Les mots croisés sont une valeur caractérisée uniquement par une valeur numérique. Quantités entièrement déterminées par leur valeur numérique

LES VALEURS ALÉATOIRES ET LES LOIS DE LEUR DISTRIBUTION.

Aléatoire appelée une quantité qui prend des valeurs en fonction de la combinaison de circonstances aléatoires. Distinguer discret et aléatoire continu quantités.

Discret Une quantité est appelée si elle prend un ensemble dénombrable de valeurs. ( Exemple: le nombre de patients au cabinet médical, le nombre de lettres par page, le nombre de molécules dans un volume donné).

continu appelée une quantité qui peut prendre des valeurs dans un certain intervalle. ( Exemple: température de l'air, poids corporel, taille humaine, etc.)

droit de la distribution Une variable aléatoire est un ensemble de valeurs possibles de cette quantité et, correspondant à ces valeurs, des probabilités (ou fréquences d'occurrence).

EXEMPLE:

Caractéristiques numériques des variables aléatoires.

Dans de nombreux cas, avec la distribution d'une variable aléatoire ou à sa place, des informations sur ces quantités peuvent être fournies par des paramètres numériques appelés caractéristiques numériques d'une variable aléatoire . Les plus couramment utilisés d'entre eux:

1 .Valeur attendue - (valeur moyenne) d'une variable aléatoire est la somme des produits de toutes ses valeurs possibles et des probabilités de ces valeurs :

2 .Dispersion Variable aléatoire:

3 .Écart-type :

TROIS SIGNES - si une variable aléatoire est distribuée selon la loi normale, alors l'écart de cette valeur à la valeur moyenne en valeur absolue ne dépasse pas trois fois l'écart type

Loi de Gauss - loi de distribution normale

Il y a souvent des valeurs réparties sur loi normale (loi de Gauss). caractéristique principale : c'est la loi limite à laquelle se rapprochent les autres lois de distribution.

Une variable aléatoire est normalement distribuée si sa densité de probabilité ressemble à:

M(X) - espérance mathématique d'une variable aléatoire ;

 - écart type.

Densité de probabilité (fonction de distribution) montre comment la probabilité liée à l'intervalle change dx variable aléatoire, en fonction de la valeur de la variable elle-même :

Concepts de base de la statistique mathématique

Statistiques mathématiques - une branche des mathématiques appliquées, directement adjacente à la théorie des probabilités. La principale différence entre les statistiques mathématiques et la théorie des probabilités est que les statistiques mathématiques ne considèrent pas les actions sur les lois de distribution et les caractéristiques numériques des variables aléatoires, mais des méthodes approximatives pour trouver ces lois et caractéristiques numériques basées sur des résultats expérimentaux.

Concepts de base les statistiques mathématiques sont :

Population générale;

goûter;

série de variantes ;

mode;

médian;

centile,

polygone de fréquence,

diagramme à bandes.

Population - une large population statistique à partir de laquelle certains des objets de recherche sont sélectionnés

(Exemple: toute la population de la région, les étudiants universitaires de la ville, etc.)

Échantillon (échantillon de population) - un ensemble d'objets sélectionnés dans la population générale.

Série de variantes - distribution statistique, constituée de variants (valeurs d'une variable aléatoire) et de leurs fréquences correspondantes.

Exemple:

X - la valeur d'une variable aléatoire (masse de filles âgées de 10 ans) ;

m - fréquence d'apparition.

Mode – la valeur de la variable aléatoire, qui correspond à la fréquence d'occurrence la plus élevée. (Dans l'exemple ci-dessus, 24 kg est la valeur la plus courante pour la mode : m = 20).

Médian - la valeur d'une variable aléatoire qui divise la distribution en deux : la moitié des valeurs sont situées à droite de la médiane, l'autre moitié (pas plus) - à gauche.

Exemple:

1, 1, 1, 1, 1. 1, 2, 2, 2, 3 , 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7 , 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8 , 8, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10

Dans l'exemple, on observe 40 valeurs d'une variable aléatoire. Toutes les valeurs sont classées par ordre croissant, en tenant compte de la fréquence de leur apparition. On peut voir que 20 (la moitié) des 40 valeurs sont situées à droite de la valeur sélectionnée 7. Donc 7 est la médiane.

Pour caractériser la dispersion, on retrouve les valeurs qui n'étaient pas supérieures à 25 et 75% des résultats de mesure. Ces valeurs sont appelées le 25 et le 75 centiles . Si la médiane coupe la distribution en deux, les 25e et 75e centiles en sont coupés d'un quart. (La médiane elle-même, soit dit en passant, peut être considérée comme le 50e centile.) Comme vous pouvez le voir dans l'exemple, les 25e et 75e centiles sont respectivement 3 et 8.

utilisation discret (point) distribution statistique et continu (intervalle) distribution statistique.

Pour plus de clarté, les distributions statistiques sont représentées graphiquement sous la forme polygone de fréquence ou - histogrammes .

Polygone de fréquence - une ligne brisée dont les segments relient des points avec des coordonnées ( X 1 , m 1 ), (X 2 , m 2 ), ..., ou pour polygone de fréquences relatives - avec les coordonnées ( X 1 ,R * 1 ), (X 2 ,R * 2 ), ...(Fig. 1).

mm je / nf(x)

X X

Image 1 Image 2

Histogramme de fréquence - un ensemble de rectangles adjacents construits sur une droite (Fig. 2), les bases des rectangles sont identiques et égales dx , et les hauteurs sont égales au rapport de la fréquence à dx , ou R * à dx (densité de probabilité).

Exemple:

71, Caractéristiques numériques des variables aléatoires sont largement utilisés en pratique pour le calcul des indicateurs de fiabilité. Dans de nombreuses questions de pratique, il n'est pas nécessaire de caractériser complètement et exhaustivement une variable aléatoire. Il suffit souvent d'indiquer uniquement les paramètres numériques qui caractérisent dans une certaine mesure les caractéristiques essentielles de la distribution d'une variable aléatoire, par exemple : moyenne , près de laquelle sont regroupées les valeurs possibles de la variable aléatoire ; nombre caractérisant la dispersion d'une variable aléatoire par rapport à la valeur moyenne, etc. Les paramètres numériques qui permettent d'exprimer sous une forme compressée les caractéristiques les plus significatives d'une variable aléatoire sont appelés caractéristiques numériques d'une variable aléatoire.

un) b)

Riz. 11 Définition de l'attente

Les caractéristiques numériques des variables aléatoires utilisées dans la théorie de la fiabilité sont données dans le tableau. une.

72, attente(valeur moyenne) d'une variable aléatoire continue dont les valeurs possibles appartiennent à l'intervalle , est une intégrale définie (Fig., 11, b)

. (26)

L'espérance mathématique peut être exprimée en termes de complément de la fonction intégrale. Pour ce faire, nous substituons (11) dans (26) et intégrons par parties l'expression résultante

, (27)

car et , alors

. (28)

Pour les variables aléatoires non négatives dont les valeurs possibles appartiennent à l'intervalle , la formule (28) prend la forme

. (29)

c'est-à-dire l'espérance mathématique d'une variable aléatoire non négative dont les valeurs possibles appartiennent à l'intervalle , est numériquement égal à l'aire sous le graphique du complément de la fonction intégrale (Fig., 11, un).

73, Temps moyen jusqu'au premier échec selon les informations statistiques est déterminé par la formule

, (30)

où est le temps du premier échec je-ème objet ; N- nombre d'objets testés.

De même, la ressource moyenne, la durée de vie moyenne, le temps de récupération moyen, la durée de conservation moyenne sont déterminés.

74, Dispersion d'une variable aléatoire autour de sa valeur attendueévalué à l'aide dispersion de l'écart type(RMS) et coefficient de variation.

La dispersion d'une variable aléatoire continue X est l'espérance mathématique de l'écart au carré de la variable aléatoire par rapport à son espérance mathématique et est calculée par la formule

. (31)

Dispersion a la dimension du carré d'une variable aléatoire, ce qui n'est pas toujours pratique.

75, écart type la variable aléatoire est la racine carrée de la variance et a la dimension d'une variable aléatoire

. (32)

76, coefficient de variation est un indicateur relatif de la dispersion d'une variable aléatoire et est défini comme le rapport de l'écart type à l'espérance mathématique

. (33)

77, Gamma - valeur en pourcentage d'une variable aléatoire- la valeur de la variable aléatoire correspondant à la probabilité donnée que la variable aléatoire prend une valeur supérieure à

. (34)

78, Gamma - la valeur en pourcentage d'une variable aléatoire peut être déterminée par la fonction intégrale, son complément et sa fonction différentielle (Fig. 12). La valeur en pourcentage gamma d'une variable aléatoire est le quantile de probabilité (Fig. 12, un)

. (35)

La théorie de la fiabilité utilise gamma valeur en pourcentage de la ressource, durée de vie et durée de conservation(Tableau 1). Le pourcentage gamma est appelé ressource, durée de vie, durée de conservation, qui a (et dépasse) un pourcentage d'objets d'un type donné.

un) b)

Fig.12 Détermination de la valeur en pourcentage gamma d'une variable aléatoire

Ressource de pourcentage gamma caractérise durabilité au niveau sélectionné probabilité de non-destruction. La ressource gamma-pourcentage est attribuée en tenant compte de la responsabilité des objets. Par exemple, pour les roulements, on utilise le plus souvent une ressource à 90%, pour les roulements des objets les plus critiques, on choisit une ressource à 95% et plus, la rapprochant de 100% si la panne met la vie en danger.

79, Médiane d'une variable aléatoire est sa valeur en pourcentage gamma à . Pour la médiane il est également probable que la variable aléatoire sera J plus ou moins qu'elle, c'est-à-dire .

Géométriquement, la médiane est l'abscisse du point d'intersection de la fonction de distribution intégrale et de son complément (Fig. 12, b). La médiane peut être interprétée comme l'abscisse du point auquel l'ordonnée de la fonction différentielle coupe en deux la zone délimitée par la courbe de distribution (Fig., 12, dans).

La médiane d'une variable aléatoire est utilisée dans la théorie de la fiabilité comme caractéristique numérique de la ressource, de la durée de vie, de la durée de conservation (tableau 1).

Il existe une relation fonctionnelle entre les indicateurs de fiabilité des objets. Connaissance d'une des fonctions
permet de déterminer d'autres indicateurs de fiabilité. Un résumé des relations entre les indicateurs de fiabilité est donné dans le tableau. 2.

Tableau 2. Relation fonctionnelle entre les indicateurs de fiabilité

Lors de la résolution de nombreux problèmes pratiques, il n'est pas toujours nécessaire de caractériser complètement une variable aléatoire, c'est-à-dire de déterminer les lois de distribution. De plus, la construction d'une fonction ou d'une série de distributions pour une variable aléatoire discrète et de densité - pour une variable aléatoire continue est lourde et inutile.

Parfois, il suffit d'indiquer des paramètres numériques individuels qui caractérisent partiellement les caractéristiques de la distribution. Il faut connaître une valeur moyenne de chaque variable aléatoire, autour de laquelle se groupe sa valeur possible, ou le degré de dispersion de ces valeurs par rapport à la moyenne, etc.

Les caractéristiques des éléments les plus significatifs de la distribution sont appelées caractéristiques numériques Variable aléatoire. Avec leur aide, la solution de nombreux problèmes probabilistes est facilitée sans en déterminer les lois de distribution.

La caractéristique la plus importante de la position d'une variable aléatoire sur l'axe réel est valeur attendue M[X]= un, qui est parfois appelée la valeur moyenne de la variable aléatoire. Pour variable aléatoire discrète X avec valeurs possibles X 1 , X 2 , … , xn et probabilités p 1 , p 2 ,… , p n il est déterminé par la formule

Sachant que =1, on peut écrire

De cette façon, espérance mathématique Une variable aléatoire discrète est la somme des produits de ses valeurs possibles et de leurs probabilités. La moyenne arithmétique des valeurs observées d'une variable aléatoire avec un grand nombre d'expériences se rapproche de son espérance mathématique.

Pour variable aléatoire continue X l'espérance mathématique n'est pas déterminée par la somme, mais intégral

où F(X) - densité de distribution de la quantité X.

L'espérance mathématique n'existe pas pour toutes les variables aléatoires. Pour certains d'entre eux, la somme, ou l'intégrale, diverge, et il n'y a donc pas d'attente. Dans ces cas, pour des raisons de précision, il convient de limiter la plage des changements possibles de la variable aléatoire X, pour laquelle la somme, ou l'intégrale, convergera.

En pratique, des caractéristiques telles que le mode et la médiane de la position d'une variable aléatoire sont également utilisées.

Mode aléatoiresa valeur la plus probable est appelée. Dans le cas général, le mode et l'espérance mathématique ne coïncident pas.

Médiane d'une variable aléatoireX est sa valeur, par rapport à laquelle il est également susceptible d'obtenir une valeur plus grande ou plus petite d'une variable aléatoire, c'est-à-dire qu'il s'agit de l'abscisse du point auquel la zone délimitée par la courbe de distribution est divisée en deux. Pour une distribution symétrique, les trois caractéristiques sont les mêmes.

En plus de l'espérance mathématique, du mode et de la médiane, d'autres caractéristiques sont également utilisées dans la théorie des probabilités, chacune décrivant une certaine propriété de la distribution. Par exemple, les caractéristiques numériques qui caractérisent la dispersion d'une variable aléatoire, c'est-à-dire montrant à quel point ses valeurs possibles sont regroupées autour de l'espérance mathématique, sont la variance et l'écart type. Ils complètent de manière significative la variable aléatoire, car en pratique, il existe souvent des variables aléatoires avec des attentes mathématiques égales, mais des distributions différentes. Lors de la détermination des caractéristiques de diffusion, la différence entre la variable aléatoire X et son espérance mathématique, c'est-à-dire

où un = M[X] - valeur attendue.

Cette différence est appelée variable aléatoire centrée, valeur correspondante X, et noté :

Variance d'une variable aléatoire est l'espérance mathématique du carré de l'écart d'une valeur par rapport à son espérance mathématique, c'est-à-dire :

RÉ[ X]=M[( X-a) 2 ], ou

RÉ[ X]=M[ 2 ].

La variance d'une variable aléatoire est une caractéristique pratique de dispersion et de dispersion des valeurs d'une variable aléatoire autour de son espérance mathématique. Cependant, il est dépourvu de visibilité, puisqu'il a la dimension du carré d'une variable aléatoire.

Pour une caractérisation visuelle de la diffusion, il est plus commode d'utiliser une grandeur dont la dimension coïncide avec celle d'une variable aléatoire. Cette valeur est écart-type variable aléatoire qui est la racine carrée positive de sa variance.

Espérance mathématique, mode, médiane, variance, écart type - les caractéristiques numériques les plus couramment utilisées des variables aléatoires. Lors de la résolution de problèmes pratiques, lorsqu'il est impossible de déterminer la loi de distribution, une description approximative d'une variable aléatoire est ses caractéristiques numériques, exprimant une propriété de la distribution.

Outre les principales caractéristiques de la distribution du centre (espérance) et de la dispersion (dispersion), il est souvent nécessaire de décrire d'autres caractéristiques importantes de la distribution - symétrie et acuité, qui peut être représenté à l'aide des moments de distribution.

La distribution d'une variable aléatoire est complètement donnée si tous ses moments sont connus. Cependant, de nombreuses distributions peuvent être entièrement décrites en utilisant les quatre premiers moments, qui ne sont pas seulement des paramètres décrivant les distributions, mais sont également importants dans la sélection des distributions empiriques, c'est-à-dire en calculant les valeurs numériques des moments pour une statistique donnée. série et à l'aide de graphiques spéciaux, on peut déterminer la loi de distribution.

En théorie des probabilités, on distingue deux types de moments : initial et central.

Le moment initial du ke ordre Variable aléatoire J s'appelle l'espérance mathématique de la quantité X k , c'est à dire.

Par conséquent, pour une variable aléatoire discrète, elle est exprimée par la somme

et pour continue - intégrale

Parmi les moments initiaux d'une variable aléatoire, le moment du premier ordre, qui est l'espérance mathématique, revêt une importance particulière. Les moments initiaux d'ordre supérieur sont principalement utilisés pour calculer les moments centraux.

Le moment central du ke ordre variable aléatoire est appelée l'espérance mathématique de la variable ( X-M [X])k

où un = M[X].

Pour une variable aléatoire discrète, elle est exprimée par la somme

un pour continu - intégral

Parmi les moments centraux d'une variable aléatoire, le moment central du second ordre, qui représente la variance de la variable aléatoire.

Le moment central du premier ordre est toujours nul.

Troisième moment initial caractérise l'asymétrie (asymétrie) de la distribution et, selon les résultats des observations pour les variables aléatoires discrètes et continues, est déterminée par les expressions correspondantes :

Puisqu'il a la dimension d'un cube d'une variable aléatoire, afin d'obtenir une caractéristique sans dimension, m 3 divisé par l'écart type à la puissance trois

La valeur résultante est appelée coefficient d'asymétrie et, selon le signe, caractérise le positif ( Comme> 0) ou négatif ( Comme< 0) l'asymétrie de la distribution (Fig. 2.3).

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Valeur attendue. espérance mathématique variable aléatoire discrète X, qui prend un nombre fini de valeurs Xje avec des probabilités Rje, s'appelle la somme :

espérance mathématique variable aléatoire continue X s'appelle l'intégrale du produit de ses valeurs X sur la densité de distribution de probabilité F(X):

(6b)

Intégrale incorrecte (6 b) est supposée absolument convergente (sinon on dit que l'espérance M(X) n'existe pas). L'espérance mathématique caractérise moyenne Variable aléatoire X. Sa dimension coïncide avec la dimension d'une variable aléatoire.

Propriétés de l'espérance mathématique :

Dispersion. dispersion Variable aléatoire X le numéro s'appelle :

La dispersion est caractéristique de diffusion valeurs d'une variable aléatoire X par rapport à sa valeur moyenne M(X). La dimension de la variance est égale à la dimension de la variable aléatoire au carré. Sur la base des définitions de la variance (8) et de l'espérance mathématique (5) pour une variable aléatoire discrète et (6) pour une variable aléatoire continue, nous obtenons des expressions similaires pour la variance :

(9)

Ici m = M(X).

Propriétés de dispersion :

Écart-type:

(11)

Étant donné que la dimension de l'écart type est la même que celle d'une variable aléatoire, elle est plus souvent que la variance utilisée comme mesure de dispersion.

instants de diffusion. Les concepts d'espérance mathématique et de variance sont des cas particuliers d'un concept plus général pour les caractéristiques numériques des variables aléatoires - instants de distribution. Les moments de distribution d'une variable aléatoire sont introduits en tant qu'espérances mathématiques de certaines fonctions simples d'une variable aléatoire. Donc, le moment de la commande k par rapport au point X 0 est appelé attente M(X–X 0 )k. Moments relatifs à l'origine X= 0 sont appelés instants initiaux et sont marqués :

(12)

Le moment initial du premier ordre est le centre de distribution de la variable aléatoire considérée :

(13)

Moments relatifs au centre de distribution X= m appelé moments centraux et sont marqués :

(14)

De (7) il résulte que le moment central du premier ordre est toujours égal à zéro :

Les moments centraux ne dépendent pas de l'origine des valeurs de la variable aléatoire, car avec un décalage d'une valeur constante DE son centre de distribution est décalé de la même valeur DE, et l'écart par rapport au centre ne change pas : X – m = (X – DE) – (m – DE).
Maintenant, il est évident que dispersion- c'est moment central du second ordre:

Asymétrie. Moment central du troisième ordre :

(17)

sert à évaluer asymétrie de distribution. Si la distribution est symétrique par rapport au point X= m, alors le moment central du troisième ordre sera égal à zéro (ainsi que tous les moments centraux des ordres impairs). Par conséquent, si le moment central du troisième ordre est différent de zéro, la distribution ne peut pas être symétrique. L'ampleur de l'asymétrie est estimée à l'aide d'un modèle sans dimension coefficient d'asymétrie:

(18)

Le signe du coefficient d'asymétrie (18) indique une asymétrie droite ou gauche (Fig. 2).

Riz. 2. Types d'asymétrie des distributions.

Excès. Moment central du quatrième ordre :

(19)

sert à évaluer ce que l'on appelle aplatissement, qui détermine le degré de pente (pointuité) de la courbe de distribution près du centre de distribution par rapport à la courbe de distribution normale. Puisque pour une distribution normale, la quantité prise comme kurtosis est :

(20)

Sur la fig. La figure 3 montre des exemples de courbes de distribution avec différentes valeurs d'aplatissement. Pour une distribution normale E= 0. Les courbes qui sont plus pointues que la normale ont un aplatissement positif et les courbes avec des pics plus plats ont un aplatissement négatif.

Riz. 3. Courbes de distribution avec différents degrés de pente (aplatissement).

Les moments d'ordre supérieur dans les applications d'ingénierie des statistiques mathématiques ne sont généralement pas utilisés.

Mode discret variable aléatoire est sa valeur la plus probable. Mode continu une variable aléatoire est sa valeur à laquelle la densité de probabilité est maximale (Fig. 2). Si la courbe de distribution a un maximum, alors la distribution est appelée unimodal. Si la courbe de distribution a plus d'un maximum, alors la distribution est appelée polymodal. Parfois, il existe des distributions dont les courbes n'ont pas un maximum, mais un minimum. De telles distributions sont appelées antimodal. Dans le cas général, le mode et l'espérance mathématique d'une variable aléatoire ne coïncident pas. Dans un cas particulier, pour modal, c'est à dire. ayant un mode, une distribution symétrique, et pourvu qu'il y ait une espérance mathématique, celle-ci coïncide avec le mode et le centre de symétrie de la distribution.

Médian Variable aléatoire X est sa signification Moi, pour lesquels l'égalité est vraie : c'est-à-dire il est également probable que la variable aléatoire X sera plus ou moins Moi. Géométriquement médian est l'abscisse du point auquel l'aire sous la courbe de distribution est divisée en deux (Fig. 2). Dans le cas d'une distribution modale symétrique, la médiane, le mode et la moyenne sont les mêmes.