K 4 aritmetik karekök özelliklerinin uygulanması. Kare kök

Tekrar tabağa baktım ... Ve hadi gidelim!

Basit bir tane ile başlayalım:

Bir dakika bekle. bu, şu şekilde yazabileceğimiz anlamına gelir:

Anladım? İşte size bir sonraki:

Ortaya çıkan sayıların kökleri tam olarak çıkarılmıyor mu? Endişelenme, işte bazı örnekler:

Peki ya iki çarpan değil, daha fazlası varsa? Aynı! Kök çarpma formülü, herhangi bir sayıda faktörle çalışır:

Artık tamamen bağımsız:

Yanıtlar: Aferin! Katılıyorum, her şey çok kolay, asıl şey çarpım tablosunu bilmek!

kök bölümü

Köklerin çarpımını anladık, şimdi bölme özelliğine geçelim.

Formülün genel olarak şöyle göründüğünü hatırlatmama izin verin:

Ve bu demektir ki bölümün kökü, köklerin bölümüne eşittir.

Peki, örneklere bakalım:

Tüm bilim bu. Ve işte bir örnek:

Her şey ilk örnekteki kadar pürüzsüz değil, ancak gördüğünüz gibi karmaşık bir şey yok.

Ya ifade şöyle görünüyorsa:

Formülü tersten uygulamanız yeterlidir:

Ve işte bir örnek:

Bu ifadeyi de görebilirsiniz:

Her şey aynı, sadece burada kesirleri nasıl çevireceğinizi hatırlamanız gerekiyor (eğer hatırlamıyorsanız, konuya bakın ve geri dönün!). Hatırladı? Şimdi karar veriyoruz!

Her şeyle, her şeyle başa çıktığınızdan eminim, şimdi bir dereceye kadar kökler oluşturmaya çalışalım.

üs alma

Kare kökün karesi alınırsa ne olur? Çok basit, bir sayının karekökünün anlamını hatırlayın - bu, karekökü eşit olan bir sayıdır.

Yani, karekökü eşit olan bir sayının karesini alırsak ne elde ederiz?

Eh, tabii ki!

Örneklere bakalım:

Her şey basit, değil mi? Ve eğer kök farklı bir derecedeyse? Önemli değil!

Aynı mantığa bağlı kalın ve özellikleri ve güçlerle olası eylemleri hatırlayın.

"" Konulu teoriyi okuyun ve her şey sizin için son derece netleşecek.

Örneğin, işte bir ifade:

Bu örnekte, derece çifttir, peki ya tek ise? Yine, güç özelliklerini uygulayın ve her şeyi hesaba katın:

Bununla, her şey açık görünüyor, ancak bir dereceden bir sayıdan kök nasıl çıkarılır? İşte, örneğin, bu:

Oldukça basit, değil mi? Derecesi ikiden büyükse ne olur? Derecelerin özelliklerini kullanarak aynı mantığı izliyoruz:

Peki, her şey açık mı? Ardından kendi örneklerinizi çözün:

Ve işte cevaplar:

Kök işareti altında giriş

Köklerle yapmayı henüz öğrenmediğimiz şey! Sadece kök işaretinin altındaki sayıyı girme alıştırması için kalır!

Bu oldukça kolay!

Diyelim ki bir numaramız var

Bununla ne yapabiliriz? Tabii ki, üçlünün karekökü olduğunu hatırlayarak, üçlüyü kökün altına gizleyin!

Neden buna ihtiyacımız var? Evet, sadece örnekleri çözerken yeteneklerimizi genişletmek için:

Köklerin bu özelliğini nasıl buldunuz? Hayatı çok mu kolaylaştırıyor? Benim için, bu doğru! Sadece sadece karekök işaretinin altına pozitif sayılar girebileceğimizi unutmamalıyız.

Bu örneği kendiniz deneyin:
Becerebildin mi? Bakalım ne almanız gerekiyor:

Aferin! Kök işaretinin altına bir sayı girmeyi başardınız! Aynı derecede önemli bir şeye geçelim - karekök içeren sayıları nasıl karşılaştıracağınızı düşünün!

Kök Karşılaştırma

Neden karekök içeren sayıları karşılaştırmayı öğrenmeliyiz?

Çok basit. Çoğu zaman, sınavda karşılaşılan büyük ve uzun ifadelerde mantıksız bir cevap alırız (ne olduğunu hatırlıyor musunuz? Bugün bunu zaten konuştuk!)

Örneğin denklemi çözmek için hangi aralığın uygun olduğunu belirlemek için alınan cevapları koordinat çizgisine yerleştirmemiz gerekir. Ve işte burada pürüz ortaya çıkıyor: Sınavda hesap makinesi yok ve onsuz, hangi sayının daha büyük ve hangisinin daha küçük olduğunu nasıl hayal edebilirim? Bu kadar!

Örneğin, hangisinin daha büyük olduğunu belirleyin: veya?

Hemen söylemeyeceksin. Peki, kök işaretinin altına bir sayı eklemek için parsed özelliğini kullanalım mı?

Sonra ileri:

Açıkçası, kökün işaretinin altındaki sayı ne kadar büyükse, kökün kendisi de o kadar büyük olur!

Şunlar. anlamına gelirse.

Bundan kesin olarak şu sonuca varıyoruz: Ve kimse bizi aksine ikna edemez!

Büyük sayıdan kök çıkarma

Ondan önce, kök işaretinin altına bir faktör getirdik, ama nasıl çıkaracağız? Sadece çarpanlara ayırmanız ve çıkarılanları çıkarmanız gerekiyor!

Diğer yoldan gitmek ve diğer faktörlere ayrılmak mümkündü:

Fena değil, değil mi? Bu yaklaşımlardan herhangi biri doğrudur, nasıl rahat hissedeceğinize karar verin.

Faktoring, aşağıdaki gibi standart olmayan görevleri çözerken çok kullanışlıdır:

Korkmuyoruz, harekete geçiyoruz! Kökün altındaki her bir faktörü ayrı faktörlere ayırıyoruz:

Ve şimdi kendiniz deneyin (hesap makinesi olmadan! Sınavda olmayacak):

Bu son mu? Yarım bırakmayacağız!

Hepsi bu, o kadar da korkutucu değil, değil mi?

Olmuş? Aferin, haklısın!

Şimdi bu örneği deneyin:

Ve bir örnek, kırılması zor bir somundur, bu yüzden ona nasıl yaklaşacağınızı hemen anlayamazsınız. Ama tabii ki dişlerimizdeyiz.

Pekala, çarpanlara ayırmaya başlayalım, olur mu? Hemen, bir sayıyı bölebileceğinizi not ediyoruz (bölünebilme işaretlerini hatırlayın):

Ve şimdi kendiniz deneyin (yine hesap makinesi olmadan!):

Peki, işe yaradı mı? Aferin, haklısın!

Özetliyor

1. Negatif olmayan bir sayının karekökü (aritmetik karekök), karesi eşit olan negatif olmayan bir sayıdır.
   .
2. Bir şeyin sadece karekökünü alırsak, her zaman negatif olmayan bir sonuç alırız.
3. Aritmetik kök özellikleri:
4. Kare kökleri karşılaştırırken, kökün işaretinin altındaki sayı ne kadar büyükse, kökün de o kadar büyük olduğu unutulmamalıdır.

Kare kökü nasıl seversin? Temiz?

Karekök ile ilgili sınavda bilmeniz gereken her şeyi su kullanmadan sizlere anlatmaya çalıştık.

Senin sıran. Bu konunun size zor gelip gelmediğini bize yazın.

Yeni bir şey mi öğrendin yoksa her şey çok açıktı.

Yorumları yazın ve sınavlarda başarılar!

\(\sqrt(a)=b\) eğer \(b^2=a\), nerede \(a≥0,b≥0\)

Örnekler:

\(\sqrt(49)=7\) çünkü \(7^2=49\)
\(\sqrt(0.04)=0.2\),çünkü \(0.2^2=0.04\)

Bir sayının karekökü nasıl çıkarılır?

Bir sayının karekökünü çıkarmak için kendinize şu soruyu sormalısınız: kökün altındaki ifadeyi hangi sayının karesi verir?

Örneğin. Kökü ayıklayın: a)\(\sqrt(2500)\); b) \(\sqrt(\frac(4)(9))\); c) \(\sqrt(0.001)\); d) \(\sqrt(1\frac(13)(36))\)

a) \(2500\) hangi sayının karesini verir?

\(\sqrt(2500)=50\)

b) Hangi sayının karesi \(\frac(4)(9)\) 'ı verir?

\(\sqrt(\frac(4)(9))\) \(=\)\(\frac(2)(3)\)

c) Hangi sayının karesi \(0,0001\) verir?

\(\sqrt(0.0001)=0.01\)

d) \(\sqrt(1\frac(13)(36))\) kaç kare sayı verir? Soruya cevap vermek için yanlış olana çevirmeniz gerekir.

\(\sqrt(1\frac(13)(36))=\sqrt(\frac(49)(16))=\frac(7)(6)\)

Yorum: Her ne kadar \(-50\), \(-\frac(2)(3)\) , \(-0,01\),\(- \frac(7)(6)\) da verilen soruları yanıtlayın , ancak karekök her zaman pozitif olduğu için dikkate alınmazlar.

Kökün ana özelliği

Bildiğiniz gibi, matematikte herhangi bir eylemin tersi vardır. Toplamada çıkarma, çarpmada bölme vardır. Kare almanın tersi karekök almaktır. Bu nedenle, bu eylemler birbirini iptal eder:

\((\sqrt(a))^2=a\)

Bu, en sık kullanılan kökün ana özelliğidir (OGE dahil)

Örnek . (OGE'nin görevi). \(\frac((2\sqrt(6))^2)(36)\) ifadesinin değerini bulun

Çözüm :\(\frac((2\sqrt(6))^2)(36)=\frac(4 \cdot (\sqrt(6))^2)(36)=\frac(4 \cdot 6)(36 )=\frac(4)(6)=\frac(2)(3)\)

Örnek . (OGE'nin görevi). \((\sqrt(85)-1)^2\) ifadesinin değerini bulun

Çözüm:

Tabii ki karekök ile çalışırken başkalarını da kullanmanız gerekiyor.

Örnek . (OGE'nin görevi). \(5\sqrt(11) \cdot 2\sqrt(2)\cdot \sqrt(22)\) ifadesinin değerini bulun
Çözüm:

Cevap: \(220\)

Her zaman unutulan 4 kural

Kök her zaman çıkarılmaz

Örnek: \(\sqrt(2)\),\(\sqrt(53)\),\(\sqrt(200)\),\(\sqrt(0,1)\) vb. - bir sayıdan kök çıkarmak her zaman mümkün değildir ve bu normaldir!

Bir sayının kökü, aynı zamanda bir sayı

\(\sqrt(2)\), \(\sqrt(53)\)'yi özel bir şekilde ele almaya gerek yok. Bunlar sayılardır, ancak tamsayı değil, evet, ancak dünyamızdaki her şey tamsayılarla ölçülmez.

Kök sadece negatif olmayan sayılardan alınır

Bu nedenle, ders kitaplarında \(\sqrt(-23)\),\(\sqrt(-1)\), vb. girdileri görmezsiniz.

Bu yazıda, ana analiz edeceğiz kök özellikleri. Aritmetik karekökün özellikleriyle başlayalım, formüllerini ve ispatlarını verelim. Bundan sonra, n'inci derecenin aritmetik kökünün özelliklerini ele alacağız.

Sayfa gezintisi.

Karekök özellikleri

Bu bölümde, aşağıdaki ana konularla ilgileneceğiz. aritmetik karekökün özellikleri:

Yazılı eşitliklerin her birinde sol ve sağ kısımlar değiştirilebilir, örneğin eşitlik şu şekilde yeniden yazılabilir: . Bu "ters" formda, aritmetik karekökün özellikleri şu durumlarda uygulanır: ifadelerin sadeleştirilmesi"doğrudan" formda olduğu kadar sık.

İlk iki özelliğin kanıtı, aritmetik karekök tanımına ve . Ve aritmetik karekökün son özelliğini doğrulamak için hatırlamanız gerekir.

o zaman başlayalım negatif olmayan iki sayının çarpımının aritmetik karekökünün özelliğinin kanıtı: . Bunu yapmak için, aritmetik karekök tanımına göre, karesi a b'ye eşit olan negatif olmayan bir sayı olduğunu göstermek yeterlidir. Haydi Yapalım şunu. İfadenin değeri, negatif olmayan sayıların ürünü olarak negatif değildir. İki sayının çarpımının derecesinin özelliği, eşitliği yazmamızı sağlar. , ve beri aritmetik karekök tanımı gereği ve , o zaman .

Benzer şekilde, k negatif olmayan faktör a 1 , a 2 , …, a k'nin çarpımının aritmetik karekökünün, bu faktörlerin aritmetik kareköklerinin çarpımına eşit olduğu kanıtlanmıştır. Yok canım, . Bu eşitlikten şu çıkar.

İşte bazı örnekler: ve .

şimdi ispatlayalım bir bölümün aritmetik karekökünün özelliği: . Doğal güç bölümünün özelliği, eşitliği yazmamıza izin verir. , a , negatif olmayan bir sayı varken. Kanıt bu.

Örneğin, ve .

sökme zamanı geldi bir sayının karesinin aritmetik karekökünün özelliği, eşitlik şeklinde yazılır. Bunu kanıtlamak için iki durumu düşünün: a≥0 ve a için<0 .

a≥0 için eşitliğin doğru olduğu açıktır. için olduğunu görmek de kolaydır.<0 будет верно равенство . Действительно, в этом случае −a>0 ve (−a) 2 =a 2 . Böylece, , kanıtlanacaktı.

İşte bazı örnekler: ve .

Az önce ispatlanan karekökün özelliği, a'nın herhangi bir gerçek sayı ve m'nin herhangi olduğu aşağıdaki sonucu doğrulamamızı sağlar. Gerçekten de, üs alma özelliği, a 2 m derecesini (a m) 2 ifadesiyle değiştirmemize izin verir, o zaman .

Örneğin, ve .

n'inci kökün özellikleri

Önce ana olanları listeleyelim n'inci köklerin özellikleri:

Tüm yazılı eşitlikler, sol ve sağ taraflar değiştirilirse geçerli kalır. Bu formda, çoğunlukla ifadeleri basitleştirirken ve dönüştürürken de sıklıkla kullanılırlar.

Kökün tüm sesli özelliklerinin kanıtı, n'inci derecenin aritmetik kökünün tanımına, derecenin özelliklerine ve sayı modülünün tanımına dayanır. Bunları öncelik sırasına göre ispatlayalım.

Kanıtla başlayalım bir ürünün n'inci kökünün özellikleri . Negatif olmayan a ve b için, ifadenin değeri de negatif olmayan sayıların çarpımı gibi negatif değildir. Doğal güçlerin ürün özelliği, eşitliği yazmamızı sağlar. . n'inci derecenin aritmetik kökünün tanımıyla ve bu nedenle, . Bu, kökün dikkate alınan özelliğini kanıtlar.

Bu özellik benzer şekilde k faktörünün çarpımı için kanıtlanmıştır: negatif olmayan sayılar için a 1 , a 2 , …, a n ve .

Ürünün n'inci derecesinin kökünün özelliğini kullanma örnekleri: ve .

kanıtlayalım bölümün kök özelliği. a≥0 ve b>0 için koşul sağlanır ve .

Örnekler gösterelim: ve .

Devam ediyoruz. kanıtlayalım bir sayının n'inci kökünün özelliği, n'nin kuvvetine. Yani, bunu kanıtlayacağız herhangi bir gerçek a ve doğal m için. a≥0 için eşitliği ve eşitliği kanıtlayan and var açıkça. için<0 имеем и (son geçiş çift üslü kuvvet özelliğinden dolayı geçerlidir) eşitliği ispatlayan ve Garip bir derecenin kökü hakkında konuşurken, aldığımız gerçeği nedeniyle doğrudur. negatif olmayan herhangi bir sayı için c .

Ayrıştırılmış kök özelliğini kullanma örnekleri: ve .

Kökün özelliğinin kanıtına kökten geçiyoruz. Sağ ve sol kısımları değiştirelim, yani eşitliğin geçerliliğini kanıtlayacağız, bu da orijinal eşitliğin geçerliliği anlamına gelecektir. Negatif olmayan bir a sayısı için, formun karekökü negatif olmayan bir sayıdır. Bir gücü bir güce yükseltme özelliğini hatırlayarak ve kökün tanımını kullanarak, formun bir eşitlikler zincirini yazabiliriz. . Bu, bir kökten bir kökün dikkate alınan özelliğini kanıtlar.

Bir kökten gelen bir kökün özelliği benzer şekilde ispatlanır ve bu böyle devam eder. Yok canım, .

Örneğin, ve .

Aşağıdakileri kanıtlayalım kök üs azaltma özelliği. Bunu yapmak için, kökün tanımı sayesinde, n m'nin kuvvetine yükseltildiğinde a m'ye eşit olan negatif olmayan bir sayı olduğunu göstermek yeterlidir. Haydi Yapalım şunu. Eğer a sayısı negatif değilse, o zaman a sayısının n'inci kökü negatif olmayan bir sayıdır. nerede , bu da ispatı tamamlar.

Ayrıştırılmış kök özelliğinin kullanımına bir örnek: .

Aşağıdaki özelliği ispatlayalım, formun derecesinin kökünün özelliği . a≥0 için derecenin negatif olmayan bir sayı olduğu açıktır. Üstelik, n'inci kuvveti, gerçekten de, a m'ye eşittir. Bu, derecenin dikkate alınan özelliğini kanıtlar.

Örneğin, .

Hadi devam edelim. a koşulunun a ve b pozitif sayıları için olduğunu kanıtlayalım. , yani, a≥b . Ve bu a koşuluyla çelişir

Örneğin, doğru eşitsizliği veriyoruz .

Son olarak, n'inci kökün son özelliğini kanıtlamak için kalır. Önce bu özelliğin ilk kısmını ispatlayalım, yani m>n ve 0 için ispatlayalım. . Daha sonra, doğal üslü bir derecenin özelliklerinden dolayı, eşitsizlik , yani, bir n ≤ bir m . Ve m>n ve 0 için ortaya çıkan eşitsizlik

Benzer şekilde, çelişkiyle, m>n ve a>1 için koşulun sağlandığı kanıtlanmıştır.

Kökün kanıtlanmış özelliğinin somut sayılarda uygulanmasına örnekler verelim. Örneğin, eşitsizlikler ve doğrudur.

Bibliyografya.