เจเนราทริกซ์ของกรวยเรียกว่าอะไร? ตัวเรขาคณิต

ข้าว. 1. วัตถุจากสิ่งมีชีวิตที่มีรูปร่างเป็นกรวยที่ถูกตัดทอน

คุณคิดว่ารูปทรงใหม่ๆ มาจากไหนในเรขาคณิต ทุกอย่างง่ายมาก: คน ๆ หนึ่งเจอวัตถุที่คล้ายกันในชีวิตและตั้งชื่อให้กับสิ่งเหล่านั้น ลองพิจารณาจุดยืนที่สิงโตนั่งอยู่ในละครสัตว์ ซึ่งเป็นแครอทชิ้นหนึ่งที่ได้รับเมื่อเราตัดมันเพียงบางส่วน ภูเขาไฟที่ยังคุกรุ่นอยู่ และตัวอย่างเช่น แสงจากไฟฉาย (ดูรูปที่ 1)

ข้าว. 2. รูปทรงเรขาคณิต

เราเห็นว่าตัวเลขเหล่านี้มีรูปร่างคล้ายกัน - ทั้งด้านล่างและด้านบนถูกจำกัดด้วยวงกลม แต่จะเรียวขึ้น (ดูรูปที่ 2)

ข้าว. 3. ตัดส่วนบนของกรวยออก

ดูเหมือนกรวย ด้านบนขาดเพียง.. ลองนึกภาพในใจว่าเราเอากรวยแล้วตัดส่วนบนออกด้วยการแกว่งดาบอันแหลมคมเพียงครั้งเดียว (ดูรูปที่ 3)

ข้าว. 4. กรวยที่ถูกตัดทอน

ผลลัพธ์ที่ได้คือรูปร่างของเราอย่างแน่นอน เรียกว่ากรวยที่ถูกตัดทอน (ดูรูปที่ 4)

ข้าว. 5. ส่วนขนานกับฐานกรวย

ให้กรวยได้รับ ให้เราวาดระนาบขนานกับระนาบของฐานของกรวยนี้แล้วตัดกรวย (ดูรูปที่ 5)

มันจะแยกกรวยออกเป็นสองส่วน: หนึ่งในนั้นเป็นกรวยที่เล็กกว่าและอันที่สองเรียกว่ากรวยที่ถูกตัดทอน (ดูรูปที่ 6)

ข้าว. 6. ผลที่ได้มีส่วนขนานกัน

ดังนั้น กรวยที่ถูกตัดทอนจึงเป็นส่วนหนึ่งของกรวยที่อยู่ระหว่างฐานกับระนาบที่ขนานกับฐาน เช่นเดียวกับกรวย กรวยที่ถูกตัดปลายสามารถมีวงกลมที่ฐานได้ ในกรณีนี้จะเรียกว่าทรงกลม ถ้ากรวยเดิมเป็นเส้นตรง กรวยที่ถูกตัดปลายจะเรียกว่าเป็นเส้นตรง เช่นเดียวกับในกรณีของกรวย เราจะพิจารณาเฉพาะกรวยที่ถูกตัดทอนเป็นวงกลมตรง เว้นแต่จะระบุไว้เป็นพิเศษว่าเรากำลังพูดถึงกรวยที่ถูกตัดทอนทางอ้อมหรือฐานของกรวยไม่ใช่วงกลม

ข้าว. 7. การหมุนของสี่เหลี่ยมคางหมูสี่เหลี่ยม

หัวข้อระดับโลกของเราคือเนื้อความแห่งการปฏิวัติ กรวยที่ถูกตัดทอนก็ไม่มีข้อยกเว้น! ให้เราจำไว้ว่าเพื่อให้ได้กรวยเราถือว่าเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากแล้วหมุนรอบขา? หากกรวยที่ได้นั้นตัดกันด้วยระนาบขนานกับฐาน สามเหลี่ยมนั้นจะยังคงเป็นสี่เหลี่ยมคางหมูรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า การหมุนรอบด้านที่เล็กกว่าจะทำให้เราได้กรวยที่ถูกตัดทอน ให้เราทราบอีกครั้งว่า แน่นอนว่า เรากำลังพูดถึงเฉพาะกรวยกลมตรงเท่านั้น (ดูรูปที่ 7)

ข้าว. 8. ฐานของกรวยที่ถูกตัดทอน

มาแสดงความคิดเห็นกันหน่อย ฐานของกรวยที่สมบูรณ์และวงกลมที่เกิดจากส่วนของกรวยโดยระนาบเรียกว่าฐานของกรวยที่ถูกตัดทอน (ล่างและบน) (ดูรูปที่ 8)

ข้าว. 9. เครื่องกำเนิดกรวยที่ถูกตัดทอน

ส่วนของเครื่องกำเนิดกรวยที่สมบูรณ์ซึ่งอยู่ระหว่างฐานของกรวยที่ถูกตัดทอนเรียกว่าเครื่องกำเนิดกรวยที่ถูกตัดทอน เนื่องจากตัวกำเนิดทั้งหมดของกรวยดั้งเดิมมีค่าเท่ากัน และเครื่องกำเนิดทั้งหมดของกรวยที่ตัดออกเท่ากัน ดังนั้นตัวกำเนิดของกรวยที่ถูกตัดทอนจะเท่ากัน (อย่าสับสนระหว่างตัวตัดและตัวตัดทอน!) นี่หมายความว่าส่วนแกนของสี่เหลี่ยมคางหมูเป็นหน้าจั่ว (ดูรูปที่ 9)

ส่วนของแกนการหมุนที่อยู่ภายในกรวยที่ถูกตัดทอนเรียกว่าแกนของกรวยที่ถูกตัดทอน แน่นอนว่าส่วนนี้เชื่อมต่อศูนย์กลางของฐาน (ดูรูปที่ 10)

ข้าว. 10. แกนของกรวยที่ถูกตัดทอน

ความสูงของกรวยที่ถูกตัดทอนนั้นตั้งฉากกับฐานอีกฐานหนึ่งไปยังฐานอีกฐานหนึ่ง ส่วนใหญ่แล้วความสูงของกรวยที่ถูกตัดทอนจะถือเป็นแกนของมัน

ข้าว. 11. ส่วนตามแนวแกนของกรวยที่ถูกตัดทอน

ส่วนตามแนวแกนของกรวยที่ถูกตัดทอนคือส่วนที่ผ่านแกนของมัน มันมีรูปร่างเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูอีกไม่นานเราจะพิสูจน์ว่ามันเป็นหน้าจั่ว (ดูรูปที่ 11)

ข้าว. 12. กรวยพร้อมสัญลักษณ์แนะนำ

ให้เราหาพื้นที่ผิวด้านข้างของกรวยที่ถูกตัดทอน ปล่อยให้ฐานของกรวยที่ถูกตัดทอนมีรัศมี และ และเจเนราทริกซ์มีค่าเท่ากัน (ดูรูปที่ 12)

ข้าว. 13. การกำหนด generatrix ของกรวยที่ตัดออก

ให้เราค้นหาพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างของกรวยที่ถูกตัดทอนเป็นความแตกต่างระหว่างพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างของกรวยเดิมกับส่วนที่ถูกตัดออก เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้เราแสดงด้วย generatrix ของกรวยที่ตัดออก (ดูรูปที่ 13)

แล้วสิ่งที่คุณกำลังมองหา

ข้าว. 14. สามเหลี่ยมที่คล้ายกัน

สิ่งที่เหลืออยู่คือการแสดงออก

โปรดทราบว่าจากความคล้ายคลึงกันของรูปสามเหลี่ยมมาจากไหน (ดูรูปที่ 14)

เป็นไปได้ที่จะแสดง โดยหารด้วยผลต่างของรัศมี แต่เราไม่ต้องการสิ่งนี้ เนื่องจากผลิตภัณฑ์ที่เรากำลังมองหาปรากฏในนิพจน์ที่เรากำลังมองหา การทดแทน ในที่สุดเราก็มี: .

ตอนนี้การหาสูตรสำหรับพื้นที่ผิวรวมเป็นเรื่องง่ายแล้ว เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เพียงเพิ่มพื้นที่ของวงกลมทั้งสองวงของฐาน: .

ข้าว. 15. ภาพประกอบสำหรับปัญหา

ให้กรวยที่ถูกตัดทอนได้มาโดยการหมุนสี่เหลี่ยมคางหมูสี่เหลี่ยมรอบๆ ความสูงของกรวย เส้นกึ่งกลางของสี่เหลี่ยมคางหมูเท่ากับ และด้านข้างขนาดใหญ่เท่ากับ (ดูรูปที่ 15) ค้นหาพื้นที่ผิวด้านข้างของกรวยที่ถูกตัดทอนที่เกิดขึ้น

สารละลาย

จากสูตรเรารู้แล้วว่า .

เจเนราทริกซ์ของกรวยจะเป็นด้านที่ใหญ่กว่าของสี่เหลี่ยมคางหมูเดิม นั่นคือรัศมีของกรวยคือฐานของสี่เหลี่ยมคางหมู เราไม่พบพวกเขา แต่เราไม่ต้องการมัน: เราต้องการแค่ผลรวมของมันเท่านั้น และผลรวมของฐานของสี่เหลี่ยมคางหมูนั้นใหญ่เป็นสองเท่าของเส้นกึ่งกลางของมัน นั่นคือ มันเท่ากับ แล้ว .

โปรดทราบว่าเมื่อเราพูดถึงกรวย เราได้วาดเส้นขนานระหว่างมันกับปิรามิด - สูตรมีความคล้ายคลึงกัน ในกรณีนี้ก็เหมือนกัน เนื่องจากกรวยที่ถูกตัดทอนนั้นคล้ายกับปิรามิดที่ถูกตัดทอนมาก ดังนั้นสูตรสำหรับพื้นที่ด้านข้างและพื้นผิวรวมของกรวยและปิรามิดที่ถูกตัดทอน (และเร็วๆ นี้จะมีสูตรสำหรับปริมาตร) จึงคล้ายกัน

ข้าว. 1. ภาพประกอบสำหรับปัญหา

รัศมีของฐานของกรวยที่ถูกตัดทอนจะเท่ากับ และ และเจเนราทริกซ์เท่ากับ . ค้นหาความสูงของกรวยที่ถูกตัดทอนและพื้นที่ของส่วนตามแนวแกน (ดูรูปที่ 1)

กลับไปข้างหน้า

ความสนใจ! การแสดงตัวอย่างสไลด์มีวัตถุประสงค์เพื่อให้ข้อมูลเท่านั้น และอาจไม่ได้แสดงถึงคุณลักษณะทั้งหมดของการนำเสนอ ถ้าคุณสนใจ งานนี้กรุณาดาวน์โหลดเวอร์ชันเต็ม

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:

• เกี่ยวกับการศึกษา: แนะนำแนวคิดของกรวยและองค์ประกอบของกรวย พิจารณาการสร้างกรวยตรง ลองพิจารณาหาพื้นผิวกรวยทั้งหมด เพื่อพัฒนาความสามารถในการแก้ปัญหาการหาองค์ประกอบของกรวย
• พัฒนาการ: พัฒนาคำพูดทางคณิตศาสตร์ที่มีความสามารถการคิดเชิงตรรกะ
• เกี่ยวกับการศึกษา: เพื่อปลูกฝังกิจกรรมการรับรู้ วัฒนธรรมแห่งการสื่อสาร วัฒนธรรมแห่งการสนทนา

รูปแบบบทเรียน:บทเรียนในการสร้างความรู้และทักษะใหม่

รูปแบบกิจกรรมการศึกษา:รูปแบบการทำงานโดยรวม

วิธีที่ใช้ในบทเรียน:อธิบายเชิงอธิบายมีประสิทธิผล

สื่อการสอน:สมุดบันทึก หนังสือเรียน ปากกา ดินสอ ไม้บรรทัด กระดาน ชอล์กและดินสอสี เครื่องฉายภาพ และการนำเสนอ “โคน” แนวคิดพื้นฐาน. พื้นที่ผิวของกรวย

แผนการเรียน:

1. ช่วงเวลาขององค์กร (1 นาที)
2. ขั้นตอนการเตรียมการ (แรงจูงใจ) (5 นาที)
3. การเรียนรู้เนื้อหาใหม่ (15 นาที)
4. การแก้ปัญหาการหาองค์ประกอบของกรวย (15 นาที)
5. สรุปบทเรียน (2 นาที)
6. การบ้าน (2 นาที)

ระหว่างชั้นเรียน

1. ช่วงเวลาขององค์กร

เป้าหมาย: เพื่อเตรียมพร้อมสำหรับการเรียนรู้เนื้อหาใหม่

2. ขั้นตอนการเตรียมการ

แบบฟอร์ม: งานช่องปาก

เป้าหมาย: ทำความคุ้นเคยกับการหมุนเวียนแบบใหม่

Cone แปลมาจากภาษากรีกว่า "konos" แปลว่า "โคนต้นสน"

มีลำตัวเป็นรูปกรวย พวกเขาสามารถพิจารณาได้ใน วิชาต่างๆเริ่มต้นด้วยไอศกรีมธรรมดาและปิดท้ายด้วยเทคโนโลยี รวมถึงของเล่นเด็กด้วย (ปิรามิด แครกเกอร์ ฯลฯ) ในธรรมชาติ (โก้เก๋ ภูเขา ภูเขาไฟ พายุทอร์นาโด)

(ใช้สไลด์ 1-7)

กิจกรรมครู	กิจกรรมนักศึกษา
3. คำอธิบายเนื้อหาใหม่ วัตถุประสงค์: แนะนำแนวคิดและคุณสมบัติใหม่ของกรวย
1. กรวยสามารถหาได้โดยการหมุนสามเหลี่ยมมุมฉากรอบขาข้างใดข้างหนึ่ง (สไลด์ 8) ตอนนี้เรามาดูกันว่ากรวยถูกสร้างขึ้นอย่างไร ขั้นแรก เราวาดวงกลมโดยมีจุดศูนย์กลาง O และมีเส้นตรง OP ตั้งฉากกับระนาบของวงกลมนี้ เราเชื่อมต่อแต่ละจุดของวงกลมด้วยส่วนกับจุด P (ครูสร้างกรวยทีละขั้นตอน) พื้นผิวที่เกิดจากส่วนเหล่านี้เรียกว่า พื้นผิวทรงกรวยและกลุ่มเอง – กลายเป็นพื้นผิวทรงกรวย.	ในสมุดบันทึกพวกเขาสร้างกรวย
(กำหนดคำจำกัดความ) (สไลด์ 9) เรียกว่าวัตถุที่ล้อมรอบด้วยพื้นผิวทรงกรวยและวงกลมที่มีขอบเขต L กรวย.	เขียนคำจำกัดความ
พื้นผิวทรงกรวยเรียกว่า พื้นผิวด้านข้างของกรวยและวงกลมก็คือ ฐานของกรวย. เส้นตรง OP ที่ผ่านจุดศูนย์กลางของฐานและด้านบนเรียกว่า แกนกรวย. แกนของกรวยตั้งฉากกับระนาบของฐาน เรียกว่า OP ส่วน ความสูงของกรวย. จุด P เรียกว่า ด้านบนของกรวยและกำเนิดพื้นผิวทรงกรวยก็คือ เป็นรูปกรวย.	องค์ประกอบของกรวยมีป้ายกำกับอยู่บนภาพวาด
ตั้งชื่อเครื่องกำเนิดกรวยทั้งสองเครื่องแล้วเปรียบเทียบกันไหม	PA และ PB เท่ากัน
ทำไมเครื่องปั่นไฟถึงเท่ากัน?	เส้นโครงของส่วนที่เอียงจะเท่ากับรัศมีของวงกลมซึ่งหมายความว่าตัวกำเนิดเองก็เท่ากัน
เขียนลงในสมุดบันทึกของคุณ: คุณสมบัติของกรวย:	(สไลด์ 10)
1. เครื่องกำเนิดกรวยทั้งหมดเท่ากัน มุมเอียงของยีนกับฐานเป็นเท่าใด เปรียบเทียบพวกเขา ทำไมล่ะ พิสูจน์สิ?	มุม: PCO, PDO พวกเขาเท่าเทียมกัน เนื่องจากสามเหลี่ยม PAB เป็นหน้าจั่ว
2. มุมเอียงของยีนกับฐานเท่ากัน มุมระหว่างแกนกับตัวกำเนิดคืออะไร? คุณจะพูดอะไรเกี่ยวกับมุมเหล่านี้?	SRO และ อ.ส.ค พวกเขาเท่าเทียมกัน
3. มุมระหว่างแกนและเครื่องกำเนิดไฟฟ้าเท่ากัน มุมระหว่างแกนกับฐานเป็นเท่าใด มุมพวกนี้เท่ากับอะไร?	POC และ POD 90 โอ
4. มุมระหว่างแกนกับฐานอยู่ในทิศทางที่ถูกต้อง เราจะพิจารณาเฉพาะกรวยตรงเท่านั้น
2. พิจารณาหน้าตัดของกรวยตามระนาบต่างๆ ระนาบการตัดที่ผ่านแกนของกรวยคืออะไร?	สามเหลี่ยม.
นี่คือสามเหลี่ยมอะไร?	มันเป็นหน้าจั่ว
ทำไม	ทั้งสองด้านของมันคือเครื่องกำเนิดไฟฟ้าและมีความเท่าเทียมกัน
ฐานของสามเหลี่ยมนี้คืออะไร?	เส้นผ่านศูนย์กลางของฐานกรวย
ส่วนนี้เรียกว่าแนวแกน (สไลด์ 11) วาดส่วนนี้ลงในสมุดบันทึกของคุณและติดป้ายกำกับ ระนาบการตัดตั้งฉากกับแกน OP ของกรวยคือข้อใด	วงกลม.
ศูนย์กลางของวงกลมนี้อยู่ที่ไหน?	บนแกนของกรวย
ส่วนนี้เรียกว่าส่วนวงกลม (มาตราส่วน 12) วาดส่วนนี้ลงในสมุดบันทึกของคุณและติดป้ายกำกับ มีหน้าตัดกรวยประเภทอื่นๆ ที่ไม่อยู่ในแนวแกนและไม่ขนานกับฐานของกรวย ลองดูพวกเขาด้วยตัวอย่าง (สไลด์ 13)	พวกเขาเขียนลงในสมุดบันทึก
3. ตอนนี้เราได้สูตรสำหรับพื้นผิวทั้งหมดของกรวย (สไลด์ 14) ในการทำเช่นนี้ คุณสามารถหมุนพื้นผิวด้านข้างของกรวยได้เหมือนกับพื้นผิวด้านข้างของทรงกระบอก โดยการตัดมันไปตามเครื่องกำเนิดไฟฟ้าอันใดอันหนึ่ง
การพัฒนาพื้นผิวด้านข้างของกรวยคืออะไร? (วาดบนกระดาน)	ภาควงกลม
ภาคนี้มีรัศมีเท่าใด?	เครื่องกำเนิดกรวย
แล้วความยาวส่วนโค้งของเซกเตอร์ล่ะ?	เส้นรอบวง.
พื้นที่พื้นผิวด้านข้างของกรวยถือเป็นพื้นที่ในการพัฒนา (สไลด์ 15)	, องศาของส่วนโค้งอยู่ที่ไหน
ภาควงกลมมีพื้นที่เท่าไร?
แล้วพื้นที่ผิวด้านข้างของกรวยเป็นเท่าใด? มาแสดงออกผ่าน และ . (สไลด์ 16) ความยาวของส่วนโค้งคืออะไร?
ในทางกลับกัน ส่วนโค้งเดียวกันแสดงถึงเส้นรอบวงของฐานกรวย มันเท่ากับอะไร?
แทนที่พื้นผิวด้านข้างของกรวยเป็นสูตรที่เราได้รับ . พื้นที่ผิวทั้งหมดของกรวยคือผลรวมของพื้นที่ผิวด้านข้างและฐาน . เขียนสูตรเหล่านี้	เขียนลงไป: , .ชม	(สไลด์ 21) ล=5

6. การบ้าน.หน้า 55, 56, เลขที่ 548(b), 549(b) (สไลด์ 22)

เรขาคณิตเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่ศึกษาโครงสร้างในอวกาศและความสัมพันธ์ระหว่างสิ่งเหล่านั้น ในทางกลับกัน มันยังประกอบด้วยส่วนต่าง ๆ และหนึ่งในนั้นคือสามมิติ เป็นการศึกษาคุณสมบัติของตัวเลขสามมิติที่อยู่ในอวกาศ เช่น ลูกบาศก์ ปิรามิด ลูกบอล กรวย ทรงกระบอก ฯลฯ

กรวยคือวัตถุในปริภูมิแบบยุคลิดที่ล้อมรอบด้วยพื้นผิวทรงกรวยและระนาบที่ปลายของเครื่องกำเนิดตั้งอยู่ การก่อตัวของมันเกิดขึ้นระหว่างการหมุนของสามเหลี่ยมมุมฉากรอบขาของมัน ดังนั้นมันจึงเป็นของร่างแห่งการปฏิวัติ

ส่วนประกอบของกรวย

กรวยมีหลายประเภทดังต่อไปนี้: เฉียง (หรือเอียง) และกรวยตรง เฉียงคือแกนที่แกนไม่ตัดกับศูนย์กลางของฐานเป็นมุมฉาก ด้วยเหตุนี้ ความสูงของกรวยจึงไม่ตรงกับแกน เนื่องจากเป็นส่วนที่หย่อนจากด้านบนของลำตัวถึงระนาบของฐานที่มุม 90°

กรวยที่มีแกนตั้งฉากกับฐานเรียกว่ากรวยตรง แกนและความสูงในตัวเรขาคณิตนั้นเกิดขึ้นพร้อมกันเนื่องจากจุดยอดนั้นอยู่เหนือศูนย์กลางของเส้นผ่านศูนย์กลางของฐาน

กรวยประกอบด้วยองค์ประกอบดังต่อไปนี้:

1. วงกลมที่เป็นฐานของมัน
2. พื้นผิวด้านข้าง
3. จุดที่ไม่อยู่ในระนาบของฐาน เรียกว่า จุดยอดของกรวย
4. ส่วนที่เชื่อมต่อจุดของวงกลมฐานของตัวเรขาคณิตและจุดยอดของมัน

ส่วนต่างๆ ทั้งหมดนี้เป็นเครื่องกำเนิดกรวย พวกมันเอียงไปที่ฐานของตัวเรขาคณิต และในกรณีของกรวยด้านขวา เส้นโครงของพวกมันจะเท่ากัน เนื่องจากจุดยอดมีระยะห่างเท่ากันจากจุดของวงกลมของฐาน ดังนั้นเราสามารถสรุปได้ว่าในกรวยปกติ (ตรง) เครื่องกำเนิดไฟฟ้าจะเท่ากันนั่นคือพวกมันมีความยาวเท่ากันและสร้างมุมเดียวกันกับแกน (หรือความสูง) และฐาน

เนื่องจากในตัวของการหมุนที่เอียง (หรือเอียง) จุดยอดจะเลื่อนสัมพันธ์กับจุดศูนย์กลางของระนาบฐาน เครื่องกำเนิดไฟฟ้าในตัวดังกล่าวจึงมีความยาวและเส้นโครงที่แตกต่างกัน เนื่องจากแต่ละอันมีระยะห่างที่แตกต่างจากจุดสองจุดใดๆ ของ วงกลมของฐาน นอกจากนี้มุมระหว่างพวกเขากับความสูงของกรวยก็จะแตกต่างกันด้วย

ความยาวของยีนในกรวยตรง

ตามที่เขียนไว้ก่อนหน้านี้ ความสูงในตัวเรขาคณิตที่ถูกต้องของการปฏิวัติจะตั้งฉากกับระนาบของฐาน ดังนั้นเจเนราทริกซ์ ความสูง และรัศมีของฐานจึงสร้างสามเหลี่ยมมุมฉากในกรวย

นั่นคือเมื่อทราบรัศมีฐานและความสูงโดยใช้สูตรจากทฤษฎีบทพีทาโกรัสคุณสามารถคำนวณความยาวของเจเนราทริกซ์ซึ่งจะเท่ากับผลรวมของกำลังสองของรัศมีฐานและความสูง:

l 2 = r 2 + h 2 หรือ l = √r 2 + h 2

โดยที่ l คือเครื่องกำเนิด

r - รัศมี;

ชั่วโมง - ความสูง

เครื่องกำเนิดไฟฟ้าในกรวยเอียง

จากความจริงที่ว่าในกรวยเฉียงหรือเอียงเครื่องกำเนิดไฟฟ้ามีความยาวไม่เท่ากันจะไม่สามารถคำนวณได้หากไม่มีการก่อสร้างและการคำนวณเพิ่มเติม

ก่อนอื่น คุณต้องทราบความสูง ความยาวแกน และรัศมีฐาน

r 1 = √k 2 - ชั่วโมง 2

โดยที่ r 1 เป็นส่วนหนึ่งของรัศมีระหว่างแกนกับความสูง

k - ความยาวแกน

ชั่วโมง - ความสูง

อันเป็นผลมาจากการเพิ่มรัศมี (r) และส่วนที่อยู่ระหว่างแกนและความสูง (r 1) คุณสามารถค้นหา generatrix ที่สร้างขึ้นโดยสมบูรณ์ของกรวยความสูงและส่วนของเส้นผ่านศูนย์กลาง:

โดยที่ R คือขาของสามเหลี่ยมที่เกิดจากความสูงตัวกำเนิดและส่วนหนึ่งของเส้นผ่านศูนย์กลางของฐาน

r - รัศมีของฐาน

r 1 - ส่วนหนึ่งของรัศมีระหว่างแกนและความสูง

เมื่อใช้สูตรเดียวกันจากทฤษฎีบทพีทาโกรัส คุณสามารถหาความยาวของเจเนราทริกซ์ของกรวยได้:

ล. = √ชั่วโมง 2 + ร 2

หรือโดยไม่ต้องคำนวณ R แยกกัน ให้รวมสูตรทั้งสองเป็นสูตรเดียว:

ลิตร = √ชั่วโมง 2 + (r + r 1) 2.

ไม่ว่ากรวยจะเป็นเส้นตรงหรือเฉียงและข้อมูลอินพุตเป็นเท่าใด วิธีการทั้งหมดในการค้นหาความยาวของเจเนราทริกซ์จะมีผลลัพธ์เดียวเสมอ นั่นคือการใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ส่วนกรวย

Axial คือระนาบที่เคลื่อนไปตามแกนหรือความสูงของมัน ในกรวยตรง ส่วนดังกล่าวจะเป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว โดยความสูงของรูปสามเหลี่ยมคือความสูงของลำตัว ด้านข้างคือตัวกำเนิด และฐานคือเส้นผ่านศูนย์กลางของฐาน ในตัวเรขาคณิตด้านเท่า ส่วนตามแนวแกนเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า เนื่องจากในกรวยนี้เส้นผ่านศูนย์กลางของฐานและเครื่องกำเนิดไฟฟ้าเท่ากัน

ระนาบของส่วนตามแนวแกนในกรวยตรงคือระนาบสมมาตร เหตุผลก็คือส่วนบนของมันอยู่เหนือศูนย์กลางของฐาน นั่นคือระนาบของส่วนแนวแกนแบ่งกรวยออกเป็นสองส่วนที่เหมือนกัน

เนื่องจากความสูงและแกนไม่ตรงกันในตัวปริมาตรที่เอียง ระนาบส่วนตามแนวแกนจึงอาจไม่รวมความสูงด้วย หากสามารถสร้างส่วนตามแนวแกนได้หลายส่วนในกรวยดังกล่าวเนื่องจากต้องตรงตามเงื่อนไขเดียวเท่านั้น - ต้องผ่านแกนเท่านั้น ดังนั้นจึงสามารถวาดส่วนตามแนวแกนของระนาบซึ่งมีความสูงของกรวยนี้ได้เท่านั้น หนึ่ง เนื่องจากจำนวนของเงื่อนไขเพิ่มขึ้น และอย่างที่ทราบกันดีว่า เส้นตรงสองเส้น (รวมกัน) สามารถเป็นของระนาบเดียวได้

พื้นที่หน้าตัด

ส่วนตามแนวแกนของกรวยที่กล่าวถึงก่อนหน้านี้เป็นรูปสามเหลี่ยม จากนี้พื้นที่ของมันสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตรสำหรับพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม:

S = 1/2 * d * h หรือ S = 1/2 * 2r * h

โดยที่ S คือพื้นที่หน้าตัด

d - เส้นผ่านศูนย์กลางฐาน

r - รัศมี;

ชั่วโมง - ความสูง

ในกรวยเฉียงหรือเอียง หน้าตัดตามแนวแกนก็เป็นรูปสามเหลี่ยมเช่นกัน ดังนั้นพื้นที่หน้าตัดในกรวยจึงคำนวณในลักษณะเดียวกัน

ปริมาณ

เนื่องจากกรวยเป็นรูปสามมิติในพื้นที่สามมิติ จึงสามารถคำนวณปริมาตรได้ ปริมาตรของกรวยคือตัวเลขที่แสดงลักษณะเฉพาะของวัตถุนี้ในหน่วยปริมาตร นั่นคือในหน่วย m3 การคำนวณไม่ได้ขึ้นอยู่กับว่าเป็นเส้นตรงหรือเฉียง (เฉียง) เนื่องจากสูตรสำหรับวัตถุทั้งสองประเภทนี้ไม่แตกต่างกัน

ตามที่ระบุไว้ก่อนหน้านี้ การก่อตัวของกรวยด้านขวาเกิดขึ้นเนื่องจากการหมุนของสามเหลี่ยมมุมฉากตามขาข้างใดข้างหนึ่ง กรวยเอียงหรือเฉียงนั้นก่อตัวแตกต่างกันเนื่องจากความสูงของมันเลื่อนออกจากศูนย์กลางของระนาบของฐานของร่างกาย อย่างไรก็ตามความแตกต่างในโครงสร้างดังกล่าวไม่ส่งผลกระทบต่อวิธีการคำนวณปริมาตร

การคำนวณปริมาณ

กรวยใด ๆ มีลักษณะดังนี้:

วี = 1/3 * π * ชั่วโมง * ร 2

โดยที่ V คือปริมาตรของกรวย

ชั่วโมง - ความสูง;

r - รัศมี;

π เป็นค่าคงที่เท่ากับ 3.14

ในการคำนวณความสูงของวัตถุ คุณจำเป็นต้องรู้รัศมีของฐานและความยาวของเจเนราทริกซ์ของมัน เนื่องจากรัศมี ความสูง และเครื่องกำเนิดไฟฟ้ารวมกันเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ความสูงจึงสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตรจากทฤษฎีบทพีทาโกรัส (a 2 + b 2 = c 2 หรือในกรณีของเรา h 2 + r 2 = l 2 โดยที่ l คือเครื่องกำเนิด) ความสูงจะคำนวณโดยการหารากที่สองของความแตกต่างระหว่างกำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากกับขาอีกข้าง:

ก = √ค 2 - ข 2

นั่นคือความสูงของกรวยจะเท่ากับค่าที่ได้รับหลังจากหารากที่สองของความแตกต่างระหว่างกำลังสองของความยาวของเจเนราทริกซ์และกำลังสองของรัศมีของฐาน:

ชั่วโมง = √ล 2 - ร 2

เมื่อคำนวณความสูงโดยใช้วิธีนี้และทราบรัศมีของฐาน คุณจะสามารถคำนวณปริมาตรของกรวยได้ เครื่องกำเนิดมีบทบาทสำคัญในในกรณีนี้เนื่องจากทำหน้าที่เป็นองค์ประกอบเสริมในการคำนวณ

ในทำนองเดียวกัน ถ้าทราบความสูงของวัตถุและความยาวของเจเนราทริกซ์ เราสามารถหารัศมีของฐานได้โดยการแยก รากที่สองจากความแตกต่างระหว่างกำลังสองของเครื่องกำเนิดและกำลังสองของความสูง:

r = √ล 2 - ชั่วโมง 2

จากนั้นใช้สูตรเดียวกับข้างบนคำนวณปริมาตรของกรวย

ปริมาตรของกรวยเอียง

เนื่องจากสูตรสำหรับปริมาตรของกรวยจะเหมือนกันสำหรับวัตถุที่หมุนทุกประเภท ความแตกต่างในการคำนวณคือการค้นหาความสูง

เพื่อที่จะหาความสูงของกรวยเอียง ข้อมูลอินพุตจะต้องประกอบด้วยความยาวของเจเนราทริกซ์ รัศมีของฐาน และระยะห่างระหว่างจุดศูนย์กลางของฐานกับจุดตัดของความสูงของวัตถุกับระนาบ ของฐานของมัน เมื่อทราบสิ่งนี้แล้ว คุณสามารถคำนวณส่วนของเส้นผ่านศูนย์กลางฐานที่จะเป็นฐานของสามเหลี่ยมมุมฉากได้อย่างง่ายดาย (เกิดจากความสูง เจเนราทริกซ์ และระนาบของฐาน) จากนั้นใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสอีกครั้ง คำนวณความสูงของกรวย แล้วตามด้วยปริมาตร

คำจำกัดความ:
คำจำกัดความ 1. กรวย
คำจำกัดความ 2. กรวยกลม
คำจำกัดความ 3. ความสูงของกรวย
คำจำกัดความ 4. กรวยตรง
คำจำกัดความที่ 5 กรวยกลมขวา
ทฤษฎีบท 1 เครื่องกำเนิดกรวย
ทฤษฎีบท 1.1 ส่วนตามแนวแกนของกรวย

ปริมาณและพื้นที่:
ทฤษฎีบท 2 ปริมาตรของกรวย
ทฤษฎีบท 3 พื้นที่ผิวด้านข้างของกรวย

ฟรัสตัม :
ทฤษฎีบทที่ 4 ส่วนขนานกับฐาน
คำจำกัดความ 6. กรวยที่ถูกตัดทอน
ทฤษฎีบท 5 ปริมาตรของกรวยที่ถูกตัดทอน
ทฤษฎีบท 6 พื้นที่ผิวด้านข้างของกรวยที่ถูกตัดทอน

คำจำกัดความ
วัตถุที่ล้อมรอบด้านข้างด้วยพื้นผิวทรงกรวยที่อยู่ระหว่างด้านบนกับระนาบของรางนำ และฐานแบนของรางนำที่เกิดจากเส้นโค้งปิด เรียกว่ากรวย

แนวคิดพื้นฐาน
กรวยทรงกลมคือวัตถุที่ประกอบด้วยวงกลม (ฐาน) จุดที่ไม่อยู่ในระนาบของฐาน (จุดยอด) และทุกส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดกับจุดฐาน

กรวยตรงคือกรวยที่มีความสูงเป็นจุดศูนย์กลางของฐานกรวย

พิจารณาเส้นใดๆ (เส้นโค้ง หัก หรือผสม) (เช่น ล) นอนอยู่ในระนาบใดระนาบหนึ่งและมีจุดใดจุดหนึ่ง (เช่น M) ที่ไม่ได้นอนอยู่ในระนาบนี้ เส้นตรงที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่เชื่อมต่อจุด M กับทุกจุดของเส้นที่กำหนด ล, รูปร่าง พื้นผิวที่เรียกว่า Canonical. จุด M คือจุดยอดของพื้นผิวดังกล่าวและเป็นเส้นที่กำหนด ล - แนะนำ. เส้นตรงทั้งหมดเชื่อมต่อจุด M กับทุกจุดของเส้น ล, เรียกว่า การขึ้นรูป. พื้นผิวตามรูปแบบบัญญัติไม่ได้ถูกจำกัดด้วยจุดยอดหรือคำแนะนำ ขยายออกไปอย่างไม่มีกำหนดทั้งสองทิศทางจากด้านบน ให้เส้นนำเป็นเส้นนูนปิด ถ้าเส้นนำเป็นเส้นขาด ลำตัวซึ่งล้อมรอบด้วยพื้นผิวมาตรฐานที่อยู่ระหว่างด้านบนกับระนาบของเส้นนำและมีฐานแบนในระนาบของเส้นนำทาง เรียกว่าปิระมิด
ถ้าตัวนำเป็นเส้นโค้งหรือผสม ร่างกายที่ล้อมรอบด้านข้างด้วยพื้นผิวมาตรฐานที่อยู่ระหว่างด้านบนกับระนาบของตัวนำ และฐานแบนในระนาบของตัวนำ เรียกว่ากรวยหรือ
คำจำกัดความ 1 . กรวยคือร่างกายที่ประกอบด้วยฐาน - รูปทรงแบนล้อมรอบด้วยเส้นปิด (โค้งหรือผสม) จุดยอด - จุดที่ไม่อยู่ในระนาบของฐาน และทุกส่วนเชื่อมต่อจุดยอดกับจุดที่เป็นไปได้ทั้งหมด ของฐาน
เส้นตรงทั้งหมดที่ผ่านจุดยอดของกรวยและจุดใดๆ ของเส้นโค้งที่ล้อมรอบฐานของกรวยเรียกว่าเครื่องกำเนิดกรวย โดยทั่วไปแล้วในปัญหาทางเรขาคณิต เจเนราทริกซ์ของเส้นตรงหมายถึงส่วนของเส้นตรงที่อยู่ระหว่างจุดยอดและระนาบของฐานของกรวย
ฐานของเส้นผสมแบบจำกัดเป็นกรณีที่หายากมาก มีการระบุไว้ที่นี่เพียงเพราะสามารถพิจารณาได้ในเรขาคณิต กรณีที่มีไกด์โค้งมักถูกพิจารณามากกว่า แม้ว่าทั้งกรณีที่มีเส้นโค้งตามอำเภอใจและกรณีที่มีแนวทางผสมนั้นมีประโยชน์เพียงเล็กน้อยและเป็นการยากที่จะได้รูปแบบใดๆ จากสิ่งเหล่านี้ ในบรรดากรวยต่างๆ มีการศึกษากรวยกลมด้านขวาในวิชาเรขาคณิตเบื้องต้น

เป็นที่ทราบกันว่าวงกลมเป็นกรณีพิเศษของเส้นโค้งปิด วงกลมคือรูปร่างแบนที่ล้อมรอบด้วยวงกลม เมื่อนำวงกลมมาเป็นแนวทาง เราสามารถกำหนดกรวยทรงกลมได้
คำจำกัดความ 2 . กรวยทรงกลมคือวัตถุที่ประกอบด้วยวงกลม (ฐาน) จุดที่ไม่อยู่ในระนาบของฐาน (จุดยอด) และทุกส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดกับจุดฐาน
คำจำกัดความ 3 . ความสูงของกรวยคือตั้งฉากจากด้านบนถึงระนาบของฐานกรวย คุณสามารถเลือกกรวยซึ่งมีความสูงอยู่ที่กึ่งกลางของฐานแบน
คำจำกัดความที่ 4 . กรวยตรงคือกรวยที่มีความสูงเป็นจุดศูนย์กลางของฐานกรวย
ถ้าเรารวมคำจำกัดความทั้งสองนี้เข้าด้วยกัน เราจะได้กรวยซึ่งมีฐานเป็นวงกลม และความสูงตกอยู่ที่ศูนย์กลางของวงกลมนี้
คำจำกัดความที่ 5 . กรวยกลมขวาคือกรวยที่มีฐานเป็นวงกลม และมีความสูงเชื่อมระหว่างด้านบนกับจุดศูนย์กลางของฐานของกรวยนี้ กรวยดังกล่าวได้มาจากการหมุนสามเหลี่ยมมุมฉากรอบขาข้างใดข้างหนึ่ง ดังนั้นกรวยกลมด้านขวาจึงเป็นส่วนสำคัญของการปฏิวัติและเรียกอีกอย่างว่ากรวยแห่งการปฏิวัติ เว้นแต่จะระบุไว้เป็นอย่างอื่น เพื่อความกระชับในสิ่งที่ตามมาเราก็แค่พูดว่ารูปกรวย
ต่อไปนี้เป็นคุณสมบัติบางประการของกรวย:
ทฤษฎีบท 1. เครื่องกำเนิดกรวยทั้งหมดเท่ากัน การพิสูจน์. ความสูงของ MO จะตั้งฉากกับเส้นตรงทั้งหมดของฐาน ตามคำนิยาม คือเส้นตรงที่ตั้งฉากกับระนาบ ดังนั้น สามเหลี่ยม MOA, MOB และ MOS จึงเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสและเท่ากันบนสองขา (MO คือรูปทั่วไป, OA=OB=OS คือรัศมีของฐาน ดังนั้น ด้านตรงข้ามมุมฉาก เช่น เครื่องกำเนิดไฟฟ้า ก็เท่ากันเช่นกัน
บางครั้งเรียกว่ารัศมีของฐานกรวย รัศมีกรวย. ความสูงของกรวยก็เรียกว่า แกนกรวยดังนั้นส่วนใดๆ ที่ผ่านส่วนสูงจึงเรียกว่า ส่วนตามแนวแกน. ส่วนตามแนวแกนจะตัดฐานที่มีเส้นผ่านศูนย์กลาง (เนื่องจากเส้นตรงที่ส่วนแกนและระนาบของฐานตัดผ่านจุดศูนย์กลางของวงกลม) และก่อตัวเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว
ทฤษฎีบท 1.1 ส่วนตามแนวแกนของกรวยเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว สามเหลี่ยม AMB จึงเป็นหน้าจั่ว เพราะ MB และ MA ทั้งสองด้านเป็นเครื่องกำเนิดไฟฟ้า มุม AMB คือมุมที่จุดยอดของส่วนตามแนวแกน

คำนิยาม. ด้านบนของกรวยคือจุด (K) ที่รังสีกำเนิด

คำนิยาม. ฐานโคนคือระนาบที่เกิดจากจุดตัดของพื้นผิวเรียบกับรังสีทั้งหมดที่เล็ดลอดออกมาจากยอดกรวย กรวยสามารถมีฐานได้ เช่น วงกลม วงรี ไฮเปอร์โบลา และพาราโบลา

คำนิยาม. Generatrix ของกรวย(L) คือส่วนใดๆ ที่เชื่อมต่อจุดยอดของกรวยกับขอบเขตของฐานของกรวย เจเนราทริกซ์คือส่วนของรังสีที่โผล่ออกมาจากจุดยอดของกรวย

สูตร. ความยาวเครื่องกำเนิดไฟฟ้า(L) ของกรวยกลมขวาผ่านรัศมี R และความสูง H (ผ่านทฤษฎีบทพีทาโกรัส):

คำนิยาม. แนะนำกรวยคือเส้นโค้งที่อธิบายรูปร่างของฐานของกรวย

คำนิยาม. พื้นผิวด้านข้างกรวยคือผลรวมของส่วนประกอบทั้งหมดของกรวย นั่นคือพื้นผิวที่เกิดจากการเคลื่อนตัวของเจเนราทริกซ์ไปตามแนวกรวย

คำนิยาม. พื้นผิวกรวยประกอบด้วยพื้นผิวด้านข้างและฐานของกรวย

คำนิยาม. ความสูงกรวย (H) คือส่วนที่ยื่นออกมาจากด้านบนของกรวยและตั้งฉากกับฐาน

คำนิยาม. แกนกรวย (a) เป็นเส้นตรงที่ลากผ่านส่วนบนของกรวยและจุดศูนย์กลางของฐานกรวย

คำนิยาม. เทเปอร์ (C)กรวยคืออัตราส่วนของเส้นผ่านศูนย์กลางของฐานกรวยต่อความสูง ในกรณีของกรวยที่ถูกตัดทอน นี่คืออัตราส่วนของส่วนต่างของเส้นผ่านศูนย์กลาง ภาพตัดขวาง D และ d ของกรวยที่ถูกตัดทอนให้มีระยะห่างระหว่างกัน โดยที่ R คือรัศมีของฐาน และ H คือความสูงของกรวย