo atveju mediana, režimas ir vidurkis yra vienodi.