Temel temel fonksiyonlar: özellikleri ve grafikleri. Fonksiyonların temel özellikleri Temel fonksiyon nedir

Bilgi temel temel fonksiyonlar, özellikleri ve grafikleriçarpım tablosunu bilmekten daha az önemli değil. Onlar bir temel gibidirler, her şey onların üzerine kuruludur, her şey onlardan inşa edilir ve her şey onlara iner.

Bu yazıda, tüm ana temel fonksiyonları listeliyoruz, grafiklerini veriyoruz ve türetme ve ispat olmadan veriyoruz. temel temel fonksiyonların özelliklerişemaya göre:

fonksiyonun tanım alanının sınırları üzerindeki davranışı, dikey asimptotlar (gerekirse, bir fonksiyonun kesme noktalarının sınıflandırılması makalesine bakın);
çift ve tek;
dışbükey (yukarı doğru dışbükey) ve içbükey (aşağı dışbükey) aralıklar, bükülme noktaları (gerekirse, dışbükeylik, dışbükey yönü, bükülme noktaları, dışbükeylik ve bükülme koşulları makale işlevine bakın);
eğik ve yatay asimptotlar;
fonksiyonların tekil noktaları;
bazı fonksiyonların özel özellikleri (örneğin, trigonometrik fonksiyonlar için en küçük pozitif nokta).

Veya ile ilgileniyorsanız, teorinin bu bölümlerine gidebilirsiniz.

Temel temel işlevlerşunlardır: sabit fonksiyon (sabit), n'inci derecenin kökü, kuvvet fonksiyonu, üstel, logaritmik fonksiyon, trigonometrik ve ters trigonometrik fonksiyonlar.

Sayfa gezintisi.

Kalıcı işlev.

Tüm gerçek sayılar kümesinde, C'nin bir gerçek sayı olduğu formülle sabit bir fonksiyon verilir. Sabit işlevi, x bağımsız değişkeninin her bir gerçek değerine bağımlı değişken y'nin aynı değerini - С değerini atar. Sabit bir fonksiyona sabit de denir.

Sabit bir fonksiyonun grafiği, x eksenine paralel olan ve koordinatları (0,C) olan bir noktadan geçen düz bir çizgidir. Örneğin, aşağıdaki şekilde sırasıyla siyah, kırmızı ve mavi çizgilere karşılık gelen y=5 , y=-2 ve y=-2 sabit fonksiyonlarının grafiklerini gösterelim.

Sabit bir fonksiyonun özellikleri.

Tanım alanı: tüm gerçek sayılar kümesi.
Sabit fonksiyon çifttir.
Değer aralığı: tek sayıdan oluşan küme C .
Sabit bir fonksiyon artmaz ve azalmaz (bu yüzden sabittir).
Sabitin dışbükeyliği ve içbükeyliği hakkında konuşmak anlamsızdır.
Asimptot yoktur.
Fonksiyon, koordinat düzleminin (0,C) noktasından geçer.

n'inci derecenin kökü.

n'nin birden büyük bir doğal sayı olduğu formül tarafından verilen temel temel işlevi düşünün.

n'inci derecenin kökü olan n çift sayıdır.

n kök üssünün çift değerleri için n'inci kök işleviyle başlayalım.

Örneğin, fonksiyon grafiklerinin resimlerini içeren bir resim veriyoruz. ve , siyah, kırmızı ve mavi çizgilere karşılık gelirler.

Çift dereceli kök fonksiyonlarının grafikleri, göstergenin diğer değerleri için benzer bir forma sahiptir.

Hatta n için n'inci derecenin kökünün özellikleri.

n'inci derecenin kökü olan n tek sayıdır.

n'inci derecenin kök işlevi, n kökünün tek bir üssü ile tüm gerçek sayılar kümesinde tanımlanır. Örneğin, fonksiyonların grafiklerini sunuyoruz ve siyah, kırmızı ve mavi eğriler bunlara karşılık gelir.

Kök üssün diğer tek değerleri için, fonksiyonun grafikleri benzer bir görünüme sahip olacaktır.

tek n için n'inci derecenin kökünün özellikleri.

Güç işlevi.

Güç işlevi, formun bir formülü ile verilir.

Bir güç fonksiyonunun grafik tipini ve üssün değerine bağlı olarak bir kuvvet fonksiyonunun özelliklerini göz önünde bulundurun.

Üssü a tamsayı olan bir kuvvet fonksiyonuyla başlayalım. Bu durumda, güç fonksiyonlarının grafiklerinin biçimi ve fonksiyonların özellikleri, işaretine olduğu kadar çift veya tek üsse de bağlıdır. Bu nedenle, önce a üssünün tek pozitif değerleri için güç fonksiyonlarını, sonra çift pozitifler için, sonra tek negatif üsler için ve son olarak çift negatif a için güç fonksiyonlarını ele alıyoruz.

Kesirli ve irrasyonel üslü güç fonksiyonlarının özellikleri (ve bu tür güç fonksiyonlarının grafiklerinin türü) a üssünün değerine bağlıdır. İlk olarak, a sıfırdan bire kadar olduğunda, ikinci olarak a birden büyük olduğunda, üçüncü olarak a eksi birden sıfıra kadar olduğunda ve dördüncü olarak a eksi birden küçük olduğunda bunları ele alacağız.

Bu alt bölümün sonunda, bütünlük adına, sıfır üslü bir kuvvet fonksiyonunu açıklıyoruz.

Tek pozitif üslü güç fonksiyonu.

Tek pozitif üslü, yani a=1,3,5,… olan bir kuvvet fonksiyonunu ele alalım.

Aşağıdaki şekil, güç fonksiyonlarının grafiklerini göstermektedir - siyah çizgi, - mavi çizgi, - kırmızı çizgi, - yeşil çizgi. a=1 için bizde doğrusal fonksiyon y=x

Tek pozitif üslü bir güç fonksiyonunun özellikleri.

Çift pozitif üslü güç fonksiyonu.

Çift pozitif üslü bir kuvvet fonksiyonu düşünün, yani a=2,4,6,… için.

Örnek olarak, güç fonksiyonlarının grafiklerini ele alalım - siyah çizgi, - mavi çizgi, - kırmızı çizgi. a=2 için grafiği şu şekilde olan ikinci dereceden bir fonksiyona sahibiz: ikinci dereceden parabol.

Çift pozitif üslü bir güç fonksiyonunun özellikleri.

Tek negatif üslü güç fonksiyonu.

Üssün tek negatif değerleri, yani a \u003d -1, -3, -5, ... için üstel fonksiyonun grafiklerine bakın.

Şekil üstel fonksiyonların grafiklerini örnek olarak göstermektedir - siyah çizgi, - mavi çizgi, - kırmızı çizgi, - yeşil çizgi. a=-1 için elimizdeki ters orantılılık, kimin grafiği hiperbol.

Tek negatif üslü bir güç fonksiyonunun özellikleri.

Çift negatif üslü güç fonksiyonu.

a=-2,-4,-6,… noktasındaki kuvvet fonksiyonuna geçelim.

Şekil, güç fonksiyonlarının grafiklerini göstermektedir - siyah çizgi, - mavi çizgi, - kırmızı çizgi.

Çift negatif üslü bir güç fonksiyonunun özellikleri.

Değeri sıfırdan büyük ve birden küçük olan rasyonel veya irrasyonel üslü bir kuvvet fonksiyonu.

Not! a, paydası tek olan pozitif bir kesir ise, bazı yazarlar aralığın kuvvet fonksiyonunun alanı olduğunu düşünür. Aynı zamanda, a üssünün indirgenemez bir kesir olduğu şart koşulmuştur. Şimdi cebir üzerine birçok ders kitabının yazarları ve analizin başlangıcı, güç fonksiyonlarını, argümanın negatif değerleri için tek paydalı bir kesir şeklinde bir üs ile TANIMLAMAYIN. Tam da böyle bir görüşe bağlı kalacağız, yani kesirli pozitif üslere sahip güç fonksiyonlarının etki alanlarını küme olarak ele alacağız. Öğrencileri, anlaşmazlığı önlemek için bu ince nokta hakkında öğretmeninizin bakış açısını almaya teşvik ediyoruz.

Rasyonel veya irrasyonel üssü a ve olan bir kuvvet fonksiyonunu ele alalım.

a=11/12 (siyah çizgi), a=5/7 (kırmızı çizgi), (mavi çizgi), a=2/5 (yeşil çizgi) için güç fonksiyonlarının grafiklerini sunuyoruz.

Tamsayı olmayan rasyonel veya irrasyonel üssü birden büyük olan bir kuvvet fonksiyonu.

Tamsayı olmayan bir rasyonel veya irrasyonel üs a , ve olan bir kuvvet fonksiyonunu düşünün.

Formüllerle verilen güç fonksiyonlarının grafiklerini sunalım. (sırasıyla siyah, kırmızı, mavi ve yeşil çizgiler).

a üssünün diğer değerleri için, fonksiyonun grafikleri benzer bir görünüme sahip olacaktır.

için güç işlevi özellikleri.

Gerçek üssü eksi birden büyük ve sıfırdan küçük olan bir kuvvet fonksiyonu.

Not! a, paydası tek olan negatif bir kesir ise, bazı yazarlar aralığı dikkate alır. . Aynı zamanda, a üssünün indirgenemez bir kesir olduğu şart koşulmuştur. Şimdi cebir üzerine birçok ders kitabının yazarları ve analizin başlangıcı, güç fonksiyonlarını, argümanın negatif değerleri için tek paydalı bir kesir şeklinde bir üs ile TANIMLAMAYIN. Tam da böyle bir görüşe bağlı kalacağız, yani, sırasıyla kesirli negatif üslere sahip güç fonksiyonlarının etki alanlarını küme olarak kabul edeceğiz. Öğrencileri, anlaşmazlığı önlemek için bu ince nokta hakkında öğretmeninizin bakış açısını almaya teşvik ediyoruz.

Güç fonksiyonuna geçiyoruz, burada .

için güç fonksiyonlarının grafik türleri hakkında iyi bir fikir sahibi olmak için, fonksiyonların grafiklerine örnekler veriyoruz. (sırasıyla siyah, kırmızı, mavi ve yeşil eğriler).

a , üslü bir kuvvet fonksiyonunun özellikleri.

Tamsayı olmayan gerçek üssü eksi birden küçük olan bir kuvvet işlevi.

için güç fonksiyonlarının grafiklerine örnekler verelim. sırasıyla siyah, kırmızı, mavi ve yeşil çizgilerle gösterilmiştir.

Tamsayı olmayan negatif üssü eksi birden küçük olan bir kuvvet fonksiyonunun özellikleri.

a=0 olduğunda ve bir fonksiyonumuz olduğunda - bu, (0; 1) noktasının hariç tutulduğu düz bir çizgidir (0 0 ifadesinin herhangi bir önem vermemesi kabul edilmiştir).

üstel işlev.

Temel temel fonksiyonlardan biri üstel fonksiyondur.

Üstel fonksiyonun grafiği, burada ve a tabanının değerine bağlı olarak farklı bir şekil alır. Hadi çözelim.

İlk olarak, üstel fonksiyonun tabanının sıfırdan bire bir değer, yani , aldığı durumu ele alalım.

Örneğin, a = 1/2 - mavi çizgi, a = 5/6 - kırmızı çizgi için üstel fonksiyonun grafiklerini sunuyoruz. Üstel fonksiyonun grafikleri, aralıktaki diğer taban değerleri için benzer bir görünüme sahiptir.

Tabanı birden küçük olan üstel bir fonksiyonun özellikleri.

Üstel fonksiyonun tabanının birden büyük olduğu duruma dönüyoruz, yani .

Bir örnek olarak, üstel fonksiyonların grafiklerini sunuyoruz - mavi çizgi ve - kırmızı çizgi. Tabanın birden büyük diğer değerleri için, üstel fonksiyonun grafikleri benzer bir görünüme sahip olacaktır.

Tabanı birden büyük olan üstel bir fonksiyonun özellikleri.

Logaritmik fonksiyon.

Bir sonraki temel temel fonksiyon logaritmik fonksiyondur, burada , . Logaritmik işlev, yalnızca bağımsız değişkenin pozitif değerleri için, yani için tanımlanır.

Logaritmik fonksiyonun grafiği, a tabanının değerine bağlı olarak farklı bir şekil alır.

Liouville, karmaşık bir değişkenin fonksiyonlarını göz önünde bulundurarak, temel fonksiyonları biraz daha geniş bir şekilde tanımladı. temel işlev y değişken X- cebirsel bir işlev olarak temsil edilebilen analitik bir işlev X ve işlevler ve bazı cebirsel işlevlerin logaritması veya üssüdür G 1 den X .

Örneğin günah( X) cebirsel bir fonksiyondur e BenX .

Değerlendirmenin genelliğini sınırlamadan, fonksiyonların cebirsel olarak bağımsız olduğunu, yani cebirsel denklemin tümü için sağlandığını varsayabiliriz. X, sonra polinomun tüm katsayıları sıfıra eşittir.

Temel fonksiyonların farklılaşması

Nerede z 1 "(z) eşittir veya G 1 " / G 1 veya z 1 G 1" logaritmasına bağlı olarak z 1 veya üs, vb. Uygulamada, bir türev tablosu kullanmak uygundur.

Temel fonksiyonların entegrasyonu

Liouville teoremi, örneğin uygulanan temel fonksiyonların sembolik entegrasyonu için algoritmalar oluşturmanın temelidir.

Limit Hesaplama

Liouville'in teorisi, limitlerin hesaplanmasını kapsamaz. Temel formülün verdiği dizi verildiğinde, bir limiti olup olmadığı, cevap veren bir algoritma olup olmadığı bilinmemektedir. Örneğin, dizinin yakınsak olup olmadığı sorusu açıktır.

Edebiyat

J. Liouville. Mémoire sur l'integration d'une classe de functions transcendantes// J. Reine Angew. Matematik. bd. 13, s. 93-118. (1835)
JF Ritt. Sonlu Terimlerde Entegrasyon. N.-Y., 1949// http://lib.homelinux.org
A. G. Khovansky. Topolojik Galois teorisi: son formda denklemlerin çözülebilirliği ve çözülemezliği Ch. 1.E, 2007

notlar

Wikimedia Vakfı. 2010

Temel heyecan
Temel Çıkış

Diğer sözlüklerde "Temel fonksiyon" un ne olduğuna bakın:

temel işlev- Daha küçük işlevlere bölündüğünde, dijital iletim hiyerarşisinde benzersiz bir şekilde tanımlanamayan bir işlev. Bu nedenle ağ açısından bölünmezdir (İTÜ T G.806). Telekomünikasyon konuları, temel kavramlar EN uyarlama işleviA ... Teknik Tercümanın El Kitabı

ağ katmanları arasında birlikte çalışma işlevi- Ağın iki seviyesi arasındaki karakteristik bilgilerin etkileşimini sağlayan temel bir işlev. (ITU-T G.806). Telekomünikasyon konuları, EN katmanının temel kavramları... ... Teknik Tercümanın El Kitabı

Temel temel işlevlerin tam listesi

Temel temel işlevlerin sınıfı aşağıdakileri içerir:

Sabit fonksiyon $y=C$, burada $C$ bir sabittir. Böyle bir işlev herhangi bir $x$ için aynı $C$ değerini alır.
$y=x^(a) $ kuvvet fonksiyonu, burada $a$ üssü gerçek bir sayıdır.
$y=a^(x) $ üstel işlevi, burada taban $a>0$, $a\ne 1$'dir.
Logaritma fonksiyonu $y=\log _(a) x$, burada logaritmanın tabanı $a>0$, $a\ne 1$'dır.
Trigonometrik fonksiyonlar $y=\sin x$, $y=\cos x$, $y=tg\, x$, $y=ctg\, x$, $y=\sec x$, $y=A>\ saniye \, x$.
Ters trigonometrik fonksiyonlar $y=\arcsin x$, $y=\arccos x$, $y=arctgx$, $y=arcctgx$, $y=arc\sec x$, $y=arc\, \cos ec\ , x$.

Güç fonksiyonları

$y=x^(a) $ kuvvet fonksiyonunun davranışını, üssünün tamsayı üs alma ve kök çıkarma belirlediği en basit durumlar için ele alalım.

Dava 1

$y=x^(a) $ fonksiyonunun üssü bir doğal sayıdır, yani $y=x^(n) $, $n\in N$.

$n=2\cdot k$ bir çift sayıysa, $y=x^(2\cdot k) $ işlevi çifttir ve $\left(x\to +\infty \ right bağımsız değişkeni gibi sonsuza kadar artar. )$ ve sınırsız düşüşü için $\left(x\to -\infty \right)$. Fonksiyonun bu davranışı $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) x^(2\cdot k) =+\infty $ ve $\mathop(\lim )\ ifadeleriyle açıklanabilir. limit_(x\to -\infty ) x^(2\cdot k) =+\infty $, yani her iki durumda da fonksiyon limitsiz artar ($\lim $ limittir). Örnek: $y=x^(2) $ fonksiyonunun grafiği.

$n=2\cdot k-1$ tek bir sayıysa, $y=x^(2\cdot k-1) $ işlevi tektir, bağımsız değişken sonsuza kadar arttıkça süresiz olarak artar ve bağımsız değişken olarak süresiz olarak azalır süresiz olarak azalır. Fonksiyonun bu davranışı $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) x^(2\cdot k-1) =+\infty $ ve $\mathop(\lim) ifadeleriyle açıklanabilir. )\limits_(x \to -\infty ) x^(2\cdot k-1) =-\infty $. Örnek: $y=x^(3) $ fonksiyonunun grafiği.

Durum 2

$y=x^(a) $ fonksiyonunun üssü negatif bir tamsayıdır, yani $y=\frac(1)(x^(n) ) $, $n\in N$.

$n=2\cdot k$ bir çift sayıysa, $y=\frac(1)(x^(2\cdot k) ) $ işlevi çifttir ve asimptotik olarak (kademeli olarak) sanki argümanı gibi sıfıra yaklaşır ve sınırsız düşüşü ile. Fonksiyonun bu davranışı tek bir $\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(1)(x^(2\cdot k) ) =0$ ifadesiyle açıklanabilir, bunun anlamı şudur: bağımsız değişkenin mutlak değerde sınırsız artışı ile fonksiyonun limiti sıfıra eşittir. Ayrıca, bağımsız değişken hem soldan $\left(x\to 0-0\right)$ hem de sağdan $\left(x\to 0+0\right)$ sıfır olma eğiliminde olduğundan, işlev sınırsız olarak artar . Bu nedenle, $\mathop(\lim )\limits_(x\to 0-0) \frac(1)(x^(2\cdot k) ) =+\infty $ ve $\mathop(\lim )\limits_ ( x\to 0+0) \frac(1)(x^(2\cdot k) ) =+\infty $, yani $y=\frac(1)(x^(2\cdot k) işlevi ) $ her iki durumda da $+\infty $'a eşit sonsuz bir limite sahiptir. Örnek: $y=\frac(1)(x^(2) ) $ fonksiyonunun grafiği.

$n=2\cdot k-1$ tek bir sayıysa, $y=\frac(1)(x^(2\cdot k-1) ) $ işlevi tektir ve asimptotik olarak sıfıra yaklaşır, sanki artan argüman ve sınırsız düşüşü ile. Fonksiyonun bu davranışı tek bir $\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(1)(x^(2\cdot k-1) ) =0$ ifadesiyle açıklanabilir. Ayrıca bağımsız değişken soldan sıfıra yaklaştıkça fonksiyon süresiz olarak azalır ve bağımsız değişken sağdan sıfıra yaklaştıkça işlev süresiz olarak artar yani $\mathop(\lim )\limits_(x\to 0- 0) \frac(1)(x ^(2\cdot k-1) ) =-\infty $ ve $\mathop(\lim )\limits_(x\to 0+0) \frac(1)(x^ (2\cdot k-1) ) =+\infty $. Örnek: $y=\frac(1)(x) $ fonksiyonunun grafiği.

Durum 3

$y=x^(a) $ fonksiyonunun üssü, doğal sayının tersidir, yani $y=\sqrt[(n)](x) $, $n\in N$.

$n=2\cdot k$ bir çift sayıysa, $y=\pm \sqrt[(2\cdot k)](x) $ işlevi iki değerlidir ve yalnızca $x\ge 0 için tanımlanır $. Bağımsız değişken sınırsız arttığında $y=+\sqrt[(2\cdot k)](x) $ fonksiyonunun değeri sınırsız artar ve $y=-\sqrt[(2\) fonksiyonunun değeri sınırsız artar cdot k)](x) $ sınırsız azalır , yani $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) \left(+\sqrt[(2\cdot k)](x) \right) =+\infty $ ve $\mathop( \lim )\limits_(x\to +\infty ) \left(-\sqrt[(2\cdot k)](x) \right)=-\infty $. Örnek: $y=\pm \sqrt(x) $ fonksiyonunun grafiği.

$n=2\cdot k-1$ tek bir sayıysa, $y=\sqrt[(2\cdot k-1)](x) $ işlevi tektir, argüman süresiz olarak arttıkça süresiz olarak artar ve süresiz olarak azalır sınırsızken azalır, yani $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) \sqrt[(2\cdot k-1)](x) =+\infty $ ve $\mathop( \ lim )\limits_(x\to -\infty ) \sqrt[(2\cdot k-1)](x)=-\infty $. Örnek: $y=\sqrt[(3)](x) $ fonksiyonunun grafiği.

Üstel ve logaritmik fonksiyonlar

Üstel $y=a^(x) $ ve logaritmik $y=\log _(a) x$ fonksiyonları karşılıklı olarak terstir. Grafikleri, birinci ve üçüncü koordinat açılarının ortak açıortaylarına göre simetriktir.

$\left(x\to +\infty \right)$ bağımsız değişkeni sonsuza kadar arttıkça, üstel işlev veya $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) a^(x) =+\infty $ , eğer $a>1$ veya asimptotik olarak sıfıra yaklaşıyorsa $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) a^(x) =0$, eğer $a1$ veya $\mathop süresiz olarak artıyorsa (\lim )\limits_(x\to -\infty ) a^(x) =+\infty $ if $a

$y=a^(x) $ fonksiyonunun karakteristik değeri, $x=0$ değeridir. Ayrıca, $a$'dan bağımsız olarak tüm üstel fonksiyonlar, zorunlu olarak $y=1$'da $Oy$ eksenini keser. Örnekler: $y=2^(x) $ ve $y = \left (\frac(1)(2) \right)^(x) $ fonksiyonlarının grafikleri.

$y=\log _(a) x$ logaritmik işlevi yalnızca $x > 0$ için tanımlanır.

$\left(x\to +\infty \right)$ bağımsız değişkeni sonsuza kadar arttıkça, logaritmik fonksiyon veya süresiz olarak artar $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) \log _(a) x =+\ infty $ eğer $a>1$ ise veya $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) \log _(a) x=-\infty $ ise $a1$ veya sınırsız $ \mathop(\lim )\limits_(x\to 0+0) \log _(a) x=+\infty $ eğer $a ise artar

$y=\log _(a) x$ fonksiyonunun karakteristik değeri, $y=0$ değeridir. Ayrıca, $a$'dan bağımsız olarak tüm logaritmik fonksiyonlar zorunlu olarak $x=1$'da $Ox$ eksenini keser. Örnekler: $y=\log _(2) x$ ve $y=\log _(1/2) x$ fonksiyonlarının grafikleri.

Bazı logaritmik fonksiyonların özel gösterimi vardır. Özellikle logaritmanın tabanı $a=10$ ise böyle bir logaritma ondalık logaritma olarak adlandırılır ve karşılık gelen fonksiyon $y=\lg x$ olarak yazılır. Ve logaritmanın tabanı olarak $e=2.7182818\ldots $ irrasyonel sayısı seçilirse, böyle bir logaritma doğal olarak adlandırılır ve karşılık gelen fonksiyon $y=\ln x$ olarak yazılır. Tersi, üs olarak adlandırılan $y=e^(x) $ işlevidir.