Površina formule jednakostraničnog šesterokuta. Pravilni šesterokut

Znate li kako izgleda pravilan šesterokut?
Ovo pitanje nije slučajno postavljeno. Većina učenika 11. razreda ne zna odgovor na to pitanje.

Pravilan šesterokut je onaj u kojem su sve stranice jednake i svi kutovi također jednaki..

Željezna matica. Pahuljica. Ćelija saća u kojoj žive pčele. Molekula benzena. Što je zajedničko ovim predmetima? - Činjenica da svi imaju pravilan šesterokutni oblik.

Mnogi se školarci izgube kada vide zadatke za pravilan šesterokut i vjeruju da su za njihovo rješavanje potrebne neke posebne formule. Je li tako?

Nacrtaj dijagonale pravilnog šesterokuta. Dobili smo šest jednakostraničnog trokuta.

Znamo da je površina jednakostraničnog trokuta .

Tada je površina pravilnog šesterokuta šest puta veća.

Gdje je stranica pravilnog šesterokuta.

Imajte na umu da je u pravilnom šesterokutu udaljenost od središta do bilo kojeg od vrhova jednaka i jednaka stranici pravilnog šesterokuta.

To znači da je polumjer kružnice opisane oko pravilnog šesterokuta jednak njegovoj stranici.
Polumjer kružnice upisane u pravilan šesterokut lako je pronaći.
On je jednak.
Sada možete jednostavno riješiti sve USE probleme u kojima se pojavljuje pravilan šesterokut.

Pronađite polumjer kružnice upisane u pravilan šesterokut sa stranom .

Polumjer takve kružnice je .

Odgovor: .

Kolika je stranica pravilnog šesterokuta upisanog u krug polumjera 6?

Znamo da je stranica pravilnog šesterokuta jednaka polumjeru kružnice koja mu je opisana.

Najpoznatiji lik s više od četiri kuta je pravilni šesterokut. U geometriji se često koristi u problemima. A u životu upravo to ima saće na rezu.

Kako se razlikuje od pogrešnog?

Prvo, šesterokut je lik sa 6 vrhova. Drugo, može biti konveksan ili konkavan. Prvi se razlikuje po tome što četiri vrha leže s jedne strane ravne linije povučene kroz druga dva.

Treće, pravilan šesterokut karakterizira činjenica da su mu sve strane jednake. Štoviše, svaki kut figure također ima istu vrijednost. Da biste odredili zbroj svih njegovih kutova, morat ćete upotrijebiti formulu: 180º * (n - 2). Ovdje je n broj vrhova figure, to jest 6. Jednostavan izračun daje vrijednost od 720º. Dakle, svaki kut je 120 stupnjeva.

U svakodnevnim aktivnostima pravilni šesterokut nalazimo u pahuljici i orahu. Kemičari ga vide čak iu molekuli benzena.

Koja svojstva morate znati pri rješavanju problema?

Gore navedenom treba dodati:

• dijagonale figure, povučene kroz središte, dijele je na šest trokuta, koji su jednakostranični;
• stranica pravilnog šesterokuta ima vrijednost koja se podudara s polumjerom opisane kružnice oko njega;
• koristeći takvu figuru, moguće je ispuniti ravninu, a između njih neće biti praznina i preklapanja.

Uvedena notacija

Tradicionalno, strana pravilne geometrijske figure označava se latiničnim slovom "a". Za rješavanje problema također su potrebni površina i perimetar, to su S i P, redom. Kružnica je upisana u pravilan šesterokut ili oko njega opisana. Zatim se unose vrijednosti za njihove radijuse. Označavaju se redom slovima r i R.

U nekim se formulama pojavljuju unutarnji kut, poluopseg i apotem (koji je okomica na sredinu bilo koje stranice iz središta mnogokuta). Za njih se koriste slova: α, p, m.

Formule koje opisuju lik

Za izračunavanje polumjera upisane kružnice potrebno vam je sljedeće: r= (a * √3) / 2, i r = m. To jest, ista će formula biti za apotemu.

Budući da je opseg šesterokuta zbroj svih stranica, odredit ćemo ga na sljedeći način: P = 6 * a. S obzirom da je strana jednaka polumjeru opisane kružnice, za opseg postoji takva formula za pravilan šesterokut: P \u003d 6 * R. Od one dane za polumjer upisane kružnice, odnos između a i r je izvedeno. Tada formula ima sljedeći oblik: R = 4 r * √3.

Za površinu pravilnog šesterokuta ovo bi moglo dobro doći: S = p * r = (a 2 * 3 √3) / 2.

Zadaci

Broj 1. Stanje. Postoji pravilna šesterokutna prizma čiji je svaki brid jednak 4 cm.U nju je upisan cilindar čiji volumen treba odrediti.

Riješenje. Volumen cilindra definiran je kao umnožak površine baze i visine. Potonji se poklapa s rubom prizme. I jednak je stranici pravilnog šesterokuta. Odnosno, visina cilindra je također 4 cm.

Da biste saznali površinu njegove baze, morate izračunati polumjer kruga upisanog u šesterokut. Formula za to prikazana je gore. Dakle, r = 2√3 (cm). Tada je površina kruga: S \u003d π * r 2 \u003d 3,14 * (2√3) 2 \u003d 37,68 (cm 2).

Odgovor. V \u003d 150,72 cm 3.

Broj 2. Stanje. Izračunaj polumjer kružnice upisane u pravilan šesterokut. Poznato je da mu je stranica √3 cm.Koliki će mu biti opseg?

Riješenje. Ovaj zadatak zahtijeva korištenje dvije od gornjih formula. Štoviše, moraju se primijeniti čak i bez modificiranja, samo zamijenite vrijednost strane i izračunajte.

Dakle, radijus upisane kružnice ispada 1,5 cm, a za opseg se ispostavlja točna vrijednost: 6√3 cm.

Odgovor. r = 1,5 cm, R = 6√3 cm.

Broj 3. Stanje. Polumjer opisane kružnice je 6 cm.Koju će vrijednost u tom slučaju imati stranica pravilnog šesterokuta?

Riješenje. Iz formule za polumjer kružnice upisane u šesterokut lako se dobije ona po kojoj treba izračunati stranicu. Jasno je da je polumjer pomnožen s dva i podijeljen s korijenom iz tri. Potrebno je osloboditi se iracionalnosti u nazivniku. Stoga rezultat radnji ima sljedeći oblik: (12 √3) / (√3 * √3), odnosno 4√3.

Odgovor. a = 4√3 cm.

Ima li olovka u tvojoj blizini? Pogledajte njegov presjek - to je pravilan šesterokut ili, kako ga još zovu, šesterokut. Presjek oraha, šesterokutno šahovsko polje, neke složene molekule ugljika (na primjer, grafit), pahuljica, saće i drugi predmeti također imaju ovaj oblik. Nedavno je otkriven gigantski pravilan šesterokut. Ne čini li se čudno da priroda tako često koristi strukture ovog posebnog oblika za svoje kreacije? Pogledajmo pobliže.

Pravilni šesterokut je mnogokut sa šest jednakih stranica i jednakih kutova. Iz školskog tečaja znamo da ima sljedeća svojstva:

• Duljina njegovih stranica odgovara polumjeru opisane kružnice. Od svih, samo pravilan šesterokut ima ovo svojstvo.
• Kutovi su međusobno jednaki, a veličina svakog od njih je 120 °.
• Opseg šesterokuta može se pronaći pomoću formule R=6*R ako je poznat polumjer kruga opisane oko njega ili R=4*√(3)*r ako je krug u njega upisan. R i r su polumjeri opisane i upisane kružnice.
• Površina koju zauzima pravilan šesterokut određena je na sljedeći način: S=(3*√(3)*R 2)/2. Ako je polumjer nepoznat, umjesto njega zamijenimo duljinu jedne od strana - kao što znate, ona odgovara duljini polumjera opisane kružnice.

Pravilni šesterokut ima jednu zanimljivu značajku zbog koje je postao toliko raširen u prirodi - sposoban je ispuniti bilo koju površinu ravnine bez preklapanja i praznina. Postoji čak i tzv. Palova lema prema kojoj je pravilan šesterokut čija je stranica jednaka 1/√(3) univerzalna guma, odnosno može pokriti bilo koji skup promjera jedne jedinice.

Sada razmotrite konstrukciju pravilnog šesterokuta. Postoji nekoliko načina, od kojih je najlakši korištenje šestara, olovke i ravnala. Najprije šestarom nacrtamo proizvoljnu kružnicu, zatim na proizvoljnom mjestu na toj kružnici napravimo točku. Ne mijenjajući rješenje šestara, stavimo vrh na ovu točku, označimo sljedeći zarez na krugu i nastavimo dok ne dobijemo svih 6 točaka. Sada ostaje samo da ih međusobno povežete ravnim segmentima i ispast će željena figura.

U praksi, postoje trenuci kada trebate nacrtati veliki šesterokut. Na primjer, na dvoslojnom stropu od gipsanih ploča, oko mjesta pričvršćivanja središnjeg lustera, trebate instalirati šest malih svjetiljki na donjoj razini. Bit će vrlo, vrlo teško pronaći kompas ove veličine. Kako postupiti u ovom slučaju? Kako nacrtati veliki krug? Jako jednostavno. Morate uzeti jaku nit željene duljine i vezati jedan od njegovih krajeva nasuprot olovke. Sada ostaje samo pronaći pomoćnika koji bi pritisnuo drugi kraj konca na strop na pravoj točki. Naravno, u ovom slučaju moguće su manje pogreške, ali malo je vjerojatno da će ih uopće primijetiti autsajder.

Heksagon je mnogokut sa 6 stranica i 6 kutova. Ovisno o tome je li šesterokut pravilan ili ne, postoji nekoliko metoda za određivanje njegove površine. Sve ćemo pregledati.

Kako pronaći površinu pravilnog šesterokuta

Formule za izračunavanje površine pravilnog šesterokuta - konveksnog poligona sa šest identičnih strana.

Zadana duljina stranice:

• Formula površine: S = (3√3*a²)/2
• Ako je poznata duljina stranice a, a zatim je zamijenimo u formulu, lako možemo pronaći površinu figure.
• Inače, duljina stranice može se pronaći kroz perimetar i apotemu.
• Ako je zadan opseg, jednostavno ga podijelimo sa 6 i dobijemo duljinu jedne stranice. Na primjer, ako je opseg 24, tada će duljina stranice biti 24/6 = 4.
• Apotem je okomica povučena od središta prema jednoj od stranica. Da bismo pronašli duljinu jedne stranice, zamijenimo duljinu apoteme u formuli a = 2*m/√3. To jest, ako je apotem m = 2√3, tada je duljina stranice a = 2*2√3/√3 = 4.

S obzirom na apotemu:

• Formula površine: S = 1/2*p*m, gdje je p opseg, m apotem.
• Nađimo opseg šesterokuta kroz apotemu. U prethodnom smo odlomku naučili kako pronaći duljinu jedne strane kroz apotemu: a \u003d 2 * m / √3. Ostaje samo pomnožiti ovaj rezultat sa 6. Dobivamo formulu perimetra: p \u003d 12 * m / √3.

Zadan polumjer opisane kružnice:

• Polumjer kruga opisanog oko pravilnog šesterokuta jednak je stranici tog šesterokuta.
  Formula površine: S = (3√3*a²)/2

Zadan polumjer upisane kružnice:

• Formula površine: S = 3√3*r², gdje je r = √3*a/2 (a je jedna od stranica poligona).

Kako pronaći površinu nepravilnog šesterokuta

Formule za izračunavanje površine nepravilnog šesterokuta - mnogokuta čije stranice međusobno nisu jednake.

Metoda trapeza:

• Podijelimo šesterokut na proizvoljne trapeze, izračunamo površinu svakog od njih i zbrojimo ih.
• Osnovne formule za površinu trapeza: S = 1/2*(a + b)*h, gdje su a i b osnovice trapeza, h je visina.
  S = h*m, gdje je h visina, m je srednja linija.

Poznate su koordinate vrhova šesterokuta:

• Za početak, zapišimo koordinate točaka, štoviše, ne stavljajući ih u kaotičan red, već sekvencijalno jednu za drugom. Na primjer:
  A: (-3, -2)
  B: (-1, 4)
  C: (6, 1)
  D: (3, 10)
  E: (-4, 9)
  F: (-5, 6)
• Zatim pažljivo pomnožite x-koordinatu svake točke s y-koordinatom sljedeće točke:
  -3*4 = -12
  -1*1 = -1
  6*10 = 60
  3*9 = 27
  -4*6 = -24
  -5*(-2) = 10
  Zbrojite rezultate:
  -12 – 1 + 60 + 27 – 24 + 10 = 60
  Zatim pomnožite y-koordinatu svake točke s x-koordinatom sljedeće točke.
  -2*(-1) = 2
  4*6 = 24
  1*3 = 3
  10*(-4) = -40
  9*(-5) = -45
  6*(-3) = -18
  Zbrojite rezultate:
  2 + 24 + 3 – 40 – 45 – 18 = -74
  Oduzmite drugi od prvog rezultata:
  60 -(-74) = 60 + 74 = 134
  Dobiveni broj dijeli se s dva:
  134/2 = 67
  Odgovor: 67 kvadratnih jedinica.

• Također, da biste pronašli površinu šesterokuta, možete ga razbiti na trokute, kvadrate, pravokutnike, paralelograme i tako dalje. Odredite površine njegovih sastavnih likova i zbrojite ih.

Dakle, proučavane su metode za pronalaženje površine šesterokuta za sve prilike. Sada samo naprijed i primijenite ono što ste naučili! Sretno!