Кръстословицата е стойност, характеризираща се само с числова стойност. Величини, които се определят изцяло от числовата им стойност

СЛУЧАЙНИ ВЕЛИЧИНИ И ЗАКОНИ НА ТЯХНОТО РАЗПРЕДЕЛЕНИЕ.

Случаен наречено количество, което приема стойности в зависимост от комбинацията от случайни обстоятелства. Разграничете отделен и случаен непрекъснато количества.

Отделен Количеството се нарича, ако приема изброим набор от стойности. ( Пример:броя на пациентите в лекарския кабинет, броя на буквите на страница, броя на молекулите в даден том).

Непрекъснато наречено количество, което може да приема стойности в рамките на определен интервал. ( Пример:температура на въздуха, телесно тегло, човешки ръст и др.)

разпределителен закон Случайна променлива е набор от възможни стойности на това количество и, съответстващи на тези стойности, вероятности (или честоти на поява).

ПРИМЕР:

Числени характеристики на случайни величини.

В много случаи наред с разпределението на случайна променлива или вместо него, информация за тези величини може да се предостави чрез числени параметри, т.нар. числени характеристики на случайна променлива . Най-често използваните от тях:

1 .Очаквана стойност - (средна стойност) на случайна променлива е сумата от продуктите на всички нейни възможни стойности и вероятностите за тези стойности:

2 .дисперсия случайна величина:

3 .Стандартно отклонение :

ТРИ СИГМИ - ако една случайна променлива е разпределена според нормалния закон, тогава отклонението на тази стойност от средната стойност в абсолютна стойност не надвишава три пъти стандартното отклонение

Закон на Гаус - нормален закон на разпределение

Често има разпределени стойности нормален закон (закон на Гаус). основна характеристика : това е ограничаващият закон, към който се доближават другите закони за разпределение.

Случайната променлива е нормално разпределена, ако нейната плътност на вероятността изглежда като:

M(X) - математическо очакване на случайна величина;

 - стандартно отклонение.

Плътност на вероятността (функция на разпределение) показва как се променя вероятността, свързана с интервала dx случайна променлива, в зависимост от стойността на самата променлива:

Основни понятия на математическата статистика

Математическа статистика - клон на приложната математика, непосредствено съседен на теорията на вероятностите. Основната разлика между математическата статистика и теорията на вероятностите е, че математическата статистика не разглежда действия върху законите за разпределение и числените характеристики на случайни променливи, а приблизителни методи за намиране на тези закони и числени характеристики въз основа на експериментални резултати.

Основни понятия математическата статистика е:

Общо население;

проба;

вариационни серии;

мода;

Медиана;

процентил,

честотен полигон,

стълбовидна диаграма.

Население - голяма статистическа съвкупност, от която се избират част от обектите за изследване

(Пример:цялото население на региона, студенти от града и др.)

Извадка (извадкова популация) - набор от обекти, избрани от общата съвкупност.

Вариационни серии - статистическо разпределение, състоящо се от варианти (стойности на случайна променлива) и съответните им честоти.

Пример:

х - стойността на случайна променлива (маса момичета на възраст 10 години);

м - честота на поява.

Мода – стойността на случайната променлива, която съответства на най-високата честота на срещане. (В примера по-горе 24 кг е най-често срещаната стойност за мода: m = 20).

Медиана - стойността на случайна променлива, която разделя разпределението наполовина: половината от стойностите са разположени вдясно от медианата, половината (не повече) - вляво.

Пример:

1, 1, 1, 1, 1. 1, 2, 2, 2, 3 , 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7 , 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8 , 8, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10

В примера наблюдаваме 40 стойности на случайна променлива. Всички стойности са подредени във възходящ ред, като се вземе предвид честотата на тяхното възникване. Може да се види, че 20 (половината) от 40-те стойности са разположени вдясно от избраната стойност 7. Така че 7 е медианата.

За да характеризираме разсейването, намираме стойности, които не са по-високи от 25 и 75% от резултатите от измерването. Тези стойности се наричат ​​25-ти и 75-ти процентили . Ако медианата разполовява разпределението, тогава 25-ият и 75-ият персентил се отрязват от нея с една четвърт. (Самата медиана, между другото, може да се счита за 50-ия персентил.) Както можете да видите от примера, 25-ият и 75-ият персентил са съответно 3 и 8.

използване отделен (точка) статистическо разпределение и непрекъснато (интервал) статистическо разпределение.

За яснота статистическите разпределения са изобразени графично във формата честотен полигон или - хистограми .

Честотен полигон - прекъсната линия, чиито сегменти свързват точки с координати ( х 1 , м 1 ), (х 2 , м 2 ), ... или за полигон от относителни честоти - с координати ( х 1 ,Р * 1 ), (х 2 ,Р * 2 ), ...(Фиг. 1).

мм аз / нf(x)

х х

Фиг.1 Фиг.2

Честотна хистограма - набор от съседни правоъгълници, построени на една права линия (фиг. 2), основите на правоъгълниците са еднакви и равни dx , а височините са равни на отношението на честотата към dx , или Р * да се dx (плътност на вероятността).

Пример:

71, Числени характеристики на случайни величинисе използват широко в практиката за изчисляване на показателите за надеждност. В много въпроси на практиката не е необходимо напълно, изчерпателно да се характеризира случайна променлива. Често е достатъчно да се посочат само числови параметри, които до известна степен характеризират съществените характеристики на разпределението на случайна променлива, например: означава , близо до които са групирани възможните стойности на случайната променлива; число, характеризиращо дисперсията на случайна променлива спрямо средната стойност и т.н. Числените параметри, които позволяват изразяване в компресирана форма на най-значимите характеристики на случайна променлива, се наричат ​​числени характеристики на случайна променлива.

а) b)

Ориз. 11 Определение за очакване

Числените характеристики на случайните променливи, използвани в теорията на надеждността, са дадени в табл. един.

72,Очакване(средна стойност) на непрекъсната случайна променлива, чиито възможни стойности принадлежат на интервала , е определен интеграл (фиг., 11, b)

. (26)

Математическото очакване може да бъде изразено чрез допълнение на интегралната функция. За да направим това, заместваме (11) в (26) и интегрираме по части получения израз

, (27)

защото и , тогава

. (28)

За неотрицателни случайни променливи, чиито възможни стойности принадлежат на интервала , формула (28) приема формата

. (29)

т.е. математическото очакване на неотрицателна случайна променлива, чиито възможни стойности принадлежат на интервала , е числено равна на площта под графиката на допълнението на интегралната функция (фиг., 11, а).

73, Средно време до първа повреда според статистическа информациясе определя по формулата

, (30)

къде е времето за първия провал аз-ти обект; н- брой изследвани обекти.

По същия начин се определят средният ресурс, средният експлоатационен живот, средното време за възстановяване, средният срок на годност.

74, Разсейване на случайна променлива около очакваната й стойностоценени с помощта на дисперсия на стандартното отклонение(RMS) и коефициент на вариация.

Дисперсията на непрекъсната случайна променлива X е математическото очакване на квадрата на отклонението на случайната променлива от нейното математическо очакване и се изчислява по формулата

. (31)

дисперсияима размерността на квадрата на случайна променлива, което не винаги е удобно.

75, Стандартно отклонениеслучайната променлива е корен квадратен от дисперсията и има размерността на случайната променлива

. (32)

76, Коефициент на вариацияе относителен показател за дисперсията на случайна променлива и се определя като отношението на стандартното отклонение към математическото очакване

. (33)

77, Гама - процентна стойност на случайна променлива- стойността на случайната променлива, съответстваща на дадената вероятност че случайната променлива приема стойност, по-голяма от

. (34)

78, Гама - процентната стойност на случайна променлива може да се определи чрез интегралната функция, нейното допълнение и диференциална функция (фиг. 12). Гама процентната стойност на случайна променлива е вероятностният квантил (фиг. 12, а)

. (35)

Теорията за надеждност използва гама процентна стойност на ресурса, експлоатационния живот и срока на годност(Маса 1). Гама процентът се нарича ресурс, експлоатационен живот, срок на годност,който има (и надвишава) процент обекти от даден тип.

а) b)

Фиг.12 Определяне на гама процентната стойност на случайна променлива

Гама процентен ресурсхарактеризира издръжливостна избраното ниво вероятност за неунищожаване. Гама-процентният ресурс се определя, като се вземе предвид отговорността на обектите. Например, за търкалящи лагери най-често се използва ресурс от 90%, за лагери на най-критичните обекти се избира ресурс от 95% и повече, което го доближава до 100%, ако повредата е животозастрашаваща.

79, Медиана на случайна променливае неговата гама процентна стойност при . За медианата еднакво вероятно е случайната променлива да бъде Tповече или по-малко от него, т.е.

Геометрично медианата е абсцисата на пресечната точка на интегралната функция на разпределение и нейното допълнение (фиг. 12, b). Медианата може да се интерпретира като абсцисата на точката, в която ординатата на диференциалната функция разполовява областта, ограничена от кривата на разпределение (фиг., 12, в).

Медианата на случайна променлива се използва в теорията на надеждността като числена характеристика на ресурса, експлоатационния живот, срока на годност (Таблица 1).

Съществува функционална връзка между показателите за надеждност на обектите. Познаване на една от функциите
ви позволява да определите други показатели за надеждност. Обобщение на връзките между показателите за надеждност е дадено в табл. 2.

Таблица 2. Функционална връзка между показателите за надеждност

При решаването на много практически проблеми не винаги е необходимо да се характеризира напълно случайна променлива, т.е. да се определят законите на разпределение. Освен това конструирането на функция или поредица от разпределения за дискретна и плътност - за непрекъсната случайна променлива е тромаво и ненужно.

Понякога е достатъчно да се посочат отделни числени параметри, които частично характеризират характеристиките на разпределението. Необходимо е да се знае някаква средна стойност на всяка случайна променлива, около която се групира нейната възможна стойност, или степента на дисперсия на тези стойности спрямо средната и т.н.

Характеристиките на най-значимите характеристики на разпределението се наричат ​​числени характеристики случайна величина.С тяхна помощ се улеснява решаването на много вероятностни задачи, без да се определят законите на разпределение за тях.

Най-важната характеристика на позицията на случайна величина върху реалната ос е очаквана стойност М[х]= а,което понякога се нарича средна стойност на случайната променлива. За дискретна случайна променлива X свъзможни стойности х 1 , х 2 , … , x nи вероятности стр 1 , стр 2 ,… , p nопределя се по формулата

Като се има предвид, че =1, можем да напишем

По този начин, математическо очакване Дискретна случайна променлива е сумата от продуктите на нейните възможни стойности и техните вероятности.Средната аритметична стойност на наблюдаваните стойности на случайна променлива с голям брой експерименти се доближава до нейното математическо очакване.

За непрекъсната случайна променлива Xматематическото очакване не се определя от сумата, а интегрална

където f(х) - плътност на разпределение на количеството х.

Математическото очакване не съществува за всички случайни променливи. За някои от тях сборът или интегралът се разминава и следователно няма очакване. В тези случаи, от съображения за точност, трябва да се ограничи обхватът на възможните промени в случайната променлива х,за които сборът или интегралът ще се сближат.

На практика се използват и такива характеристики на позицията на случайна променлива като мода и медиана.

Случайна моданейната най-вероятна стойност се нарича.В общия случай модата и математическото очакване не съвпадат.

Медиана на случайна променливаX е неговата стойност, по отношение на която е еднакво вероятно да се получи по-голяма или по-малка стойност на случайна променлива, т.е. това е абсцисата на точката, в която областта, ограничена от кривата на разпределение, е разделена наполовина. За симетрично разпределение и трите характеристики са еднакви.

В допълнение към математическото очакване, модата и медианата, в теорията на вероятностите се използват и други характеристики, всяка от които описва определено свойство на разпределението. Например, числени характеристики, които характеризират дисперсията на случайна променлива, т.е. показващи доколко нейните възможни стойности са групирани около математическото очакване, са дисперсията и стандартното отклонение. Те значително допълват случайната променлива, тъй като на практика често има случайни променливи с еднакви математически очаквания, но различни разпределения. При определяне на характеристиките на разсейване разликата между случайната променлива хи неговото математическо очакване, т.е.

където а = М[х] - очаквана стойност.

Тази разлика се нарича центрирана случайна променлива,съответстваща стойност х,и означено :

Дисперсия на случайна променливае математическото очакване на квадрата на отклонението на стойност от нейното математическо очакване, т.е.:

Д[ х]=M[( Х-а) 2 ], или

Д[ х]=M[ 2 ].

Дисперсията на случайна променлива е удобна характеристика на дисперсията и дисперсията на стойностите на случайна променлива около нейното математическо очакване. Той обаче е лишен от видимост, тъй като има размерността на квадрата на случайна променлива.

За визуално характеризиране на разсейването е по-удобно да се използва величина, чиято размерност съвпада с тази на случайна променлива. Тази стойност е стандартно отклонение случайна променлива, която е положителен квадратен корен от нейната дисперсия.

Математическо очакване, мода, медиана, дисперсия, стандартно отклонение - най-често използваните числени характеристики на случайни променливи. При решаване на практически задачи, когато е невъзможно да се определи законът на разпределението, приблизително описание на случайна променлива е нейната числена характеристика, изразяваща някакво свойство на разпределението.

В допълнение към основните характеристики на разпределението на центъра (очакване) и дисперсията (дисперсия), често е необходимо да се опишат други важни характеристики на разпределението - симетрияи острота,които могат да бъдат представени с помощта на разпределителните моменти.

Разпределението на една случайна променлива е напълно дадено, ако са известни всички нейни моменти.Въпреки това, много разпределения могат да бъдат напълно описани с помощта на първите четири момента, които са не само параметри, описващи разпределенията, но също така са важни при избора на емпирични разпределения, тоест чрез изчисляване на числените стойности на моментите за дадена статистическа серия и с помощта на специални графики може да се определи законът за разпределение.

В теорията на вероятностите се разграничават два вида моменти: начален и централен.

Началният момент на k-ти редслучайна величина Tсе нарича математическо очакване на количеството X k,т.е.

Следователно, за дискретна случайна променлива, тя се изразява чрез сумата

а за непрекъснати - интегрални

Сред началните моменти на една случайна величина особено важен е моментът от първи ред, който е математическото очакване. Началните моменти от по-висок порядък се използват главно за изчисляване на централните моменти.

Централният момент на k-ти редслучайна променлива се нарича математическо очакване на променливата ( X - М [х])к

където а = M[X].

За дискретна случайна променлива тя се изразява чрез сумата

аза непрекъснати - интегрални

Сред централните моменти на случайна променлива е централен момент от втори ред,което представлява дисперсията на случайната променлива.

Централният момент от първи ред винаги е нула.

Трети начален моментхарактеризира асиметрията (асимметрията) на разпределението и според резултатите от наблюденията за дискретни и непрекъснати случайни променливи се определя от съответните изрази:

Тъй като има размерността на куб от случайна променлива, за да се получи безразмерна характеристика, м 3разделено на стандартното отклонение на трета степен

Получената стойност се нарича коефициент на асиметрия и в зависимост от знака характеризира положителното ( Като> 0) или отрицателен ( Като< 0) асиметрията на разпределението (фиг. 2.3).

"Единици за измерване на физични величини" - Абсолютната грешка е равна на половината от скалното деление на измервателния уред. Микрометър. Резултатът се получава директно с измервателния уред. Дължина на кутията: 4 см къса, 5 см горна. За всяко физическо количество има съответни мерни единици. Гледам. Относителна грешка.

„Стойности на дължината“ - 2. Какви количества могат да се сравняват помежду си: 2. Обяснете защо следната задача се решава с помощта на добавяне: 2. Обосновете избора на действие при решаването на задачата. Колко пакета получихте? Колко химикалки има в три от тези кутии? Роклите са ушити от 12 м плат, като са изразходвани по 4 м. Колко рокли са ушити?

"Физични величини" - Границите, разделящи физиката от другите природни науки са исторически условни. Резултатът от всяко измерване винаги съдържа някаква грешка. Нова тема. Скорост. Взаимодействие по телефона. Физическите закони са представени под формата на количествени съотношения, изразени на езика на математиката. Грешка в измерването.

„Числото като резултат от измерване на стойност“ - „Числото като резултат от измерване на стойност“ урок по математика в 1 клас. Измерване на дължината на отсечка с аршин.

„Числа и количества” – Запознаване с понятието маса. Сравнение на маси без измервания. Римска писмена номерация. Капацитет. Ученикът ще научи: Числа и количества (30 часа) Координатен лъч Понятието за координатен лъч. Планирани резултати по предмета в раздел "Числа и количества" във 2 клас. Общият принцип на образуване на кардинални числа в изучаваните числа.

„Магнитуд на търсенето“ – Причини за промени в търсенето. Кривата DD, получена на графиката (от английското търсене - "търсене"), се нарича крива на търсенето. Еластично търсене (Epd>1). Размерът на търсенето. Фактори, влияещи върху търсенето. Зависимостта на търсеното количество от нивото на цените се нарича мащаб на търсенето. Абсолютно нееластично търсене (Epd=0).

Очаквана стойност. математическо очакванедискретна случайна променлива х, което приема краен брой стойности хазс вероятности Раз, се нарича сумата:

математическо очакваненепрекъсната случайна променлива хсе нарича интеграл от произведението на неговите стойности хвърху плътността на разпределението на вероятностите f(х):

(6b)

Неправилен интеграл (6 b) се приема за абсолютно конвергентен (в противен случай казваме, че очакването М(х) не съществува). Математическото очакване характеризира означаваслучайна величина х. Размерността му съвпада с размерността на случайна величина.

Свойства на математическото очакване:

дисперсия. дисперсияслучайна величина хномерът се нарича:

Дисперсията е характеристика на разсейванестойности на случайна променлива хспрямо средната му стойност М(х). Размерността на дисперсията е равна на размерността на случайната променлива на квадрат. Въз основа на дефинициите на дисперсия (8) и математическо очакване (5) за дискретна случайна променлива и (6) за непрекъсната случайна променлива, получаваме подобни изрази за дисперсията:

(9)

Тук м = М(х).

Дисперсионни свойства:

Стандартно отклонение:

(11)

Тъй като размерът на стандартното отклонение е същият като този на случайна променлива, той се използва по-често от дисперсията като мярка за дисперсия.

разпределителни моменти. Понятията математическо очакване и дисперсия са специални случаи на по-обща концепция за числените характеристики на случайни променливи - разпределителни моменти. Моментите на разпределение на случайна променлива се въвеждат като математически очаквания на някои прости функции на случайна променлива. И така, моментът на поръчката кспрямо точката х 0 се нарича очакване М(х–х 0 )к. Моменти спрямо произхода х= 0 се извикват начални моментии са маркирани:

(12)

Началният момент на първия ред е центърът на разпределение на разглежданата случайна величина:

(13)

Моменти спрямо разпределителен център х= мНаречен централни моментии са маркирани:

(14)

От (7) следва, че централният момент от първи ред винаги е равен на нула:

Централните моменти не зависят от произхода на стойностите на случайната променлива, тъй като с изместване с постоянна стойност ОТнеговият център на разпределение се измества със същата стойност ОТ, а отклонението от центъра не се променя: х – м = (х – ОТ) – (м – ОТ).
Сега е очевидно, че дисперсия- това е централен момент от втори ред:

Асиметрия. Централен момент от трети ред:

(17)

служи за оценка изкривяване на разпределението. Ако разпределението е симетрично спрямо точката х= м, тогава централният момент от трети ред ще бъде равен на нула (както и всички централни моменти от нечетни редове). Следователно, ако централният момент от третия ред е различен от нула, тогава разпределението не може да бъде симетрично. Големината на асиметрията се оценява с помощта на безразмерна стойност коефициент на асиметрия:

(18)

Знакът на коефициента на асиметрия (18) показва дясно- или ляво-странна асиметрия (фиг. 2).

Ориз. 2. Видове асиметрия на разпределенията.

Излишък. Централен момент от четвърти ред:

(19)

служи за оценка на т.нар ексцес, което определя степента на стръмност (острие) на кривата на разпределение в близост до центъра на разпределение по отношение на нормалната крива на разпределение. Тъй като за нормално разпределение количеството, взето като ексцес, е:

(20)

На фиг. 3 показва примери за криви на разпределение с различни стойности на ексцеса. За нормално разпределение д= 0. Криви, които са по-заострени от нормалното, имат положителен ексцес, а кривите с по-плоски пикове имат отрицателен ексцес.

Ориз. 3. Криви на разпределение с различни степени на стръмност (ексцес).

Моментите от по-висок порядък в инженерните приложения на математическата статистика обикновено не се използват.

Мода отделенслучайната променлива е нейната най-вероятна стойност. Мода непрекъснатослучайна променлива е нейната стойност, при която плътността на вероятността е максимална (фиг. 2). Ако кривата на разпределението има един максимум, тогава разпределението се нарича унимодален. Ако кривата на разпределение има повече от един максимум, тогава се извиква разпределението полимодален. Понякога има разпределения, чиито криви имат не максимум, а минимум. Такива разпределения се наричат антимодални. В общия случай модата и математическото очакване на една случайна величина не съвпадат. В конкретен случай, за модален, т.е. имаща мода, симетрично разпределение и при наличие на математическо очакване, последното съвпада с модата и центъра на симетрия на разпределението.

Медиана случайна величина хе неговият смисъл аз, за които е изпълнено равенство: т.е. еднакво вероятно е случайната променлива хще бъде по-малко или повече аз. Геометрично Медианае абсцисата на точката, в която площта под кривата на разпределение е разделена наполовина (фиг. 2). В случай на симетрично модално разпределение, медианата, модата и средната стойност са еднакви.