Moguće kombinacije. Kombinacije s ponavljanjem elemenata

Broj kombinacija

kombinacija iz n Po k naziva skup k elementi odabrani iz podataka n elementi. Skupovi koji se razlikuju samo po redoslijedu elemenata (ali ne i po sastavu) smatraju se istima; po tome se kombinacije razlikuju od plasmana.

Eksplicitne formule

Broj kombinacija od n Po k jednak je binomnom koeficijentu

Za fiksnu vrijednost n generirajuća funkcija brojeva kombinacija s ponavljanjima iz n Po k je:

Dvodimenzionalna generirajuća funkcija broja kombinacija s ponavljanjima je:

Linkovi

R. Stanley Enumerativna kombinatorika. - M.: Mir, 1990.
Izračunavanje broja kombinacija online

Zaklada Wikimedia. 2010. godine.

Pogledajte što je "Broj kombinacija" u drugim rječnicima:

70 sedamdeset 67 68 69 70 71 72 73 40 50 60 70 80 90 100 Faktorizacija: 2×5×7 Rimski zapis: LXX Binarno: 100 0110 ... Wikipedia

Svjetlosni broj, uvjetni broj koji jedinstveno izražava vanjsko. uvjeti tijekom fotografiranja (obično svjetlina subjekta i osjetljivost korištenog fotomaterijala). Bilo koja vrijednost E. h. može se odabrati nekoliko. kombinacije f-brojeva ... ... Veliki enciklopedijski politehnički rječnik

Oblik broja koji razlikuje dva predmeta u odnosu na jedan objekt iu odnosu na mnoštvo objekata. Ovaj oblik ne postoji u suvremenom ruskom jeziku, ali su sačuvani ostaci njegovog utjecaja. Dakle, kombinacije dviju tablica (usp. množina ... ... Rječnik lingvističkih pojmova

Kombinatorna matematika, kombinatorika, grana matematike posvećena rješavanju problema izbora i rasporeda elemenata određenog, obično konačnog, skupa u skladu sa zadanim pravilima. Svako takvo pravilo određuje način konstruiranja ... ... Matematička enciklopedija

U kombinatorici, kombinacija by je skup elemenata odabranih iz danog skupa koji sadrži različite elemente. Skupovi koji se razlikuju samo po redoslijedu elemenata (ali ne i po sastavu) smatraju se istima, te kombinacije ... ... Wikipedia

Bavi se proučavanjem događaja čija pojava nije pouzdano poznata. Omogućuje vam da procijenite razumnost očekivanja pojave nekih događaja u usporedbi s drugima, iako je pripisivanje numeričkih vrijednosti vjerojatnostima događaja često suvišno ... ... Collier Encyclopedia

1) isto što i matematička kombinatorna analiza. 2) Dio elementarne matematike povezan s proučavanjem broja kombinacija podložnih određenim uvjetima koje se mogu sastaviti od danog konačnog skupa objekata ... ... Velika sovjetska enciklopedija

- (grč. paradoxos neočekivano, čudno) u širem smislu: izjava koja je u oštrom raskoraku s općeprihvaćenim, ustaljenim mišljenjem, poricanje onoga što se čini "nedvojbeno točnim"; u užem smislu dvije suprotne tvrdnje, za ... ... Filozofska enciklopedija

- (ili načelo uključivanja isključenja) kombinatorna formula koja vam omogućuje određivanje snage unije konačnog broja konačnih skupova, koji se u općem slučaju mogu međusobno presijecati ... Wikipedia

Matematička teorija koja se bavi određivanjem broja različitih načina distribucije danih objekata u poznatom redoslijedu; je od posebne važnosti u teoriji jednadžbi i u teoriji vjerojatnosti. Najjednostavniji zadaci ove vrste su ... ... Enciklopedijski rječnik F.A. Brockhaus i I.A. Efron

knjige

engleski udžbenik. U dva dijela. 2. dio, N. A. Bonk, G. A. Kotiy, N. A. Lukyanova. Knjiga je drugi dio The English Textbook. Sastoji se od 20 lekcija, gramatičkih referentnih lekcija i referentnih gramatičkih tablica. Opseg novog leksičkog...

Razmotrite općenito problem brojanja uzoraka iz danog skupa. Neka bude neki set N, koja se sastoji od n elementi. Bilo koji podskup od m elementi se mogu razmatrati ne uzimajući u obzir njihov redoslijed, a s njim, tj. kada mijenjate redoslijed, idite na drugi m- uzorkovanje.

Formuliramo sljedeće definicije:

Plasmani bez ponavljanja

Postavljanjem bez ponavljanjan elementi pom Nkoji sadržimraznih elemenata.

Iz definicije proizlazi da se dva rasporeda međusobno razlikuju, kako po elementima tako i po njihovom redoslijedu, čak i ako su elementi isti.

Teorem 3. Broj postavljanja bez ponavljanja jednak je umnošku m faktora, od kojih je najveći broj n . Zapiši:

Permutacije bez ponavljanja

Permutacije izn elementi se nazivaju različiti poredci skupaN.

Iz ove definicije slijedi da se dvije permutacije razlikuju samo po redoslijedu elemenata i mogu se smatrati posebnim slučajem rasporeda.

Teorem 4. Broj različitih permutacija bez ponavljanja izračunava se formulom

Kombinacije bez ponavljanja

Kombinacija bez ponavljanjan elementi pom poziva se svaki neuređeni podskup skupaNkoji sadržim raznih elemenata.

Iz definicije proizlazi da se dvije kombinacije razlikuju samo u elementima, redoslijed nije bitan.

Teorem 5. Broj kombinacija bez ponavljanja izračunava se pomoću jedne od sljedećih formula:

Primjer 1. U sobi ima 5 stolica. Na koliko načina možete postaviti

a) 7 osoba; b) 5 osoba; c) 3 osobe?

Riješenje: a) Prije svega, trebate odabrati 5 ljudi od 7 koji će sjediti na stolicama. Može se
put. Sa svakim izborom određene petice, može se proizvesti
mjestimične permutacije. Prema teoremu množenja, željeni broj metoda slijetanja je jednak.

Komentar: Problem se može riješiti koristeći samo teorem o produktu, argumentirajući na sljedeći način: postoji 7 opcija za slijetanje na 1. stolicu, 6 opcija na 2. stolicu, 5 na 3., 4 na 4. i 5. -3. Tada je broj načina da se 7 ljudi smjesti na 5 stolica jednak . Rješenja su dosljedna na oba načina, jer

b) Rješenje je očito -

V) - broj izbora zauzetih stolica.

- broj postavljanja tri osobe na tri odabrane stolice.

Ukupan broj izbora je .

Nije teško provjeriti formule
;

;

Broj svih podskupova skupa koji se sastoji od n elementi.

Plasmani s ponavljanjem

Plasman s ponavljanjem odn elementi pom je bilo koji uređeni podskup skupaN, koja se sastoji odm elemenata tako da bilo koji element može biti uključen u ovaj podskup od 1 domputa, ili nikako.

Označen je broj plasmana s ponavljanjem i izračunava se prema formuli koja je posljedica teorema množenja:

Primjer 2. Neka je dan skup od tri slova N = (a, b, c). Nazovimo riječ bilo koji skup slova uključen u ovaj skup. Nađimo broj riječi duljine 2 koje se mogu sastaviti od ovih slova:
.

Komentar: Očito, aranžmani s ponavljanjem također mogu doći u obzir
.

Primjer 3. Traži se od slova (a, b) sastaviti sve moguće riječi duljine 3. Na koliko se načina to može učiniti?

Odgovor:

Kombinatorika je grana matematike koja proučava pitanja o tome koliko se različitih kombinacija, pod određenim uvjetima, može napraviti od danih objekata. Osnove kombinatorike vrlo su važne za procjenu vjerojatnosti slučajnih događaja, jer upravo oni omogućuju izračunavanje temeljno mogućeg broja različitih scenarija razvoja događaja.

Osnovna kombinatorička formula

Neka postoji k grupa elemenata, a i-ta grupa se sastoji od n i elemenata. Odaberimo po jedan element iz svake skupine. Tada je ukupan broj N načina na koje se takav izbor može napraviti određen relacijom N=n 1 *n 2 *n 3 *...*n k .

Primjer 1 Objasnimo ovo pravilo na jednostavnom primjeru. Neka postoje dvije grupe elemenata, prva grupa se sastoji od n 1 elemenata, a druga od n 2 elemenata. Koliko se različitih parova elemenata može napraviti od te dvije skupine tako da par sadrži po jedan element iz svake skupine? Pretpostavimo da smo uzeli prvi element iz prve skupine i, ne mijenjajući ga, prošli kroz sve moguće parove, mijenjajući samo elemente iz druge skupine. Za ovaj element postoje n 2 takva para. Zatim uzmemo drugi element iz prve skupine i također napravimo sve moguće parove za njega. Također će biti n 2 takva para. Budući da u prvoj grupi ima samo n 1 elemenata, bit će n 1 *n 2 mogućih opcija.

Primjer 2 Koliko se troznamenkastih parnih brojeva može sastaviti od znamenki 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ako se znamenke mogu ponavljati?
Riješenje: n 1 \u003d 6 (budući da možete uzeti bilo koju znamenku od 1, 2, 3, 4, 5, 6 kao prvu znamenku), n 2 \u003d 7 (budući da možete uzeti bilo koju znamenku od 0 kao drugu znamenku), 1 , 2, 3, 4, 5, 6), n 3 \u003d 4 (jer kao treću znamenku možete uzeti bilo koju znamenku od 0, 2, 4, 6).
Dakle, N=n 1 *n 2 *n 3 =6*7*4=168.

U slučaju kada se sve grupe sastoje od istog broja elemenata, tj. n 1 =n 2 =...n k =n možemo pretpostaviti da je svaki izbor napravljen iz iste grupe, a element se vraća u grupu nakon izbora. Tada je broj svih načina izbora jednak n k . Ovakav način biranja u kombinatorici naziva se vratiti uzorke.

Primjer 3 Koliko se četveroznamenkastih brojeva može sastaviti od brojeva 1, 5, 6, 7, 8?
Riješenje. Postoji pet mogućnosti za svaku znamenku četveroznamenkastog broja, pa je N=5*5*5*5=5 4 =625.

Promotrimo skup koji se sastoji od n elemenata. Taj se skup u kombinatorici naziva opća populacija.

Broj plasmana od n elemenata po m

Definicija 1. Smještaj od n elementi po m u kombinatorici se naziva bilo koji naručeni skup iz m različiti elementi odabrani iz opće populacije u n elementi.

Primjer 4 Različiti rasporedi triju elemenata (1, 2, 3) dva po dva bit će skupovi (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3 , 2 ). Plasmani se mogu međusobno razlikovati i po elementima i po njihovom redoslijedu.

Broj plasmana u kombinatorici označava se s A n m i izračunava se po formuli:

Komentar: n!=1*2*3*...*n (čitaj: "en factorial"), osim toga, pretpostavlja se da je 0!=1.

Primjer 5. Koliko ima dvoznamenkastih brojeva u kojima su znamenka desetica i znamenka jedinice različite i neparne?
Riješenje: jer postoji pet neparnih znamenki, naime 1, 3, 5, 7, 9, onda se ovaj problem svodi na izbor i stavljanje dvije od pet različitih znamenki na dva različita položaja, tj. dani brojevi će biti:

Definicija 2. Kombinacija iz n elementi po m u kombinatorici se naziva bilo koji neuređen skup iz m različiti elementi odabrani iz opće populacije u n elementi.

Primjer 6. Za skup (1, 2, 3), kombinacije su (1, 2), (1, 3), (2, 3).

Broj kombinacija od n elemenata po m

Broj kombinacija označava se s C n m i izračunava se po formuli:

Primjer 7 Na koliko načina čitatelj može izabrati dvije knjige od šest dostupnih?

Riješenje: Broj načina jednak je broju kombinacija šest knjiga po dvije, tj. jednako:

Permutacije od n elemenata

Definicija 3. Permutacija iz n elemenata naziva se bilo koji naručeni skup ovi elementi.

Primjer 7a. Sve moguće permutacije skupa koji se sastoji od tri elementa (1, 2, 3) su: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (2, 1, 3) , (3, 2, 1), (3, 1, 2).

Broj različitih permutacija od n elemenata označava se s P n i izračunava se po formuli P n =n!.

Primjer 8 Na koliko se načina na polici može poredati sedam knjiga različitih autora?

Riješenje: ovaj problem se odnosi na broj permutacija sedam različitih knjiga. Postoji P 7 =7!=1*2*3*4*5*6*7=5040 načina za slaganje knjiga.

Rasprava. Vidimo da se broj mogućih kombinacija može izračunati prema različitim pravilima (permutacije, kombinacije, plasmani), a rezultat će biti drugačiji, jer princip brojanja i same formule su različite. Gledajući pažljivo definicije, možete vidjeti da rezultat ovisi o nekoliko čimbenika u isto vrijeme.

Prvo, od koliko elemenata možemo kombinirati njihove skupove (koliko je velika opća populacija elemenata).

Drugo, rezultat ovisi o veličini skupova elemenata koji su nam potrebni.

Na kraju, važno je znati da li nam je bitan redoslijed elemenata u skupu. Objasnimo posljednji faktor na sljedećem primjeru.

Primjer 9 Na roditeljskom sastanku je 20 ljudi. Koliko različitih opcija za sastav matičnog odbora postoji ako u njemu treba biti 5 ljudi?
Riješenje: U ovom primjeru nas ne zanima redoslijed imena na listi odbora. Ako se kao rezultat toga isti ljudi pojavljuju u njegovom sastavu, onda je to u smislu značenja za nas ista opcija. Stoga možemo koristiti formulu za izračunavanje broja kombinacije od 20 elemenata, 5.

Stvari će biti drugačije ako svaki član povjerenstva u početku bude odgovoran za određeno područje rada. Zatim, uz isti platni spisak komisije, unutar nje je moguće 5! opcije permutacije ta stvar. Broj različitih (i po sastavu i po području odgovornosti) opcija određen je u ovom slučaju brojem plasmani od 20 elemenata, 5.

Zadaci za samotestiranje
1. Koliko se troznamenkastih parnih brojeva može sastaviti od brojeva 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ako se brojevi mogu ponavljati?

2. Koliko ima peteroznamenkastih brojeva koji se jednako čitaju s lijeva na desno i s desna na lijevo?

3. U razredu ima deset predmeta i pet sati dnevno. Na koliko načina možete napraviti raspored za jedan dan?

4. Na koliko se načina mogu izabrati 4 delegata za konferenciju ako u grupi ima 20 ljudi?

5. Na koliko načina se osam različitih pisama može staviti u osam različitih omotnica ako se u svaku omotnicu stavi samo jedno pismo?

6. Od tri matematičara i deset ekonomista potrebno je sastaviti komisiju od dva matematičara i šest ekonomista. Na koliko načina se to može učiniti?

Svih N elemenata, a nijedan se ne ponavlja, onda je to problem broja permutacija. Rješenje se može pronaći jednostavno. Bilo koji od N elemenata može zauzeti prvo mjesto u nizu, stoga se dobiva N opcija. Na drugom mjestu - bilo koji, osim onog koji je već korišten za prvo mjesto. Stoga, za svaku od N već pronađenih opcija, postoje (N - 1) drugoplasirane opcije, a ukupan broj kombinacija postaje N*(N - 1).
Isto se može ponoviti za preostale elemente niza. Za posljednje mjesto ostaje samo jedna opcija - zadnji preostali element. Za pretposljednju - dvije opcije, i tako dalje.
Stoga su za niz od N elemenata koji se ne ponavljaju moguće permutacije jednake umnošku svih cijelih brojeva od 1 do N. Taj se umnožak naziva faktorijelom od N i označava se s N! (čitaj "en factorial").

U prethodnom slučaju, broj mogućih elemenata i broj mjesta u nizu su se podudarali, a njihov broj je bio jednak N. No moguća je situacija kada u nizu ima manje mjesta nego mogućih elemenata. Drugim riječima, broj elemenata u uzorku jednak je nekom broju M, a M< N. В этом случае задача определения количества возможных комбинаций может иметь два различных варианта.
Prvo, možda će biti potrebno izbrojati ukupan broj mogućih načina na koje se u nizu mogu poredati M elemenata iz N. Takvi se načini nazivaju plasmani.
Drugo, istraživača može zanimati broj načina na koji se M elemenata može odabrati iz N. U ovom slučaju, redoslijed elemenata više nije važan, ali bilo koje dvije opcije moraju se razlikovati jedna od druge za barem jedan element . Takve se metode nazivaju kombinacijama.

Da bi se odredio broj smještaja M elemenata od N, može se pribjeći istom načinu zaključivanja kao u slučaju permutacija. Na prvom mjestu i dalje može biti N elemenata, na drugom (N - 1) i tako dalje. Ali za posljednje mjesto, broj mogućih opcija nije jedan, već (N - M + 1), jer će po završetku postavljanja još uvijek biti (N - M) neiskorištenih elemenata.
Dakle, broj plasmana preko M elemenata od N jednak je umnošku svih cijelih brojeva od (N - M + 1) do N, ili, ekvivalentno, kvocijentu N!/(N - M)!.

Očito je da će broj kombinacija M elemenata iz N biti manji od broja plasmana. Za svaku moguću kombinaciju postoji M! mogući rasporedi ovisno o redoslijedu elemenata ove kombinacije. Stoga, da biste pronašli ovaj broj, trebate podijeliti broj položaja na M elemenata od N s N!. Drugim riječima, broj kombinacija M elemenata iz N je N!/(M!*(N - M)!).