Kako pronaći bočnu površinu formule piramide. Bočna površina različitih piramida

• Zadatak 1. Pronađite ukupnu površinu piramide
• Zadatak 2. Pronađite površinu bočne površine pravilne trokutaste piramide

Zadatak 1. Nađite ukupnu površinu pravilne piramide

Riješenje.

U osnovi pravilne trokutaste piramide nalazi se jednakostranični trokut.
Stoga za rješavanje problema koristimo svojstva pravilnog trokuta:

Znamo visinu trokuta, odakle možemo pronaći njegovu površinu.
h = √3/2a
a = h / (√3/2)
a = 3 / (√3/2)
a = 6 / √3

Odakle će površina baze biti jednaka:
S = √3/4 a 2
S = √3/4 (6 / √3) 2
S = 3√3

Da bismo pronašli površinu bočne strane, izračunavamo visinu KM. Kut OKM, prema tvrdnji problema, je 45 stupnjeva.
Tako:
OK / MK = cos 45
Upotrijebimo tablicu vrijednosti trigonometrijskih funkcija i zamijenimo poznate vrijednosti.

OK / MK = √2/2

Uzimamo u obzir da je OK jednak polumjeru upisane kružnice. Zatim
OK = √3/6 a
OK = √3/6 * 6/√3 = 1

Zatim
OK / MK = √2/2
1 / MK = √2/2
MK = 2/√2

Površina bočne strane tada je jednaka polovici umnoška visine i osnovice trokuta.
Sstrana = 1/2 (6 / √3) (2/√2) = 6/√6

Dakle, ukupna površina piramide bit će jednaka
S = 3√3 + 3 * 6/√6
S = 3√3 + 18/√6

Odgovor: 3√3 + 18/√6

Zadatak 2. Nađite površinu bočne površine pravilne piramide

Riješenje.

Kako je baza pravilne trokutaste piramide jednakostraničan trokut, tada je AO polumjer kruga opisane oko baze.
(Slijedi iz)

Polumjer kružnice opisane oko jednakostraničnog trokuta nalazi se iz njegovih svojstava

Otuda će duljina bridova pravilne trokutaste piramide biti jednaka:
AM 2 = MO 2 + AO 2
visina piramide poznata je po uvjetu (10 cm), AO = 16√3/3
AM 2 = 100 + 256/3
AM = √(556/3)

Svaka stranica piramide je jednakokračni trokut. Površina jednakokračnog trokuta nalazi se iz prve formule u nastavku

S = 1/2 * 16 sqrt((√(556/3) + 8) (√(556/3) - 8))
S = 8 sqrt((556/3) - 64)
S = 8 sqrt (364/3)
S = 16 sqrt (91/3)

Budući da su sva tri lica pravilne piramide jednaka, površina bočne površine bit će jednaka
3S = 48√(91/3)

Odgovor: 48 √(91/3)

Zadatak 3. Pronađite ukupnu površinu pravilne piramide

Stranica pravilne trokutaste piramide je 3 cm, a kut između bočne strane i baze piramide je 45 stupnjeva. Pronađite ukupnu površinu piramide.

Riješenje.
Budući da je piramida pravilna, u osnovi ima jednakostranični trokut. Dakle, područje baze je


Dakle = 9 * √3/4

Da bismo pronašli površinu bočne strane, izračunavamo visinu KM. Kut OKM, prema tvrdnji problema, je 45 stupnjeva.
Tako:
OK / MK = cos 45
Iskoristimo

Prilikom priprema za ispit iz matematike učenici moraju sistematizirati svoje znanje iz algebre i geometrije. Želio bih kombinirati sve poznate informacije, na primjer, kako izračunati površinu piramide. Štoviše, počevši od baze i bočnih strana do cijele površine. Ako je situacija jasna s bočnim stranama, budući da su trokuti, tada je baza uvijek drugačija.

Što učiniti kada se pronađe područje baze piramide?

To može biti apsolutno bilo koja figura: od proizvoljnog trokuta do n-kuta. I ta baza, osim razlike u broju kutova, može biti pravilan lik ili netočan. U USE zadacima od interesa za školarce postoje samo zadaci s točnim brojkama u osnovi. Stoga ćemo govoriti samo o njima.

pravokutni trokut

To je jednakostraničan. Onaj u kojem su sve strane jednake i označen slovom "a". U ovom slučaju, površina baze piramide izračunava se formulom:

S = (a 2 * √3) / 4.

Kvadrat

Formula za izračunavanje njegove površine je najjednostavnija, ovdje je "a" opet strana:

Proizvoljni pravilni n-kut

Istu oznaku ima stranica poligona. Za broj uglova koristi se latinično slovo n.

S = (n * a 2) / (4 * tg (180º/n)).

Kako postupiti pri izračunu bočne i ukupne površine?

Budući da je baza pravilan lik, sva su lica piramide jednaka. Štoviše, svaki od njih je jednakokračan trokut, jer su bočni rubovi jednaki. Zatim, da biste izračunali bočnu površinu piramide, potrebna vam je formula koja se sastoji od zbroja identičnih monoma. Broj članova određen je brojem stranica baze.

Površina jednakokračnog trokuta izračunava se formulom u kojoj se polovica umnoška baze množi s visinom. Ova visina u piramidi naziva se apotemom. Njegova oznaka je "A". Opća formula za bočnu površinu je:

S \u003d ½ P * A, gdje je P opseg baze piramide.

Postoje situacije kada stranice baze nisu poznate, ali su zadani bočni bridovi (c) i ravni kut pri njenom vrhu (α). Tada bi trebalo koristiti takvu formulu za izračunavanje bočne površine piramide:

S = n/2 * u 2 sin α .

Zadatak #1

Stanje. Nađite ukupnu površinu piramide ako joj baza leži sa stranicom od 4 cm, a apotem ima vrijednost √3 cm.

Riješenje. Morate početi izračunavanjem perimetra baze. Budući da je ovo pravilan trokut, tada je P \u003d 3 * 4 \u003d 12 cm. Budući da je apotem poznat, možete odmah izračunati površinu cijele bočne površine: ½ * 12 * √3 = 6 √3 cm 2.

Za trokut na bazi dobit će se sljedeća vrijednost površine: (4 2 * √3) / 4 \u003d 4√3 cm 2.

Da biste odredili cijelu površinu, morat ćete zbrojiti dvije dobivene vrijednosti: 6√3 + 4√3 = 10√3 cm 2.

Odgovor. 10√3 cm2.

Zadatak #2

Stanje. Postoji pravilna četverokutna piramida. Duljina stranice baze je 7 mm, bočnog ruba 16 mm. Morate znati njegovu površinu.

Riješenje. Kako je poliedar četverokutan i pravilan, onda mu je baza kvadrat. Naučivši područja baze i bočnih strana, bit će moguće izračunati površinu piramide. Formula za kvadrat je data gore. A na bočnim stranama poznate su sve stranice trokuta. Stoga možete koristiti Heronovu formulu za izračunavanje njihovih površina.

Prvi izračuni su jednostavni i dovode do ovog broja: 49 mm 2. Za drugu vrijednost morat ćete izračunati poluopseg: (7 + 16 * 2): 2 = 19,5 mm. Sada možete izračunati površinu jednakokračnog trokuta: √ (19,5 * (19,5-7) * (19,5-16) 2) = √2985,9375 = 54,644 mm 2. Postoje samo četiri takva trokuta, pa ćete ga pri izračunavanju konačnog broja morati pomnožiti s 4.

Ispada: 49 + 4 * 54.644 \u003d 267.576 mm 2.

Odgovor. Željena vrijednost je 267,576 mm 2.

Zadatak #3

Stanje. Za pravilnu četverokutnu piramidu morate izračunati površinu. U njemu je stranica kvadrata 6 cm, a visina 4 cm.

Riješenje. Najlakši način je upotrijebiti formulu s umnoškom opsega i apoteme. Prvu vrijednost je lako pronaći. Drugo je malo teže.

Morat ćemo se sjetiti Pitagorinog poučka i uzeti u obzir da se sastoji od visine piramide i apoteme, što je hipotenuza. Drugi krak je jednak polovici stranice kvadrata, budući da visina poliedra pada u njegovu sredinu.

Željeni apotem (hipotenuza pravokutnog trokuta) je √(3 2 + 4 2) = 5 (cm).

Sada možete izračunati željenu vrijednost: ½ * (4 * 6) * 5 + 6 2 \u003d 96 (cm 2).

Odgovor. 96 cm2.

Zadatak #4

Stanje. Ispravna stranica njegove baze je 22 mm, bočna rebra su 61 mm. Kolika je površina bočne površine ovog poliedra?

Riješenje. Obrazloženje u njemu je isto kao što je opisano u problemu br. 2. Samo tamo je dana piramida s kvadratom u bazi, a sada je šesterokut.

Prije svega, površina baze izračunava se pomoću gornje formule: (6 * 22 2) / (4 * tg (180º / 6)) \u003d 726 / (tg30º) \u003d 726√3 cm 2.

Sada morate saznati poluopseg jednakokračnog trokuta, koji je bočna strana. (22 + 61 * 2): 2 = 72 cm. Ostaje izračunati površinu svakog takvog trokuta koristeći Heronovu formulu, a zatim je pomnožiti sa šest i dodati onom koji je ispao za baza.

Izračuni pomoću Heronove formule: √ (72 * (72-22) * (72-61) 2) \u003d √ 435600 \u003d 660 cm 2. Izračuni koji će dati bočnu površinu: 660 * 6 \u003d 3960 cm 2. Ostaje ih zbrojiti kako bismo saznali cijelu površinu: 5217,47≈5217 cm 2.

Odgovor. Baza - 726√3 cm 2, bočna površina - 3960 cm 2, cjelokupna površina - 5217 cm 2.

- ovo je figura u čijoj osnovi leži proizvoljni poligon, a bočne strane predstavljene su trokutima. Njihovi vrhovi leže u jednoj točki i odgovaraju vrhu piramide.

Piramida može biti raznolika - trokutasta, četverokutna, šesterokutna itd. Njegovo ime može se odrediti ovisno o broju uglova uz bazu.
Ispravna piramida zove se piramida, u kojoj su strane baze, kutovi i bridovi jednaki. Također, u takvoj piramidi, površina bočnih strana bit će jednaka.
Formula za površinu bočne površine piramide je zbroj površina svih njezinih lica:
To jest, da bi se izračunala površina bočne površine proizvoljne piramide, potrebno je pronaći površinu svakog pojedinog trokuta i zbrojiti ih. Ako je piramida krnja, onda su njena lica predstavljena trapezoidima. Za ispravnu piramidu postoji još jedna formula. U njemu se bočna površina izračunava kroz poluperimetar baze i duljinu apoteme:

Razmotrite primjer izračuna površine bočne površine piramide.
Neka je dana pravilna četverokutna piramida. Bazna strana b= 6 cm, i apotem a\u003d 8 cm. Pronađite površinu bočne površine.

U osnovi pravilne četverokutne piramide nalazi se kvadrat. Prvo, pronađimo njegov opseg:

Sada možemo izračunati površinu bočne površine naše piramide:

Da biste pronašli ukupnu površinu poliedra, morate pronaći površinu njegove baze. Formula za površinu baze piramide može se razlikovati, ovisno o tome koji poligon leži u bazi. Da biste to učinili, upotrijebite formulu za područje trokuta, površina paralelograma itd.

Razmotrite primjer izračuna površine baze piramide prema našim uvjetima. Budući da je piramida pravilna, u osnovi ima kvadrat.
kvadratna površina izračunava se formulom: ,
gdje je a stranica kvadrata. Imamo ga jednako 6 cm. Dakle, površina baze piramide:

Sada ostaje samo pronaći ukupnu površinu poliedra. Formula za površinu piramide je zbroj površine njezine baze i bočne površine.

Površina piramide. U ovom ćemo članku s vama razmotriti probleme s pravilnim piramidama. Dopustite mi da vas podsjetim da je pravilna piramida piramida čija je baza pravilan mnogokut, vrh piramide je projiciran u središte tog mnogokuta.

Bočna strana takve piramide je jednakokračni trokut.Visina ovog trokuta, povučena s vrha pravilne piramide, naziva se apotem, SF je apotem:

U dolje prikazanoj vrsti problema potrebno je pronaći površinu cijele piramide ili površinu njezine bočne površine. Blog je već razmatrao nekoliko problema s pravilnim piramidama, gdje se postavljalo pitanje pronalaženja elemenata (visina, osnovni rub, bočni rub), .

U zadatcima ispita u pravilu se razmatraju pravilne trokutne, četverokutne i šesterokutne piramide. Nisam vidio probleme s pravilnim peterokutnim i sedmerokutnim piramidama.

Formula za površinu cijele površine je jednostavna - trebate pronaći zbroj površine baze piramide i površine njezine bočne površine:

Razmotrite zadatke:

Stranice baze pravilne četverokutne piramide su 72, bočni bridovi su 164. Nađite površinu ove piramide.

Površina piramide jednaka je zbroju površina bočne površine i baze:

*Bočnu plohu čine četiri trokuta jednake površine. Osnova piramide je kvadrat.

Površina strane piramide može se izračunati pomoću:

Dakle, površina piramide je:

Odgovor: 28224

Stranice baze pravilne šesterokutne piramide su 22, bočni rubovi su 61. Pronađite površinu bočne površine ove piramide.

Osnova pravilne šesterokutne piramide je pravilni šesterokut.

Bočna površina ove piramide sastoji se od šest područja jednakih trokuta sa stranicama 61,61 i 22:

Pronađite površinu trokuta koristeći Heronovu formulu:

Dakle, bočna površina je:

Odgovor: 3240

*U gore navedenim problemima, područje bočne strane može se pronaći pomoću različite formule trokuta, ali za to morate izračunati apotemu.

27155. Odredite površinu pravilne četverokutne piramide čije su osnovne stranice 6, a visina 4.

Da bismo pronašli površinu piramide, moramo znati površinu baze i površinu bočne površine:

Površina baze je 36, jer je to kvadrat sa stranicom 6.

Bočna površina sastoji se od četiri lica, koja su jednaki trokuti. Da biste pronašli područje takvog trokuta, morate znati njegovu bazu i visinu (apotem):

* Površina trokuta jednaka je polovici proizvoda baze i visine povučene na ovu bazu.

Baza je poznata, jednaka je šest. Nađimo visinu. Razmotrimo pravokutni trokut (označen žutom bojom):

Jedan krak je jednak 4, jer je to visina piramide, drugi je jednak 3, jer je jednak polovici ruba baze. Hipotenuzu možemo pronaći pomoću Pitagorine teoreme:

Dakle, površina bočne površine piramide je:

Dakle, površina cijele piramide je:

Odgovor: 96

27069. Stranice baze pravilne četverokutne piramide su 10, bočni bridovi su 13. Nađite površinu ove piramide.

27070. Stranice baze pravilne šesterokutne piramide su 10, bočni rubovi su 13. Nađite površinu bočne površine ove piramide.

Postoje i formule za bočnu površinu pravilne piramide. U pravilnoj piramidi baza je ortogonalna projekcija bočne plohe, dakle:

P- opseg baze, l- apotem piramide

*Ova formula se temelji na formuli za površinu trokuta.

Ako želite saznati više o tome kako su te formule izvedene, nemojte to propustiti, pratite objavljivanje članaka.To je sve. Sretno ti!

S poštovanjem, Alexander Krutitskikh.

P.S: Bio bih vam zahvalan ako kažete o stranici na društvenim mrežama.

trokutasta piramida Poliedrom se naziva poliedar čija je osnovica pravilan trokut.

U takvoj su piramidi lica baze i rubovi stranica međusobno jednaki. Prema tome, površina bočnih stranica nalazi se iz zbroja površina tri identična trokuta. Pomoću formule možete pronaći površinu bočne površine pravilne piramide. I možete napraviti izračun nekoliko puta brže. Da biste to učinili, primijenite formulu za područje bočne površine trokutaste piramide:

gdje je p opseg baze, čije su sve strane jednake b, a je apotem spušten od vrha do ove baze. Razmotrite primjer izračuna površine trokutaste piramide.

Zadatak: Neka je dana ispravna piramida. Stranica trokuta koja leži na bazi je b = 4 cm. Apotem piramide je a = 7 cm. Pronađite površinu bočne površine piramide.
Budući da prema uvjetima zadatka znamo duljine svih potrebnih elemenata, pronaći ćemo opseg. Zapamtite da su u pravilnom trokutu sve strane jednake, pa se stoga opseg izračunava formulom:

Zamijenite podatke i pronađite vrijednost:

Sada, znajući opseg, možemo izračunati bočnu površinu:

Da biste primijenili formulu za površinu trokutaste piramide za izračun pune vrijednosti, trebate pronaći površinu baze poliedra. Za to se koristi formula:

Formula za područje baze trokutaste piramide može biti drugačija. Dopušteno je koristiti bilo koji izračun parametara za određenu figuru, ali najčešće to nije potrebno. Razmotrite primjer izračuna površine baze trokutaste piramide.

Zadatak: U pravilnoj piramidi stranica trokuta koji leži na bazi je a = 6 cm. Izračunaj oplošje baze.
Za izračun potrebna nam je samo duljina stranice pravilnog trokuta koja se nalazi u podnožju piramide. Zamijenite podatke u formuli:

Vrlo često je potrebno pronaći ukupnu površinu poliedra. Da biste to učinili, morate dodati površinu bočne površine i baze.

Razmotrite primjer izračuna površine trokutaste piramide.

Problem: Neka je dana pravilna trokutasta piramida. Stranica baze je b = 4 cm, apotem je a = 6 cm. Nađite ukupnu površinu piramide.
Najprije pronađimo površinu bočne površine pomoću već poznate formule. Izračunajte opseg:

Zamjenjujemo podatke u formuli:
Sada pronađite područje baze:
Znajući površinu baze i bočne površine, nalazimo ukupnu površinu piramide:

Pri izračunavanju površine pravilne piramide ne treba zaboraviti da je baza pravilan trokut i da su mnogi elementi ovog poliedra međusobno jednaki.