Izvedite formulu za izračunavanje površine jednakostraničnog trokuta. pravokutni trokut

U školskom tečaju geometrije ogromna količina vremena posvećena je proučavanju trokuta. Učenici računaju kutove, grade simetrale i visine, otkrivaju po čemu se oblici međusobno razlikuju te najlakše pronalaze njihovu površinu i opseg. Čini se da to nikako nije korisno u životu, ali ponekad je ipak korisno naučiti, na primjer, kako odrediti je li trokut jednakostraničan ili tup. Kako to učiniti?

Vrste trokuta

Tri točke koje ne leže na istoj pravoj liniji i dužine koje ih spajaju. Čini se da je ova brojka najjednostavnija. Kako mogu izgledati trokuti ako imaju samo tri stranice? Zapravo, postoji prilično velik broj opcija, a nekima od njih posvećuje se posebna pozornost u sklopu školskog tečaja geometrije. Pravilan trokut je jednakostraničan, odnosno svi njegovi kutovi i stranice su jednaki. Ima niz izvanrednih svojstava, o kojima će biti riječi kasnije.

Jednakokračan ima samo dvije jednake stranice, a također je vrlo zanimljiv. U pravokutnom, kao što možete pogoditi, jedan od uglova je ravan ili tup. Međutim, mogu biti i jednakokračni.

Postoji i jedan poseban koji se zove egipatski. Njegove strane su 3, 4 i 5 jedinica. Međutim, ona je pravokutna. Vjeruje se da su ga aktivno koristili egipatski geodeti i arhitekti za izgradnju pravih kutova. Vjeruje se da su uz njegovu pomoć izgrađene poznate piramide.

Pa ipak, svi vrhovi trokuta mogu ležati na jednoj ravnoj liniji. U ovom slučaju, on će se zvati degeneriranim, dok se svi ostali nazivaju nedegeneriranim. Oni su jedan od predmeta proučavanja geometrije.

Trokut je jednakostraničan

Naravno, točne brojke su uvijek od najvećeg interesa. Čine se savršenijima, gracioznijima. Formule za izračunavanje njihovih karakteristika često su jednostavnije i kraće nego za obične brojke. To vrijedi i za trokute. Nije iznenađujuće da im se pri proučavanju geometrije posvećuje velika pozornost: školarci se uče razlikovati pravilne figure od ostalih, a također im se govori o nekim njihovim zanimljivim karakteristikama.

Značajke i svojstva

Kao što ime sugerira, svaka stranica jednakostraničnog trokuta jednaka je drugim dvjema. Osim toga, ima niz značajki, zahvaljujući kojima je moguće utvrditi je li brojka točna ili ne.

Ako se promatra barem jedan od gornjih znakova, tada je trokut jednakostraničan. Za redovnu figuru, sve gore navedene tvrdnje su točne.

Svi trokuti imaju niz izvanrednih svojstava. Prvo, srednja linija, to jest segment koji dvije strane dijeli na pola i paralelan s trećom, jednak je polovici baze. Drugo, zbroj svih kutova ove figure uvijek je jednak 180 stupnjeva. Osim toga, postoji još jedan zanimljiv odnos u trokutima. Dakle, nasuprot veće stranice leži veći kut i obrnuto. Ali to, naravno, nema nikakve veze s jednakostraničnim trokutom, jer su mu svi kutovi jednaki.

Upisane i opisane kružnice

Često u tečaju geometrije učenici također uče kako oblici mogu međusobno komunicirati. Posebno se proučavaju kružnice upisane u poligone ili opisane oko njih. O čemu se radi?

Upisana kružnica je kružnica kojoj se sve stranice mnogokuta tangiraju. Opisani – onaj koji ima dodirne točke sa svim uglovima. Za svaki trokut uvijek je moguće konstruirati i prvu i drugu kružnicu, ali samo po jednu od svake vrste. Dokazi za ovo dvoje

teoremi se daju u školskom tečaju geometrije.

Osim izračunavanja parametara samih trokuta, neki zadaci uključuju i izračunavanje polumjera tih kružnica. I formule za
jednakostranični trokut izgleda ovako:

gdje je r polumjer upisane kružnice, R polumjer opisane kružnice, a duljina stranice trokuta.

Izračun visine, opsega i površine

Glavni parametri koje školarci računaju tijekom proučavanja geometrije ostaju nepromijenjeni za gotovo sve figure. To su opseg, površina i visina. Radi lakšeg izračuna postoje razne formule.

Dakle, opseg, odnosno duljina svih stranica, izračunava se na sljedeće načine:

P = 3a = 3√ ̅3R = 6√ ̅3r, gdje je a stranica pravilnog trokuta, R polumjer opisane kružnice, r upisane.

h = (√ ̅3/2)*a, gdje je a duljina stranice.

Konačno, formula je izvedena iz standarda, odnosno umnoška polovice baze i njezine visine.

S = (√ ̅3/4)*a 2 , gdje je a duljina stranice.

Također, ova vrijednost se može izračunati preko parametara opisane ili upisane kružnice. Za to postoje i posebne formule:

S = 3√ ̅3r 2 = (3√ ̅3/4)*R 2 , gdje su r i R polumjeri upisane i opisane kružnice.

zgrada

Još jedna zanimljiva vrsta problema, uključujući trokute, povezana je s potrebom crtanja određenog oblika pomoću minimalnog skupa

alati: šestar i ravnalo bez podjela.

Kako biste izgradili pravilan trokut samo s ovim alatima, morate slijediti nekoliko koraka.

1. Potrebno je nacrtati kružnicu bilo kojeg polumjera sa središtem u proizvoljnoj točki A. Mora se primijetiti.
2. Zatim morate nacrtati ravnu liniju kroz ovu točku.
3. Sjecišta kružnice i pravca moraju biti označena kao B i C. Sve konstrukcije moraju biti izvedene s najvećom mogućom točnošću.
4. Zatim morate izgraditi još jedan krug s istim radijusom i središtem u točki C ili luk s odgovarajućim parametrima. Raskrižja će biti označena D i F.
5. Točke B, F, D moraju biti povezane segmentima. Izgrađen je jednakostranični trokut.

Rješavanje takvih problema obično je problem za školarce, ali ova vještina može biti korisna u svakodnevnom životu.

Video tečaj "Get an A" uključuje sve teme potrebne za uspješno polaganje ispita iz matematike od 60-65 bodova. Potpuno svi zadaci 1-13 profila USE iz matematike. Prikladno i za polaganje Basic USE iz matematike. Ako želite položiti ispit sa 90-100 bodova, trebate riješiti 1. dio za 30 minuta i to bez greške!

Pripremni tečaj za ispit za 10-11 razred, kao i za nastavnike. Sve što je potrebno za rješavanje 1. dijela ispita iz matematike (prvih 12 zadataka) i 13. zadatka (trigonometrija). A ovo je više od 70 bodova na Jedinstvenom državnom ispitu, a bez njih ne može ni student sa sto bodova ni humanist.

Sva potrebna teorija. Brza rješenja, zamke i tajne ispita. Analizirani su svi relevantni zadaci 1. dijela iz zadaća Banke FIPI. Tečaj je u potpunosti u skladu sa zahtjevima USE-2018.

Tečaj sadrži 5 velikih tema, svaka po 2,5 sata. Svaka tema je dana od nule, jednostavno i jasno.

Stotine ispitnih zadataka. Tekstualni problemi i teorija vjerojatnosti. Jednostavni i lako pamtljivi algoritmi za rješavanje problema. Geometrija. Teorija, referentni materijal, analiza svih vrsta USE zadataka. Stereometrija. Lukavi trikovi za rješavanje, korisne varalice, razvoj prostorne mašte. Trigonometrija ispočetka - do zadatka 13. Razumijevanje umjesto natrpavanja. Vizualno objašnjenje složenih pojmova. Algebra. Korijeni, potencije i logaritmi, funkcija i izvod. Podloga za rješavanje složenih zadataka 2. dijela ispita.

U elementarnoj geometriji, jednakostranični trokut je pravilan mnogokut s tri stranice. Ako ovu definiciju malo proširimo i specificiramo, ispada da je trokut točan ako su mu sve stranice iste duljine, a kutovi su 60°. Kako pronaći uči se na nastavi geometrije u srednjoj školi, au praksi to znanje često moraju primijeniti inženjeri dizajna i arhitekti.

Izračunavanje površine jednakostraničnog trokuta

a- stranica trokuta

h- nadmorska visina trokuta

S- kvadrat

arhitekt površina jednakostraničnog trokuta moraju pronaći ako elementi građevina koje projektiraju imaju takav oblik. To mogu biti nestandardni prozori (i obični i krovni), koji se često nalaze u zgradama s originalnim arhitektonskim dizajnom. Njihovi dizajneri formula za površinu jednakostraničnog trokuta potrebno je kako bi se utvrdilo hoće li prozor biti dovoljno velik da kroz njega u prostoriju prodire potrebna količina dnevne svjetlosti. Osim toga, zabati onih stambenih seoskih kuća i vikendica, kao i gospodarskih zgrada, čiji se krovni nagibi ponekad nalaze pod kutom od 60 °, često imaju oblik jednakostraničnog trokuta.

Jednakostranični trokutičesto se mogu naći u sklopu raznih tehničkih uređaja i alata. Takav oblik imaju, na primjer, izmjenjivi umetci karbidnih tokarskih rezača. Ugrađuju se na držač montažom na posebnu os, a učvršćuju klinastim čeličnim elementom čije se stezanje vrši navojnim spojem. Nakon što se jedna od strana umetka otupi tijekom rezanja, umetak se uklanja, zakreće za 60° i ponovno fiksira, pri čemu se može koristiti drugi, oštriji rub. Dakle, zbog činjenice da karbidni uložak ima oblik jednakostraničnog trokuta, takvo se resetiranje može izvesti tri puta. Naoštreni tupi rubovi nisu podložni, a ti se elementi alata za rezanje zbrinjavaju pretapanjem.

I vozači i pješaci dobro poznaju prometne znakove koji su jednakostranični trokuti. Ovakav oblik ih čini vidljivijima, pa stoga uglavnom upozoravaju. Nije potrebno spominjati da je u procesu njihovog razvoja i pisanja relevantne regulatorne i tehničke dokumentacije bilo potrebno koristiti formula za izračunavanje površine jednakostraničnog trokuta.

Oni jako dobro znaju što je to jednakostraničan trokut, ljubitelji tako popularne igre kao što je biljar. Uz pomoć posebnih okvira koji imaju odgovarajući oblik, loptice se postavljaju određenim redoslijedom prije početka svake igre. Ovi proizvodi izrađeni su od drva, plastike ili metala.

Među geometrijskim oblicima koji se obrađuju u dijelu o geometriji najčešće se susreće pri rješavanju određenih problema s trokutom. Formiraju ga tri ravne linije. Ne sijeku se u jednoj točki i nisu paralelni. Može se dati još jedna definicija: trokut je isprekidana zatvorena linija, koja se sastoji od tri veze, gdje su njen početak i kraj spojeni u jednoj točki. Ako su sve tri strane jednake veličine, onda je to pravilan trokut ili, kako kažu, jednakostraničan.

Kako odrediti Da biste riješili takve probleme, morate znati neka svojstva ove geometrijske figure. Prvo, svi kutovi su jednaki. Drugo, visina koja se spušta od vrha prema dnu je i medijan i visina. To sugerira da visina dijeli vrh trokuta na dva jednaka kuta, a suprotnu stranicu na dva jednaka segmenta. Budući da se jednakostranični trokut sastoji od dva, pri određivanju željene vrijednosti potrebno je koristiti Pitagorin poučak.

Izračun površine trokuta može se izvršiti na različite načine, ovisno o poznatim vrijednostima.

1. Promotrimo jednakostranični trokut s poznatom stranicom b i visinom h. Površina trokuta u ovom slučaju bit će jednaka jednoj sekundi produkta stranice i visine. U obliku formule to bi izgledalo ovako:

Drugim riječima, površina jednakostraničnog trokuta je polovica umnoška njegove stranice i visine.

2. Ako je poznata samo veličina strane, tada je prije traženja područja potrebno izračunati njegovu visinu. Da biste to učinili, razmotrite polovicu trokuta, u kojoj će visina biti jedna od nogu, hipotenuza je strana trokuta, a druga noga je polovica strane trokuta prema svojim svojstvima. Sve iz istog Pitagorinog poučka, iz kojeg je poznato da kvadrat hipotenuze odgovara zbroju kvadrata kateta. Ako uzmemo u obzir polovicu trokuta, tada je u ovom slučaju strana hipotenuza, polovica strane je jedna noga, a visina je druga.

(b/2)²+ h2= b², dakle

h²= b²-(b/2)². Dovedimo pod zajednički nazivnik:

Kao što vidite, visina predmetne figure jednaka je umnošku polovice njezine strane i korijena iz tri.

Zamijenite formulu i pogledajte: S=1/2* b* b/2√3= b²/4√3.

Odnosno, površina jednakostraničnog trokuta jednaka je umnošku četvrtog dijela kvadrata stranice i korijena od tri.

3. Postoje i takvi zadaci u kojima je potrebno odrediti površinu jednakostraničnog trokuta s poznatom visinom. I ispada da je lako. Već smo u prethodnom slučaju zaključili da je h²= 3 b²/4. Zatim, trebate izvesti stranu odavde i zamijeniti je u formuli površine. Izgledat će ovako:

b²=4/3* h², dakle b=2h/√3. Zamjenom u formuli za područje, dobivamo:

S=1/2* h*2h/√3, stoga je S= h²/√3.

Postoje problemi kada je potrebno pronaći površinu jednakostraničnog trokuta duž polumjera upisane ili opisane kružnice. Za ovaj izračun također postoje određene formule koje izgledaju ovako: r = √3* b/6, R=√3* b/3.

Ponašamo se prema nama poznatom principu. S poznatim polumjerom izvodimo stranu iz formule i izračunavamo je zamjenom poznate vrijednosti polumjera. Dobivenu vrijednost zamijenimo u već poznatu formulu za izračun površine pravilnog trokuta, izvršimo aritmetičke izračune i pronađemo željenu vrijednost.

Kao što vidite, za rješavanje sličnih problema potrebno je poznavati ne samo svojstva pravilnog trokuta, već i Pitagorin poučak, te polumjer opisane i upisane kružnice. Za one koji imaju ovo znanje, rješenje takvih problema neće biti teško.