Kako pronaći pogreške izravnih i neizravnih mjerenja. Proračun pogrešaka u neizravnim mjerenjima

Razmotrimo prvo slučaj kada je vrijednost na ovisi samo o jednoj varijabli x, koji se nalazi izravno mjerenje,

Prosjek<g> može se pronaći zamjenom u (8) umjesto x prosjek<x>.

Apsolutna pogreška može se smatrati prirastom funkcije (8) s prirastom argumenta ∆ x(ukupna greška mjerene veličine x). Za male vrijednosti ∆ x približno je jednak diferencijalu funkcije

, (9)

gdje je derivacija funkcije izračunata na . Relativna pogreška bit će jednaka

Neka utvrđena vrijednost na je funkcija nekoliko varijabli x i,

. (10)

Pretpostavlja se da su pogreške svih veličina u radnoj formuli slučajne, neovisne i izračunate s istom vjerojatnošću pouzdanosti (npr. R= 0,95). Pogreška tražene vrijednosti imat će istu vjerojatnost pouzdanosti. U ovom slučaju, najvjerojatnija vrijednost količine<na> određuje se formulom (10), koristeći za izračun najvjerojatnije vrijednosti količina x i , tj. njihove prosječne vrijednosti:

<na> = f(<x 1 >, <x 2 >, …,<x ja >, …,<x m>).

U ovom slučaju, apsolutna pogreška konačnog rezultata Δ na određuje se formulom

, (11)

gdje je ∂ na/∂x i - parcijalne derivacije funkcija na po argumentima x i , izračunato za najvjerojatnije vrijednosti od x ja Parcijalna derivacija je derivacija koja se izračunava iz funkcije na argumentacijom x pod uvjetom da se svi ostali argumenti smatraju konstantnim.

Relativna pogreška vrijednosti na dobivamo dijeljenjem ∆ na na<y>

. (12)

Uzimajući u obzir da (1/ na) dy/dx predstavlja derivaciju u odnosu na x iz prirodnog logaritma na relativna greška može se napisati kao

. (13)

Formulu (12) prikladnije je koristiti u slučajevima kada, ovisno o (10), mjerene veličine x i unose uglavnom u obliku članova, a formula (13) je prikladna za izračune kada je (10) umnožak količina x ja U potonjem slučaju, preliminarni logaritam izraza (10) značajno pojednostavljuje oblik parcijalnih derivacija. Izmjerena vrijednost na je dimenzionalna veličina i nemoguće je uzeti logaritam dimenzionalne veličine. Da bi se uklonila ova netočnost, potrebno je podijeliti na na konstantu zadane dimenzije. Nakon logaritmiranja dobiva se dodatni član koji ne ovisi o količinama x i i stoga nestaje pri uzimanju parcijalnih izvoda, budući da je izvod konstantne vrijednosti jednak nuli. Stoga, kada se uzima logaritam, prisutnost takvog izraza jednostavno se podrazumijeva.

S obzirom na jednostavan odnos između apsolutnih i relativnih pogrešaka ε y = Δ na/<na>, lako poznatom vrijednošću Δ na izračunati ε y i obrnuto.

Funkcionalni odnos između izravnih pogrešaka mjerenja i pogreške neizravno mjerenje za neke jednostavne slučajeve dat je u tablici. 3.

Razmotrimo neke posebne slučajeve koji se javljaju pri proračunu pogrešaka mjerenja. Gore navedene formule za izračunavanje pogrešaka neizravnih mjerenja vrijede samo kada su svi x i su neovisne veličine i mjere se različitim instrumentima i metodama. U praksi ovaj uvjet nije uvijek ispunjen. Na primjer, ako se bilo koja fizikalna veličina u ovisnosti (10) mjeri istim instrumentom, tada su instrumentalne pogreške Δ x i pr te veličine više neće biti neovisne, a instrumentalna pogreška neizravno mjerene veličine Δ na pr u ovom će slučaju biti nešto veći nego kod "kvadratnog zbrajanja". Na primjer, ako je površina ploče s duljinom l i širine b izmjereno jednim kalibrom, tada će relativna instrumentalna pogreška neizravnog mjerenja biti

(∆S/S) pr = (Δ l/l) pr + ( ∆b/b) itd,

oni. greške se zbrajaju aritmetički (greške Δ l na Δb pr istog predznaka i njihove vrijednosti su iste), umjesto relativne instrumentalne pogreške

s neovisnim pogreškama.

Tablica 3

Funkcionalna povezanost pogrešaka izravnih i neizravnih mjerenja

Radna formula	Formula za izračunavanje pogreške

Prilikom izvođenja mjerenja mogu postojati slučajevi kada vrijednosti x imam različita značenja, posebno promijenjen ili postavljen tijekom eksperimenta, na primjer, viskoznost tekućine Poiseuilleovom metodom određena je za različite visine stupca tekućine iznad kapilare ili se ubrzanje slobodnog pada g odredi pomoću matematičkog njihala za različite duljine) . U takvim slučajevima treba izračunati vrijednost neizravno mjerene veličine na u svakom od n pokusa posebno, a kao najvjerojatnije vrijednosti uzmite prosječnu vrijednost, t.j. . Slučajna pogreška Δ na sl izračunati kao greška u izravnom mjerenju. Izračun pogreške instrumenta Δ na pr se pravi kroz parcijalne derivacije po formuli (11), a konačna ukupna pogreška neizravno mjerene veličine izračunava se po formuli

Ako se željena fizikalna veličina ne može izravno izmjeriti uređajem, već se izražava formulom kroz izmjerene veličine, tada se takva mjerenja nazivaju neizravni.

Kao i kod izravnih mjerenja, možete izračunati srednju apsolutnu (aritmetičku sredinu) pogrešku ili korijen srednje kvadratne pogreške neizravnih mjerenja.

Opća pravila proračuni pogrešaka za oba slučaja izvedeni su pomoću diferencijalnog računa.

Neka je fizikalna veličina j( x, y, z, ...) je funkcija niza neovisnih argumenata x, y, z, ..., od kojih se svaki može odrediti eksperimentalno. Količine se određuju izravnim mjerenjima i procjenjuju se njihove srednje apsolutne pogreške ili korijen srednjih kvadratnih pogrešaka.

Prosječna apsolutna pogreška neizravnih mjerenja fizikalne veličine j izračunava se formulom

gdje su parcijalne derivacije od φ u odnosu na x, y, z izračunato za prosječne vrijednosti odgovarajućih argumenata.

Budući da formula koristi apsolutne vrijednosti svih članova zbroja, izraz za procjenjuje najveću pogrešku mjerenja funkcije za dane maksimalne pogreške nezavisnih varijabli.

Korijen srednje kvadratne pogreške neizravnih mjerenja fizikalne veličine j

Relativna najveća pogreška neizravnih mjerenja fizikalne veličine j

gdje, itd.

Slično, možemo napisati relativnu srednju kvadratnu pogrešku neizravnih mjerenja j

Ako formula predstavlja izraz pogodan za logaritmiranje (tj. umnožak, razlomak, potenciju), tada je prikladnije prvo izračunati relativnu pogrešku. Da biste to učinili (u slučaju prosječne apsolutne pogreške), potrebno je učiniti sljedeće.

1. Uzmite logaritam izraza za neizravno mjerenje fizičke veličine.

2. Razlikujte ga.

3. Kombinirajte sve članove s istim diferencijalom i izvadite ga iz zagrada.

4. Uzmite izraz ispred raznih modulo diferencijala.

5. Ikone diferencijala formalno zamijenite ikonama apsolutne pogreške D.

Tada se, znajući e, može izračunati apsolutna pogreška Dj po formuli

Primjer 1 Izvođenje formule za izračunavanje najveće relativne pogreške neizravnih mjerenja obujma cilindra.

Izraz za neizravno mjerenje fizikalne veličine (početna formula)

Vrijednost promjera D i visinu cilindra h mjereno izravno instrumentima s izravnim pogreškama mjerenja, odnosno D D i D h.

Uzimamo logaritam izvorne formule i dobivamo

Diferencirajte dobivenu jednadžbu

Zamjenom ikona diferencijala ikonama apsolutne pogreške D konačno dobivamo formulu za izračun najveće relativne pogreške neizravnih mjerenja obujma cilindra

1. Uvod

Posao kemičara, fizičara i predstavnika drugih prirodnih znanstvenih struka često je vezan uz izvođenje kvantitativnih mjerenja različitih veličina. Tu se postavlja pitanje analize pouzdanosti dobivenih vrijednosti, obrade rezultata izravnih mjerenja i procjene pogrešaka izračuna koji koriste vrijednosti izravno mjerenih karakteristika (potonji proces naziva se i obrada rezultata neizravni mjerenja). Iz niza objektivnih razloga znanje diplomanata Kemijskog fakulteta Moskovskog državnog sveučilišta o izračunu pogrešaka nije uvijek dovoljno za ispravnu obradu dobivenih podataka. Jedan od tih razloga je nedostatak nastavni plan i program fakultet kolegija o statističkoj obradi rezultata mjerenja.

DO sadašnji trenutak pitanje računskih pogrešaka, naravno, iscrpno je proučeno. postoji veliki broj metodološki razvoj, udžbenici i dr., u kojima se mogu dobiti podaci o izračunu pogrešaka. Nažalost, većina slična djela pretrpano dodatnim i ne uvijek potrebnim informacijama. Konkretno, većina rada na studentskim radionicama ne zahtijeva takve radnje kao što su usporedba uzoraka, evaluacija konvergencije itd. Stoga se čini prikladnim izraditi kratki razvoj koji ocrtava algoritme za najčešće korištene izračune, što je i ono što ovaj razvoj je posvećena.

2. Oznake usvojene u ovom radu

Mjerena vrijednost, - srednja vrijednost izmjerene veličine, - apsolutna pogreška srednje vrijednosti izmjerene veličine, - relativna pogreška srednje vrijednosti izmjerene veličine.

3. Proračun pogrešaka izravnih mjerenja

Pa pretpostavimo da ih je bilo n mjerenja iste količine pod istim uvjetima. U ovom slučaju možete izračunati prosječnu vrijednost ove količine u mjerenjima:

(1)

Kako izračunati grešku? Prema sljedećoj formuli:

(2)

Ova formula koristi Studentov koeficijent. Njegove vrijednosti za različite vjerojatnosti pouzdanosti i vrijednosti dane su u .

3.1. Primjer izračunavanja pogrešaka izravnih mjerenja:

Zadatak.

Izmjerena je duljina metalne šipke. Izvršeno je 10 mjerenja i dobivene su sljedeće vrijednosti: 10 mm, 11 mm, 12 mm, 13 mm, 10 mm, 10 mm, 11 mm, 10 mm, 10 mm, 11 mm. Potrebno je pronaći srednju vrijednost izmjerene veličine (dužinu šipke) i njezinu pogrešku.

Riješenje.

Koristeći formulu (1) nalazimo:

Sada, koristeći formulu (2), nalazimo apsolutnu pogrešku srednje vrijednosti s vjerojatnošću pouzdanosti i brojem stupnjeva slobode (koristimo vrijednost \u003d 2,262, preuzetu iz):

Napišimo rezultat:

10,8±0,7 0,95 mm

4. Proračun pogrešaka neizravnih mjerenja

Pretpostavimo da su tijekom eksperimenta izmjerene vrijednosti , i onda c pomoću dobivenih vrijednosti izračunava se vrijednost po formuli . U ovom slučaju, pogreške izravno izmjerenih vrijednosti izračunavaju se kako je opisano u stavku 3.

Izračun prosječne vrijednosti količine izvodi se prema ovisnosti pomoću prosječnih vrijednosti argumenata.

Pogreška veličine izračunava se pomoću sljedeće formule:

,(3)

gdje je broj argumenata, su parcijalne derivacije funkcije u odnosu na argumente, je apsolutna pogreška srednje vrijednosti argumenta.

Apsolutna pogreška, kao i kod izravnih mjerenja, izračunava se po formuli .

4.1. Primjer izračunavanja pogrešaka izravnih mjerenja:

Zadatak.

Provedeno je pet izravnih mjerenja i . Za vrijednost dobivene vrijednosti: 50, 51, 52, 50, 47; dobivene vrijednosti za vrijednost: 500, 510, 476, 354, 520. Potrebno je izračunati vrijednost vrijednosti određene formulom i pronaći pogrešku dobivene vrijednosti.

Formule za izračunavanje pogrešaka neizravnih mjerenja temelje se na prikazima diferencijalnog računa.

Neka ovisnost o količini Y od izmjerene vrijednosti Z ima jednostavan oblik: .

Ovdje i su konstante čije su vrijednosti poznate. Ako se z poveća ili smanji za neki broj, tada će se promijeniti u:

Ako - pogreška izmjerene vrijednosti Z, tada će, odnosno, biti pogreška izračunate vrijednosti Y.

Dobivamo formulu za apsolutnu pogrešku u općem slučaju funkcije jedne varijable. Neka graf ove funkcije ima oblik prikazan na sl.1. Točna vrijednost argumenta z 0 odgovara točnoj vrijednosti funkcije y 0 = f(z 0).

Izmjerena vrijednost argumenta razlikuje se od točne vrijednosti argumenta za vrijednost Δz zbog pogrešaka mjerenja. Vrijednost funkcije razlikovat će se od točne vrijednosti za Δy.

Iz geometrijskog značenja derivacije kao tangente nagiba tangente na krivulju u danoj točki (slika 1), slijedi:

. (10)

Formula za relativnu pogrešku neizravnog mjerenja u slučaju funkcije jedne varijable bit će:
. (11)

Uzimajući u obzir da je diferencijal funkcije , dobivamo

(12)

Ako je neizravno mjerenje funkcija m varijable , tada će pogreška neizravnog mjerenja ovisiti o pogreškama izravnih mjerenja. Označavamo djelomičnu pogrešku povezanu s pogreškom mjerenja argumenta. On predstavlja povećanje funkcije za povećanje, pod uvjetom da su svi ostali argumenti nepromijenjeni. Dakle, djelomičnu apsolutnu pogrešku prema (10) zapisujemo u sljedećem obliku:

(13)

Dakle, da bi se našla parcijalna pogreška neizravnog mjerenja, potrebno je, prema (13), parcijalni izvod pomnožiti s pogreškom izravnog mjerenja. Kada se izračunava parcijalna derivacija funkcije s obzirom na preostale argumente, oni se smatraju konstantama.

Rezultirajuća apsolutna pogreška neizravnog mjerenja određena je formulom koja uključuje kvadrate djelomičnih pogrešaka

neizravno mjerenje:

ili uzimajući u obzir (13)

(14)

Relativna pogreška neizravnog mjerenja određena je formulom:

Ili uzimajući u obzir (11) i (12)

. (15)

Pomoću (14) i (15) nalazi se jedna od grešaka, apsolutna ili relativna, ovisno o praktičnosti izračuna. Tako, primjerice, ako radna formula ima oblik umnoška, omjera izmjerenih veličina, lako je uzeti logaritam i pomoću formule (15) odrediti relativnu pogrešku neizravnog mjerenja. Zatim izračunajte apsolutnu pogrešku pomoću formule (16):

Za ilustraciju gornjeg postupka određivanja pogreške neizravnih mjerenja, vratimo se na virtualno laboratorijski rad"Određivanje ubrzanja slobodnog pada pomoću matematičkog njihala".

Radna formula (1) ima oblik omjera izmjerenih vrijednosti:

Stoga počinjemo s definicijom relativne pogreške. Da bismo to učinili, uzimamo logaritam ovog izraza, a zatim izračunavamo parcijalne derivacije:

; ; .

Zamjenom u formulu (15) dolazi se do formule za relativnu pogrešku neizravnog mjerenja:

(17)

Nakon zamjene rezultata izravnih mjerenja

{ ; ) u (17) dobivamo:

(18)

Za izračun apsolutne pogreške koristimo izraz (16) i prethodno izračunatu vrijednost (9) gravitacijskog ubrzanja g:

Rezultat izračuna apsolutne pogreške zaokružuje se na jednu značajnu brojku. Izračunata vrijednost apsolutne pogreške određuje točnost snimanja konačnog rezultata:

, α ≈ 1. (19)

U ovom slučaju, vjerojatnost pouzdanosti određena je vjerojatnošću pouzdanosti onih izravnih mjerenja koja su dala odlučujući doprinos pogrešci neizravnog mjerenja. U ovom slučaju to su mjerenja perioda.

Dakle, s vjerojatnošću blizu 1, vrijednost g leži između 8 i 12.

Da bi se dobila točnija vrijednost ubrzanja slobodnog pada g potrebno je unaprijediti tehniku mjerenja. U tu svrhu potrebno je smanjiti relativnu pogrešku koja je, kako proizlazi iz formule (18), uglavnom određena pogreškom mjerenja vremena.

Da biste to učinili, potrebno je izmjeriti vrijeme ne jedne potpune oscilacije, već, na primjer, 10 potpunih oscilacija. Tada će, kao što slijedi iz (2), formula relativne pogreške imati oblik:

. (20)

Tablica 4 prikazuje rezultate mjerenja vremena za N = 10

Za količinu L uzeti rezultate mjerenja iz tablice 2. Zamjenom rezultata izravnih mjerenja u formulu (20), nalazimo relativnu pogrešku neizravnih mjerenja:

Pomoću formule (2) izračunavamo vrijednost neizravno mjerene veličine:

Konačni rezultat se piše kao:

; ; .

Ovaj primjer pokazuje ulogu formule relativne pogreške u analizi mogućih smjerova poboljšanja tehnike mjerenja.

U laboratorijskoj praksi većina mjerenja je neizravna, a količina koja nas zanima je funkcija jedne ili više izravno mjerenih veličina:

N= ƒ (x, y, z, ...) (13)

Kao što slijedi iz teorije vjerojatnosti, prosječna vrijednost veličine određena je zamjenom prosječnih vrijednosti izravno mjerenih veličina u formulu (13), tj.

¯ N= ƒ (¯x, ¯y, ¯z, ...) (14)

Potrebno je pronaći apsolutne i relativne pogreške ove funkcije ako su poznate pogreške neovisnih varijabli.

Razmotrimo dva ekstremna slučaja u kojima su pogreške ili sustavne ili nasumične. Ne postoji konsenzus o izračunu sustavne pogreške neizravnih mjerenja. Međutim, na temelju definicije sustavne pogreške kao najveće moguća greška, onda je razumno pronaći sustavna pogreška formule

(15) ili

Gdje

parcijalne derivacije funkcija N= ƒ(x, y, z, ...) s obzirom na argument x, y, z..., pronađen pod pretpostavkom da su svi ostali argumenti, osim onog s obzirom na koji je pronađena derivacija, jednaki konstantno;
δx, δy, δz su sustavne pogreške argumenata.

Formulu (15) zgodno je koristiti ako funkcija ima oblik zbroja ili razlike argumenata. Izraz (16) preporučljivo je koristiti ako funkcija ima oblik umnoška ili parcijalnih argumenata.

Za pronalaženje slučajna greška neizravna mjerenja, trebali biste koristiti formule:

(17) ili

gdje su Δx, Δy, Δz, ... intervali pouzdanosti za dane vjerojatnosti pouzdanosti (pouzdanost) za argumente x, y, z, ... . Treba imati na umu da se intervali pouzdanosti Δx, Δy, Δz, ... moraju uzeti s istom vjerojatnošću pouzdanosti P 1 = P 2 = ... = P n = P.

U ovom slučaju, pouzdanost za interval pouzdanosti Δ N također će biti P.

Formulu (17) prikladno je koristiti ako je funkcija N= ƒ(x, y, z, ...) ima oblik zbroja ili razlike argumenata. Formulu (18) prikladno je koristiti ako je funkcija N= ƒ(x, y, z, ...) ima oblik produkta ili parcijalnih argumenata.

Često postoji slučaj kada su sustavna pogreška i slučajna pogreška blizu jedna drugoj, a obje podjednako određuju točnost rezultata. U ovom slučaju, ukupna pogreška ∑ nalazi se kao kvadratni zbroj slučajnih Δ i sustavnih δ pogrešaka s vjerojatnošću od najmanje P, gdje je P vjerojatnost pouzdanosti slučajne pogreške:

Kod neizravnih mjerenja pod neponovljivim uvjetima funkcija se pronalazi za svako pojedinačno mjerenje, a interval pouzdanosti se izračunava za dobivanje vrijednosti željene veličine istom metodom kao i za izravna mjerenja.

Treba napomenuti da je u slučaju funkcionalne ovisnosti izražene formulom pogodnom za logaritmiranje, lakše prvo odrediti relativnu pogrešku, a zatim iz izraza Δ N = ε ¯ N pronaći apsolutnu grešku.

Prije nego što nastavite s mjerenjima, uvijek biste trebali razmisliti o naknadnim izračunima i napisati formule pomoću kojih će se izračunati pogreške. Ove formule će vam omogućiti da shvatite koja mjerenja treba napraviti posebno pažljivo, a koja ne zahtijevaju puno napora.

Pri obradi rezultata neizravnih mjerenja predlaže se sljedeći redoslijed operacija:

Sve veličine nađene neposrednim mjerenjem obraditi prema pravilima za obradu rezultata neposrednih mjerenja. U tom slučaju za sve izmjerene veličine postavite istu vrijednost pouzdanosti P.
Procijenite točnost rezultata neizravnih mjerenja pomoću formula (15) (16), gdje su derivacije izračunate na prosječnim vrijednostima.
Ako je pogreška pojedinačnih mjerenja više puta uključena u rezultat diferenciranja, tada je potrebno grupirati sve članove koji sadrže isti diferencijal, a izraze u zagradama koji prethode diferencijalu uzeti modulo; znak d zamijeniti s Δ (ili δ).
Ako su slučajne i sustavne pogreške slične veličine, zbrojite ih prema pravilu zbrajanja pogrešaka. Ako je jedna od pogrešaka tri ili više puta manja od druge, odbacite manju.
Rezultat mjerenja zapišite u obliku:
N= ƒ (¯x, ¯y, ¯z, ...) ± Δƒ.
Odredite relativnu pogrešku rezultata niza neizravnih mjerenja
ε = ∆ƒ 100%.
¯¯ ƒ¯

Navedimo primjere izračuna pogreške neizravnog mjerenja.

Primjer 1 Volumen cilindra nalazi se formulom

V = π d 2 h,
4

gdje je d promjer cilindra, h visina cilindra.

Obje ove količine određuju se izravno. Neka mjerenje ovih veličina da sljedeće rezultate:

d = (4,01 ± 0,03) mm,
h = (8,65 ± 0,02) mm, uz istu pouzdanost R = 0,95.
Prosječna vrijednost volumena, prema (14) je
V = 3,14 (4,01) 2 8,65 = 109,19 mm
4

Koristeći izraz (18) imamo:

ln V = ln π + 2 lnd + lnh - ln4;

;

Budući da su mjerenja obavljena mikrometrom, čija je vrijednost podjele 0,01 mm, sustavne pogreške
δd = δh = 0,01 mm. Na temelju (16), sustavna pogreška δV bit će

Stoga se pokazuje da je sustavna pogreška usporediva sa slučajnom