Osnovne elementarne funkcije: njihova svojstva i grafovi. Osnovna svojstva funkcija Što je elementarna funkcija

Znanje osnovne elementarne funkcije, njihova svojstva i grafovi ništa manje važno od poznavanja tablice množenja. Oni su kao temelj, na njima se sve temelji, od njih se sve gradi i na njih se sve svodi.

U ovom članku navodimo sve glavne elementarne funkcije, dajemo njihove grafove i dajemo ih bez izvoda i dokaza. svojstva osnovnih elementarnih funkcija prema shemi:

ponašanje funkcije na granicama domene definicije, vertikalne asimptote (po potrebi vidjeti članak Klasifikacija prijelomnih točaka funkcije);
par i nepar;
intervali konveksnosti (konveksnost prema gore) i konkavnosti (konveksnost prema dolje), točke infleksije (po potrebi vidi članak funkcija konveksnost, smjer konveksnosti, točke infleksije, uvjeti konveksnosti i infleksije);
kose i horizontalne asimptote;
singularne točke funkcija;
posebna svojstva nekih funkcija (npr. najmanji pozitivni period za trigonometrijske funkcije).

Ako ste zainteresirani za ili, onda možete ići na ove dijelove teorije.

Osnovne elementarne funkcije su: konstantna funkcija (konstanta), korijen iz n-tog stupnja, potencijska funkcija, eksponencijalna, logaritamska funkcija, trigonometrijska i inverzna trigonometrijska funkcija.

Navigacija po stranici.

Stalna funkcija.

Konstantna funkcija dana je na skupu svih realnih brojeva formulom , gdje je C neki realni broj. Konstantna funkcija pridružuje svakoj realnoj vrijednosti nezavisne varijable x istu vrijednost zavisne varijable y - vrijednost S. Konstantna funkcija naziva se i konstanta.

Graf konstantne funkcije je ravna linija paralelna s x-osi koja prolazi točkom s koordinatama (0,C). Za primjer, pokažimo grafove konstantnih funkcija y=5 , y=-2 i , koje na donjoj slici odgovaraju crnoj, crvenoj i plavoj liniji.

Svojstva konstantne funkcije.

Domena definicije: cijeli skup realnih brojeva.
Konstantna funkcija je parna.
Raspon vrijednosti: skup koji se sastoji od jednog broja C .
Konstantna funkcija je nerastuća i neopadajuća (zato je i konstantna).
O konveksnosti i konkavnosti konstante nema smisla govoriti.
Nema asimptote.
Funkcija prolazi kroz točku (0,C) koordinatne ravnine.

Korijen n-tog stupnja.

Razmotrimo osnovnu elementarnu funkciju, koja je dana formulom, gdje je n prirodni broj veći od jedan.

Korijen n-tog stupnja, n je paran broj.

Počnimo s n-tom korijenskom funkcijom za parne vrijednosti korijenskog eksponenta n.

Na primjer, dajemo sliku sa slikama grafova funkcija i odgovaraju crnim, crvenim i plavim linijama.

Grafikoni funkcija korijena jednakog stupnja imaju sličan oblik za druge vrijednosti indikatora.

Svojstva korijena n-tog stupnja za parni n .

Korijen n-tog stupnja, n je neparan broj.

Korijenska funkcija n-tog stupnja s neparnim eksponentom korijena n definirana je na cijelom skupu realnih brojeva. Na primjer, prikazujemo grafove funkcija i , njima odgovaraju crna, crvena i plava krivulja.

Za druge neparne vrijednosti eksponenta korijena, grafikoni funkcije će imati sličan izgled.

Svojstva korijena n-tog stupnja za neparan n .

Funkcija snage.

Funkcija snage dana je formulom oblika .

Razmotrimo vrstu grafova potencije i svojstva potencije ovisno o vrijednosti eksponenta.

Počnimo s potencnom funkcijom s cjelobrojnim eksponentom a . U tom slučaju oblik grafova potencijskih funkcija i svojstva funkcija ovise o parnom ili neparnom eksponentu, kao io njegovom predznaku. Stoga prvo razmatramo funkcije snage za neparne pozitivne vrijednosti eksponenta a, zatim za parne pozitivne, zatim za neparne negativne eksponente i na kraju za parne negativne a.

Svojstva potencijskih funkcija s razlomačkim i iracionalnim eksponentima (kao i vrsta grafova takvih potencijskih funkcija) ovise o vrijednosti eksponenta a. Razmotrit ćemo ih, prvo, kada je a od nula do jedan, drugo, kada je a veće od jedan, treće, kada je a od minus jedan do nula, i četvrto, kada je a manje od minus jedan.

U zaključku ovog pododjeljka, radi cjelovitosti, opisujemo funkciju potencije s nultim eksponentom.

Funkcija potencije s neparnim pozitivnim eksponentom.

Razmotrimo funkciju snage s neparnim pozitivnim eksponentom, to jest s a=1,3,5,… .

Donja slika prikazuje grafove funkcija snage - crna linija, - plava linija, - crvena linija, - zelena linija. Za a=1 imamo linearna funkcija y=x.

Svojstva funkcije potencije s neparnim pozitivnim eksponentom.

Funkcija potencije s parnim pozitivnim eksponentom.

Razmotrimo funkciju snage s parnim pozitivnim eksponentom, to jest, za a=2,4,6,… .

Kao primjer uzmimo grafove funkcija snage - crna linija, - plava linija, - crvena linija. Za a=2 imamo kvadratnu funkciju čiji je graf kvadratna parabola.

Svojstva funkcije potencije s parnim pozitivnim eksponentom.

Funkcija potencije s neparnim negativnim eksponentom.

Pogledajte grafove eksponencijalne funkcije za neparne negativne vrijednosti eksponenta, odnosno za a \u003d -1, -3, -5, ....

Na slici su prikazani grafovi eksponencijalnih funkcija kao primjeri - crna linija, - plava linija, - crvena linija, - zelena linija. Za a=-1 imamo obrnuta proporcionalnost, čiji je graf hiperbola.

Svojstva funkcije potencije s neparnim negativnim eksponentom.

Funkcija potencije s parnim negativnim eksponentom.

Prijeđimo na funkciju snage na a=-2,-4,-6,….

Na slici su prikazani grafovi funkcija snage - crna linija, - plava linija, - crvena linija.

Svojstva funkcije potencije s parnim negativnim eksponentom.

Funkcija potencije s racionalnim ili iracionalnim eksponentom čija je vrijednost veća od nule i manja od jedan.

Bilješka! Ako je a pozitivan razlomak s neparnim nazivnikom, tada neki autori smatraju da je interval domena funkcije snage. Ujedno je propisano da je eksponent a nesvodivi razlomak. Sada autori mnogih udžbenika o algebri i počecima analize NE DEFINIRAJU funkcije stepena s eksponentom u obliku razlomka s neparnim nazivnikom za negativne vrijednosti argumenta. Mi ćemo se pridržavati upravo takvog gledišta, odnosno domene funkcija potencije s razlomačkim pozitivnim eksponentima smatrat ćemo skupom . Potičemo učenike da dobiju perspektivu vašeg učitelja o ovoj suptilnoj točki kako bi izbjegli neslaganje.

Razmotrimo funkciju potencije s racionalnim ili iracionalnim eksponentom a , i .

Prikazujemo grafove funkcija snage na a=11/12 (crna linija), a=5/7 (crvena linija), (plava linija), a=2/5 (zelena linija).

Funkcija potencije s necjelobrojnim racionalnim ili iracionalnim eksponentom većim od jedan.

Razmotrimo funkciju potencije s necijelobrojnim racionalnim ili iracionalnim eksponentom a , i .

Prikažimo grafove funkcija snage dane formulama (redom crne, crvene, plave i zelene linije).

Za ostale vrijednosti eksponenta a, grafikoni funkcije će imati sličan izgled.

Svojstva funkcije snage za .

Funkcija potencije s realnim eksponentom većim od minus jedan i manjim od nule.

Bilješka! Ako je a negativan razlomak s neparnim nazivnikom, tada neki autori razmatraju interval . Ujedno je propisano da je eksponent a nesvodivi razlomak. Sada autori mnogih udžbenika o algebri i počecima analize NE DEFINIRAJU funkcije stepena s eksponentom u obliku razlomka s neparnim nazivnikom za negativne vrijednosti argumenta. Mi ćemo se pridržavati upravo takvog gledišta, odnosno skupom ćemo smatrati domene funkcija potencije s razlomačkim negativnim eksponentima. Potičemo učenike da dobiju perspektivu vašeg učitelja o ovoj suptilnoj točki kako bi izbjegli neslaganje.

Prelazimo na potencnu funkciju gdje je .

Kako bismo imali dobru predodžbu o vrsti grafova funkcija snage za , dajemo primjere grafova funkcija (crna, crvena, plava i zelena krivulja).

Svojstva potencije s eksponentom a , .

Funkcija potencije s necijelim realnim eksponentom koji je manji od minus jedan.

Navedimo primjere grafova funkcija snage za , prikazani su crnim, crvenim, plavim i zelenim linijama.

Svojstva funkcije potencije s necijelim negativnim eksponentom manjim od minus jedan.

Kada je a=0 i imamo funkciju - to je ravna crta iz koje je isključena točka (0; 1) (izrazu 0 0 dogovoreno je da se ne pridaje nikakav značaj).

Eksponencijalna funkcija.

Jedna od osnovnih elementarnih funkcija je eksponencijalna funkcija.

Graf eksponencijalne funkcije, gdje i ima različit oblik ovisno o vrijednosti baze a. Hajdemo shvatiti.

Najprije razmotrimo slučaj kada baza eksponencijalne funkcije poprima vrijednost od nula do jedan, tj.

Na primjer, prikazujemo grafove eksponencijalne funkcije za a = 1/2 - plava linija, a = 5/6 - crvena linija. Grafikoni eksponencijalne funkcije imaju sličan izgled i za ostale vrijednosti baze iz intervala.

Svojstva eksponencijalne funkcije s bazom manjom od jedan.

Okrećemo se slučaju kada je baza eksponencijalne funkcije veća od jedan, tj.

Kao ilustraciju donosimo grafove eksponencijalnih funkcija - plava linija i - crvena linija. Za ostale vrijednosti baze, veće od jedan, grafovi eksponencijalne funkcije će imati sličan izgled.

Svojstva eksponencijalne funkcije s bazom većom od jedan.

Logaritamska funkcija.

Sljedeća osnovna elementarna funkcija je logaritamska funkcija gdje je , . Logaritamska funkcija definirana je samo za pozitivne vrijednosti argumenta, odnosno za .

Graf logaritamske funkcije poprima različit oblik ovisno o vrijednosti baze a.

Promatrajući funkcije kompleksne varijable, Liouville je elementarne funkcije definirao nešto šire. elementarna funkcija g varijabla x- analitička funkcija koja se može prikazati kao algebarska funkcija x i funkcije , i logaritam je ili eksponent neke algebarske funkcije g 1 od x .

Na primjer, grijeh( x) je algebarska funkcija od e jax .

Bez ograničavanja općenitosti razmatranja, možemo pretpostaviti da su funkcije algebarski neovisne, to jest, ako je algebarska jednadžba zadovoljena za sve x, zatim svi koeficijenti polinoma jednaki su nuli.

Diferencijacija elementarnih funkcija

Gdje z 1 "(z) jednako je ili g 1 " / g 1 ili z 1 g 1" ovisno o tome je li logaritam z 1 ili eksponent itd. U praksi je zgodno koristiti tablicu izvedenica.

Integracija elementarnih funkcija

Liouvilleov teorem je osnova za stvaranje algoritama za simboličku integraciju elementarnih funkcija, implementiranih npr.

Izračun ograničenja

Liouvilleova teorija ne proteže se na izračunavanje granica. Ne zna se postoji li algoritam koji na slijed zadan elementarnom formulom daje odgovor, ima li limit ili ne. Na primjer, otvoreno je pitanje da li niz konvergira.

Književnost

J. Liouville. Mémoire sur l'integration d'une classe de fonctions transcendantes// J. Reine Angew. matematika bd. 13, str. 93-118 (prikaz, ostalo). (1835)
J.F. Ritt. Integracija u konačnim terminima. N.-Y., 1949// http://lib.homelinux.org
A. G. Khovanski. Topološka Galoisova teorija: rješivost i nerješivost jednadžbi u konačnom obliku CH. 1. M, 2007. (monografija).

Bilješke

Zaklada Wikimedia. 2010. godine.

Elementarno uzbuđenje
Elementarni egzodus

Pogledajte što je "elementarna funkcija" u drugim rječnicima:

elementarna funkcija- Funkcija koja se, ako se podijeli na manje funkcije, ne može jedinstveno identificirati u hijerarhiji digitalnog prijenosa. Stoga je s gledišta mreže nedjeljiv (ITU T G.806). Telekomunikacijske teme, osnovni koncepti EN funkcija prilagodbeA ... Tehnički prevoditeljski priručnik

funkcija međusobnog rada između mrežnih slojeva- Elementarna funkcija koja osigurava interakciju karakterističnih informacija između dviju razina mreže. (ITU-T G.806). Telekomunikacijske teme, osnovni koncepti EN sloja ... ... Tehnički prevoditeljski priručnik

Kompletan popis osnovnih elementarnih funkcija

Klasa osnovnih elementarnih funkcija uključuje sljedeće:

Konstantna funkcija $y=C$, gdje je $C$ konstanta. Takva funkcija uzima istu vrijednost $C$ za bilo koji $x$.
Funkcija stepena $y=x^(a) $, gdje je eksponent $a$ realan broj.
Eksponencijalna funkcija $y=a^(x) $, gdje je baza $a>0$, $a\ne 1$.
Logaritamska funkcija $y=\log _(a) x$, gdje je baza logaritma $a>0$, $a\ne 1$.
Trigonometrijske funkcije $y=\sin x$, $y=\cos x$, $y=tg\, x$, $y=ctg\, x$, $y=\sec x$, $y=A>\ sek \, x$.
Inverzne trigonometrijske funkcije $y=\arcsin x$, $y=\arccos x$, $y=arctgx$, $y=arcctgx$, $y=arc\sec x$, $y=arc\, \cos ec\ , x$.

Funkcije snage

Razmotrimo ponašanje funkcije potencije $y=x^(a) $ za najjednostavnije slučajeve kada njen eksponent određuje cjelobrojno potenciranje i izvlačenje korijena.

Slučaj 1

Eksponent funkcije $y=x^(a) $ je prirodan broj, tj. $y=x^(n) $, $n\in N$.

Ako je $n=2\cdot k$ paran broj, tada je funkcija $y=x^(2\cdot k) $ paran i neograničeno raste kao da argument $\left(x\to +\infty \ right )$, kao i za njegovo neograničeno smanjenje $\left(x\to -\infty \right)$. Ovo ponašanje funkcije može se opisati izrazima $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) x^(2\cdot k) =+\infty $ i $\mathop(\lim )\ limits_(x\to -\infty ) x^(2\cdot k) =+\infty $, što znači da u oba slučaja funkcija raste bez ograničenja ($\lim $ je granica). Primjer: graf funkcije $y=x^(2) $.

Ako je $n=2\cdot k-1$ neparan broj, tada je funkcija $y=x^(2\cdot k-1) $ neparna, neograničeno raste kako argument raste neograničeno, a opada neograničeno kako argument smanjuje unedogled. Ovo ponašanje funkcije može se opisati izrazima $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) x^(2\cdot k-1) =+\infty $ i $\mathop(\lim )\limits_(x \to -\infty ) x^(2\cdot k-1) =-\infty $. Primjer: graf funkcije $y=x^(3) $.

Slučaj 2

Eksponent funkcije $y=x^(a) $ je negativan cijeli broj, tj. $y=\frac(1)(x^(n) ) $, $n\in N$.

Ako je $n=2\cdot k$ paran broj, tada je funkcija $y=\frac(1)(x^(2\cdot k) ) $ paran i asimptotski (postupno) se približava nuli kao argument, i s njegovim neograničenim smanjenjem. Ovo ponašanje funkcije može se opisati jednim izrazom $\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(1)(x^(2\cdot k) ) =0$, što znači da s neograničenim povećanjem argumenta u apsolutnoj vrijednosti limit funkcije je jednak nuli. Štoviše, kako argument teži nuli i slijeva $\lijevo(x\to 0-0\desno)$ i zdesna $\lijevo(x\to 0+0\desno)$, funkcija raste bez ograničenja . Prema tome, $\mathop(\lim )\limits_(x\to 0-0) \frac(1)(x^(2\cdot k) ) =+\infty $ i $\mathop(\lim )\limits_ ( x\to 0+0) \frac(1)(x^(2\cdot k) ) =+\infty $, što znači da je funkcija $y=\frac(1)(x^(2\cdot k ) ) $ u oba slučaja ima beskonačnu granicu jednaku $+\infty $. Primjer: graf funkcije $y=\frac(1)(x^(2) ) $.

Ako je $n=2\cdot k-1$ neparan broj, tada je funkcija $y=\frac(1)(x^(2\cdot k-1) ) $ neparna i asimptotski se približava nuli kao da raste argument, i s njegovim neograničenim smanjenjem. Ovo ponašanje funkcije može se opisati jednim izrazom $\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(1)(x^(2\cdot k-1) ) =0$. Osim toga, kako se argument približava nuli slijeva, funkcija neograničeno opada, a kako se argument približava nuli s desne strane, funkcija raste neograničeno, to jest $\mathop(\lim )\limits_(x\to 0- 0) \frac(1)(x ^(2\cdot k-1) ) =-\infty $ i $\mathop(\lim )\limits_(x\to 0+0) \frac(1)(x^ (2\cdot k-1) ) =+\infty$. Primjer: graf funkcije $y=\frac(1)(x) $.

Slučaj 3

Eksponent funkcije $y=x^(a) $ recipročna je vrijednost prirodnog broja, tj. $y=\sqrt[(n)](x) $, $n\in N$.

Ako je $n=2\cdot k$ paran broj, tada je funkcija $y=\pm \sqrt[(2\cdot k)](x) $ dvovrijedna i definirana je samo za $x\ge 0 $. Kada argument raste bez ograničenja, vrijednost funkcije $y=+\sqrt[(2\cdot k)](x) $ raste bez ograničenja, a vrijednost funkcije $y=-\sqrt[(2\ cdot k)](x) $ opada bez ograničenja, tj. $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty) \lijevo(+\sqrt[(2\cdot k)](x) \desno) =+\infty $ i $\mathop( \lim )\limits_(x\to +\infty ) \left(-\sqrt[(2\cdot k)](x) \right)=-\infty $. Primjer: graf funkcije $y=\pm \sqrt(x) $.

Ako je $n=2\cdot k-1$ neparan broj, tada je funkcija $y=\sqrt[(2\cdot k-1)](x) $ neparna, raste neograničeno dok argument raste neograničeno, i opada neograničeno kada se neograničeno smanjuje, tj. $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty) \sqrt[(2\cdot k-1)](x) =+\infty $ i $\mathop( \ lim )\limits_(x\to -\infty ) \sqrt[(2\cdot k-1)](x)=-\infty $. Primjer: graf funkcije $y=\sqrt[(3)](x) $.

Eksponencijalne i logaritamske funkcije

Eksponencijalne $y=a^(x) $ i logaritamske $y=\log _(a) x$ funkcije međusobno su inverzne. Njihovi su grafikoni simetrični u odnosu na zajedničku simetralu prvog i trećeg koordinatnog kuta.

Kako se argument $\left(x\to +\infty \right)$ neograničeno povećava, eksponencijalna funkcija ili $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) a^(x) =+\infty $ , ako $a>1$, ili se asimptotski približava nuli $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) a^(x) =0$, ako $a1$, ili $\mathop raste neograničeno (\lim )\limits_(x\to -\infty ) a^(x) =+\infty $ ako je $a

Karakteristična vrijednost za funkciju $y=a^(x) $ je vrijednost $x=0$. Štoviše, sve eksponencijalne funkcije, bez obzira na $a$, nužno sijeku $Oy$ os u $y=1$. Primjeri: grafovi funkcija $y=2^(x) $ i $y = \lijevo (\frac(1)(2) \desno)^(x) $.

Logaritamska funkcija $y=\log _(a) x$ definirana je samo za $x > 0$.

Kako argument $\left(x\to +\infty \right)$ neograničeno raste, logaritamska funkcija ili raste neograničeno $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) \log _(a) x =+\ infty $ ako $a>1$, ili $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) \log _(a) x=-\infty $ ako je $a1$, ili neograničeno $ \mathop(\lim )\limits_(x\to 0+0) \log _(a) x=+\infty $ raste ako $a

Karakteristična vrijednost za funkciju $y=\log _(a) x$ je vrijednost $y=0$. Štoviše, sve logaritamske funkcije, bez obzira na $a$, nužno sijeku $Ox$ os u $x=1$. Primjeri: grafovi funkcija $y=\log _(2) x$ i $y=\log _(1/2) x$.

Neke logaritamske funkcije imaju posebne oznake. Konkretno, ako je baza logaritma $a=10$, tada se takav logaritam naziva decimalni logaritam, a odgovarajuća funkcija se piše kao $y=\lg x$. A ako se kao baza logaritma odabere iracionalni broj $e=2,7182818\ldots $, tada se takav logaritam naziva prirodnim, a odgovarajuća funkcija se piše kao $y=\ln x$. Njen inverz je funkcija $y=e^(x) $, koja se naziva eksponent.