Eşkenar altıgen formülünün alanı. Düzenli altıgen

Normal bir altıgenin neye benzediğini biliyor musunuz?
Bu soru tesadüfen sorulmadı. 11. sınıftaki çoğu öğrenci bunun cevabını bilmiyor.

Düzgün altıgen, tüm kenarları ve tüm açıları da eşit olan bir altıgendir..

Demir somun. Kar tanesi. Arıların yaşadığı petek hücresi. Benzen molekülü. Bu nesnelerin ortak noktası nedir? - Hepsinin düzenli bir altıgen şekle sahip olması.

Birçok okul çocuğu, normal bir altıgen için görevler gördüklerinde kaybolur ve bunları çözmek için bazı özel formüllerin gerekli olduğuna inanırlar. Öyle mi?

Düzgün bir altıgenin köşegenlerini çizin. Altı tane eşkenar üçgenimiz var.

Eşkenar üçgenin alanının olduğunu biliyoruz.

O zaman normal bir altıgenin alanı altı kat daha büyüktür.

Düzenli bir altıgenin kenarı nerede.

Lütfen bir düzgün altıgende, merkezinden herhangi bir köşeye olan uzaklığın normal altıgenin kenarına eşit ve eşit olduğuna dikkat edin.

Bu, düzgün bir altıgenin etrafında çevrelenmiş bir dairenin yarıçapının, kenarına eşit olduğu anlamına gelir..
Normal bir altıgen içine yazılan bir dairenin yarıçapını bulmak kolaydır.
O eşittir.
Artık normal bir altıgenin göründüğü herhangi bir KULLANIM problemini kolayca çözebilirsiniz.

Bir kenarı olan düzgün bir altıgen içine yazılan bir dairenin yarıçapını bulun.

Böyle bir dairenin yarıçapı .

Cevap: .

Yarıçapı 6 olan bir daire içine yazılan düzgün altıgenin bir kenarı nedir?

Düzenli bir altıgenin bir kenarının, etrafındaki dairenin yarıçapına eşit olduğunu biliyoruz.

Dörtten fazla köşesi olan en ünlü figür normal altıgendir. Geometride genellikle problemlerde kullanılır. Ve hayatta, peteklerin kesimde sahip olduğu şey tam olarak budur.

Yanlıştan farkı nedir?

İlk olarak, bir altıgen, 6 köşesi olan bir şekildir. İkincisi, dışbükey veya içbükey olabilir. İlki, diğer ikisi boyunca çizilen düz bir çizginin bir tarafında dört köşe bulunmasıyla farklılık gösterir.

Üçüncüsü, düzenli bir altıgen, tüm kenarlarının eşit olmasıyla karakterize edilir. Ayrıca şeklin her köşesi de aynı değere sahiptir. Tüm açılarının toplamını belirlemek için şu formülü kullanmanız gerekir: 180º * (n - 2). Burada n, şeklin köşe sayısıdır, yani 6. Basit bir hesaplama 720º değerini verir. Yani her açı 120 derecedir.

Günlük aktivitelerde, bir kar tanesi ve bir somunda düzenli bir altıgen bulunur. Kimyacılar bunu benzen molekülünde bile görüyorlar.

Problemleri çözerken hangi özellikleri bilmeniz gerekiyor?

Yukarıda belirtilenlere eklenmelidir:

• merkezden çizilen şeklin köşegenleri, onu eşkenar olan altı üçgene böler;
• düzenli bir altıgenin kenarı, etrafındaki çevrelenmiş dairenin yarıçapıyla çakışan bir değere sahiptir;
• böyle bir rakam kullanarak düzlemi doldurmak mümkündür ve aralarında boşluk ve örtüşme olmayacaktır.

Tanıtılan gösterim

Geleneksel olarak, düzenli bir geometrik şeklin kenarı Latince "a" harfi ile gösterilir. Problemleri çözmek için alan ve çevre de gereklidir, bunlar sırasıyla S ve P'dir. Düzenli bir altıgen içine bir daire çizilir veya çevresi çizilir. Daha sonra yarıçapları için değerler girilir. Sırasıyla r ve R harfleriyle gösterilirler.

Bazı formüllerde, bir iç açı, bir yarım çevre ve bir özdeyiş (çokgenin merkezinden herhangi bir kenarın ortasına dik olan) görünür. Harfler onlar için kullanılır: α, p, m.

Bir figürü tanımlayan formüller

Yazılı bir dairenin yarıçapını hesaplamak için buna ihtiyacınız var: r= (a * √3) / 2 ve r = m. Yani aynı formül öz için de geçerli olacaktır.

Bir altıgenin çevresi tüm kenarların toplamı olduğundan aşağıdaki gibi belirlenecektir: P = 6 * a. Kenarın çevrelenmiş dairenin yarıçapına eşit olduğu göz önüne alındığında, çevre için düzenli bir altıgen için böyle bir formül vardır: P \u003d 6 * R. Yazılı dairenin yarıçapı için verilenden, a arasındaki ilişki ve r türetilir. Daha sonra formül şu şekli alır: Р = 4 r * √3.

Düzgün bir altıgenin alanı için bu kullanışlı olabilir: S = p * r = (a 2 * 3 √3) / 2.

Görevler

1. Durum. Her kenarı 4 cm'ye eşit olan düzenli bir altıgen prizma vardır, içine hacminin belirlenmesi gereken bir silindir yazılmıştır.

Çözüm. Silindirin hacmi, taban alanı ile yüksekliğin çarpımı olarak tanımlanır. İkincisi, prizmanın kenarına denk gelir. Ve düzgün bir altıgenin kenarına eşittir. Yani silindirin yüksekliği de 4 cm'dir.

Tabanının alanını bulmak için altıgende yazılı dairenin yarıçapını hesaplamanız gerekir. Bunun formülü yukarıda gösterilmiştir. Yani r = 2√3 (cm). Sonra dairenin alanı: S \u003d π * r 2 \u003d 3.14 * (2√3) 2 \u003d 37.68 (cm 2).

Cevap. V \u003d 150,72 cm3.

2. Durum. Normal bir altıgen içine yazılan bir dairenin yarıçapını hesaplayın. Bir kenarının √3 cm olduğu biliniyor, çevresi ne olacak?

Çözüm. Bu görev, yukarıdaki formüllerden ikisinin kullanılmasını gerektirir. Üstelik hiçbir değişiklik yapmadan uygulanmaları gerekir, sadece kenar değerini değiştirin ve hesaplayın.

Böylece, yazılı dairenin yarıçapı 1,5 cm, çevre için aşağıdaki değerin doğru olduğu ortaya çıkıyor: 6√3 cm.

Cevap. r = 1,5 cm, Р = 6√3 cm.

3. Durum.Çevrelenmiş dairenin yarıçapı 6 cm'dir Bu durumda düzgün bir altıgenin kenar değeri ne olur?

Çözüm. Altıgen içine yazılan bir dairenin yarıçapı formülünden, kenarın hesaplanması gereken formül kolayca elde edilir. Yarıçapın iki ile çarpılıp üçün köküne bölündüğü açıktır. Paydadaki mantıksızlıktan kurtulmak gerekir. Bu nedenle, eylemlerin sonucu şu şekli alır: (12 √3) / (√3 * √3), yani 4√3.

Cevap. a = 4√3 cm.

Yakınınızda bir kalem var mı? Bölümüne bir göz atın - normal bir altıgen veya aynı zamanda altıgen olarak da adlandırılır. Bir somunun enine kesiti, altıgen bir satranç alanı, bazı karmaşık karbon molekülleri (örneğin grafit), bir kar tanesi, bir bal peteği ve diğer nesneler de bu şekle sahiptir. Son zamanlarda içinde devasa bir düzgün altıgen keşfedildi. Doğanın, yaratımları için bu özel şekle sahip yapıları bu kadar sık ​​kullanması garip görünmüyor mu? Hadi daha yakından bakalım.

Düzgün altıgen, altı eşit kenarı ve eşit açıları olan bir çokgendir. Okul kursundan, aşağıdaki özelliklere sahip olduğunu biliyoruz:

• Kenarlarının uzunluğu, çevrelenmiş dairenin yarıçapına karşılık gelir. Hepsinden sadece düzenli bir altıgen bu özelliğe sahiptir.
• Açılar birbirine eşittir ve her birinin büyüklüğü 120 ° 'dir.
• Bir altıgenin çevresi, etrafındaki çevrelenmiş dairenin yarıçapı biliniyorsa Р=6*R formülü kullanılarak veya daire içinde yazılıysa Р=4*√(3)*r formülü kullanılarak bulunabilir. R ve r, çevrelenmiş ve yazılı dairelerin yarıçaplarıdır.
• Düzgün bir altıgenin kapladığı alan şu şekilde belirlenir: S=(3*√(3)*R 2)/2. Yarıçap bilinmiyorsa, bunun yerine kenarlardan birinin uzunluğunu değiştiririz - bildiğiniz gibi, çevrelenmiş dairenin yarıçapının uzunluğuna karşılık gelir.

Düzenli altıgen, doğada çok yaygın hale gelmesi nedeniyle ilginç bir özelliğe sahiptir - düzlemin herhangi bir yüzeyini örtüşmeler ve boşluklar olmadan doldurabilir. Hatta bir kenarı 1/√(3)'e eşit olan düzenli bir altıgenin evrensel bir lastik olduğu, yani bir birim çapındaki herhangi bir seti kaplayabileceğine dair Pal lemma adı verilen bir durum bile vardır.

Şimdi normal bir altıgenin yapımını düşünün. En kolayı bir pusula, kurşun kalem ve cetvel kullanmayı içeren birkaç yol vardır. İlk önce, pusula ile keyfi bir daire çiziyoruz, sonra bu daire üzerinde keyfi bir yere bir nokta koyuyoruz. Pusulanın çözümünü değiştirmeden ucu bu noktaya koyuyoruz, daire üzerinde bir sonraki çentiği işaretliyoruz ve 6 noktanın hepsini elde edene kadar devam ediyoruz. Şimdi sadece onları düz segmentlerle birbirine bağlamak kalıyor ve istenen rakam ortaya çıkacak.

Uygulamada, büyük bir altıgen çizmeniz gereken zamanlar vardır. Örneğin, iki seviyeli bir alçıpan tavanda, merkezi avizenin bağlantı noktasının etrafına, alt seviyeye altı küçük lamba takmanız gerekir. Bu boyutta bir pusula bulmak çok ama çok zor olacak. Bu durumda nasıl devam edilir? Büyük bir daire nasıl çizilir? Çok basit. İstenilen uzunlukta güçlü bir iplik almanız ve uçlarından birini kurşun kalemin karşısına bağlamanız gerekir. Şimdi sadece ipliğin ikinci ucunu tavana doğru noktada bastıracak bir asistan bulmak kalıyor. Tabii ki, bu durumda, küçük hatalar mümkündür, ancak dışarıdan bir kişi tarafından fark edilmeleri pek olası değildir.

Altıgen, 6 kenarı ve 6 açısı olan bir çokgendir. Bir altıgenin düzgün olup olmamasına bağlı olarak, alanını bulmak için birkaç yöntem vardır. Her şeyi gözden geçireceğiz.

Düzenli bir altıgenin alanı nasıl bulunur

Düzenli bir altıgenin alanını hesaplamak için formüller - altı özdeş kenarı olan dışbükey bir çokgen.

Verilen kenar uzunluğu:

• Alan formülü: S = (3√3*a²)/2
• A kenarının uzunluğu biliniyorsa, bunu formülde yerine koyarsak, şeklin alanını kolayca bulabiliriz.
• Aksi takdirde, kenar uzunluğu çevre ve özdeyiş yoluyla bulunabilir.
• Çevre verilirse, onu 6'ya böleriz ve bir kenar uzunluğunu alırız. Örneğin çevresi 24 ise kenar uzunluğu 24/6 = 4 olur.
• Apothem, merkezden kenarlardan birine çizilen bir diktir. Bir kenarın uzunluğunu bulmak için, özdeyişin uzunluğunu a = 2*m/√3 formülünde yerine koyarız. Yani, özdeyiş m = 2√3 ise, kenar uzunluğu a = 2*2√3/√3 = 4'tür.

Bir özdeyiş verildi:

• Alan formülü: S = 1/2*p*m, burada p çevre, m ise özlü sözdür.
• Altıgenin çevresini apothem yoluyla bulalım. Önceki paragrafta, bir özdeyişle bir tarafın uzunluğunu nasıl bulacağımızı öğrendik: a \u003d 2 * m / √3. Sadece bu sonucu 6 ile çarpmak için kalır. Çevre formülünü alırız: p \u003d 12 * m / √3.

Çevrelenmiş dairenin yarıçapı göz önüne alındığında:

• Düzgün bir altıgenin çevrelediği dairenin yarıçapı, bu altıgenin kenarına eşittir.
  Alan formülü: S = (3√3*a²)/2

Yazılı dairenin yarıçapı göz önüne alındığında:

• Alan formülü: S = 3√3*r², burada r = √3*a/2 (a çokgenin kenarlarından biridir).

Düzensiz bir altıgenin alanı nasıl bulunur

Düzensiz bir altıgenin alanını hesaplama formülleri - kenarları birbirine eşit olmayan bir çokgen.

Trapez yöntemi:

• Altıgeni keyfi yamuklara böleriz, her birinin alanını hesaplar ve toplarız.
• Bir yamuğun alanı için temel formüller: S = 1/2*(a + b)*h, burada a ve b yamuğun tabanlarıdır, h yüksekliktir.
  S = h*m, burada h yükseklik, m ​​orta çizgidir.

Altıgenin köşelerinin koordinatları bilinmektedir:

• Başlamak için, noktaların koordinatlarını yazalım, ayrıca onları kaotik bir düzende değil, sırayla birbiri ardına yerleştirelim. Örneğin:
  C: (-3, -2)
  B: (-1, 4)
  C: (6, 1)
  D: (3, 10)
  E: (-4, 9)
  K: (-5, 6)
• Sonra, dikkatlice, her noktanın x-koordinatını bir sonraki noktanın y-koordinatı ile çarpın:
  -3*4 = -12
  -1*1 = -1
  6*10 = 60
  3*9 = 27
  -4*6 = -24
  -5*(-2) = 10
  Sonuçları ekleyin:
  -12 – 1 + 60 + 27 – 24 + 10 = 60
  Ardından, her noktanın y koordinatını bir sonraki noktanın x koordinatıyla çarpın.
  -2*(-1) = 2
  4*6 = 24
  1*3 = 3
  10*(-4) = -40
  9*(-5) = -45
  6*(-3) = -18
  Sonuçları ekleyin:
  2 + 24 + 3 – 40 – 45 – 18 = -74
  İkinciyi ilk sonuçtan çıkarın:
  60 -(-74) = 60 + 74 = 134
  Ortaya çıkan sayı ikiye bölünür:
  134/2 = 67
  Cevap: 67 birim kare.

• Ayrıca, bir altıgenin alanını bulmak için onu üçgenlere, karelere, dikdörtgenlere, paralelkenarlara vb. Oluşturan figürlerin alanlarını bulun ve toplayın.

Bu nedenle, tüm durumlar için bir altıgenin alanını bulma yöntemleri incelenmiştir. Şimdi devam edin ve öğrendiklerinizi uygulayın! İyi şanlar!