Kako pronaći površinu pravilne četverokutne piramide. Bočna površina piramide
trokutasta piramida Poliedrom se naziva poliedar čija je osnovica pravilan trokut.
U takvoj su piramidi lica baze i rubovi stranica međusobno jednaki. Prema tome, površina bočnih stranica nalazi se iz zbroja površina tri identična trokuta. Pomoću formule možete pronaći površinu bočne površine pravilne piramide. I možete napraviti izračun nekoliko puta brže. Da biste to učinili, primijenite formulu za područje bočne površine trokutaste piramide:
gdje je p opseg baze, čije su sve strane jednake b, a je apotem spušten od vrha do ove baze. Razmotrite primjer izračuna površine trokutaste piramide.
Zadatak: Neka je dana ispravna piramida. Stranica trokuta koja leži na bazi je b = 4 cm. Apotem piramide je a = 7 cm. Pronađite površinu bočne površine piramide.
Budući da prema uvjetima zadatka znamo duljine svih potrebnih elemenata, pronaći ćemo opseg. Zapamtite da su u pravilnom trokutu sve strane jednake, pa se stoga opseg izračunava formulom:
Zamijenite podatke i pronađite vrijednost:
Sada, znajući opseg, možemo izračunati bočnu površinu: 
Da biste primijenili formulu za površinu trokutaste piramide za izračun pune vrijednosti, morate pronaći površinu baze poliedra. Za to se koristi formula: 
Formula za područje baze trokutaste piramide može biti drugačija. Dopušteno je koristiti bilo koji izračun parametara za određenu figuru, ali najčešće to nije potrebno. Razmotrite primjer izračuna površine baze trokutaste piramide.
Zadatak: U pravilnoj piramidi stranica trokuta koji leži na bazi je a = 6 cm. Izračunaj oplošje baze.
Za izračun potrebna nam je samo duljina stranice pravilnog trokuta koja se nalazi u podnožju piramide. Zamijenite podatke u formuli: 
Vrlo često je potrebno pronaći ukupnu površinu poliedra. Da biste to učinili, morate dodati površinu bočne površine i baze. 
Razmotrite primjer izračuna površine trokutaste piramide.
Problem: Neka je dana pravilna trokutasta piramida. Stranica baze je b = 4 cm, apotem je a = 6 cm. Nađite ukupnu površinu piramide.
Najprije pronađimo površinu bočne površine pomoću već poznate formule. Izračunajte opseg:
Zamjenjujemo podatke u formuli: 
Sada pronađite područje baze: 
Znajući površinu baze i bočne površine, nalazimo ukupnu površinu piramide: 
Pri izračunavanju površine pravilne piramide ne treba zaboraviti da je baza pravilan trokut i da su mnogi elementi ovog poliedra međusobno jednaki.
Postoji li opća formula? Ne, općenito, ne. Vi samo trebate pronaći površine bočnih stranica i zbrojiti ih.
Formula se može napisati za ravna prizma:
Gdje je opseg baze.
Ali svejedno, puno je lakše u svakom slučaju zbrojiti sva područja nego zapamtiti dodatne formule. Na primjer, izračunajmo ukupnu površinu pravilne šesterokutne prizme.
Sve bočne strane su pravokutnici. Sredstva.
To je već uzeto u obzir pri izračunavanju volumena.
Tako dobivamo:
Površina piramide
Za piramidu također vrijedi opće pravilo:
Sada izračunajmo površinu najpopularnijih piramida.
Površina pravilne trokutaste piramide
Neka stranica baze bude jednaka, a bočni rub jednak. Moram pronaći i.
Prisjetite se sada toga
Ovo je područje pravokutnog trokuta.
I sjetimo se kako pronaći ovo područje. Koristimo formulu površine:
Imamo "" - ovo, i "" - ovo također, eh.
Hajdemo sada pronaći.
Koristeći osnovnu formulu površine i Pitagorin poučak, nalazimo
Pažnja: ako imate pravilan tetraedar (tj.), onda je formula:
Površina pravilne četverokutne piramide
Neka stranica baze bude jednaka, a bočni rub jednak.
U podnožju je kvadrat, te stoga.
Ostaje pronaći područje bočne strane
Površina pravilne šesterokutne piramide.
Neka stranica baze bude jednaka, a bočni rub.
Kako pronaći? Šesterokut se sastoji od točno šest identičnih pravilnih trokuta. Već smo tražili površinu pravilnog trokuta kada smo izračunali površinu pravilne trokutaste piramide, ovdje koristimo pronađenu formulu.
Pa, već smo dva puta tražili područje bočne strane
Pa tema je gotova. Ako čitate ove retke, onda ste jako cool.
Jer samo 5% ljudi je u stanju svladati nešto samostalno. A ako ste pročitali do kraja, onda ste u onih 5%!
Sada ono najvažnije.
Shvatili ste teoriju o ovoj temi. I, ponavljam, to je ... to je jednostavno super! Već si bolji od velike većine svojih vršnjaka.
Problem je što to možda neće biti dovoljno...
Za što?
Za uspješno položen ispit, za upis na proračun na institut i, ŠTO JE NAJVAŽNIJE, doživotno.
Neću vas uvjeravati ni u što, samo ću reći jedno...
Ljudi koji su stekli dobro obrazovanje zarađuju puno više od onih koji ga nisu stekli. Ovo je statistika.
Ali to nije glavna stvar.
Glavno da su SRETNIJI (postoje takve studije). Možda zato što se pred njima otvara mnogo više mogućnosti i život postaje svjetliji? ne znam...
Ali razmislite sami...
Što je potrebno da budete bolji od drugih na ispitu i na kraju ... sretniji?
PUNITE SVOJU RUKU, RJEŠAVAJUĆI ZADATKE NA OVU TEMU.
Na ispitu vas neće pitati teorija.
Trebat će vam rješavati probleme na vrijeme.
A, ako ih niste riješili (PUNO!), sigurno ćete negdje napraviti glupu pogrešku ili je jednostavno nećete napraviti na vrijeme.
To je kao u sportu - trebaš ponoviti puno puta da bi sigurno pobijedio.
Pronađite kolekciju gdje god želite obavezno s rješenjima, detaljnom analizom i odluči, odluči, odluči!
Možete koristiti naše zadatke (nije nužno) i svakako ih preporučamo.
Kako biste se uhvatili u koštac s našim zadacima, morate pomoći produljiti vijek trajanja udžbenika YouClever koji upravo čitate.
Kako? Postoje dvije mogućnosti:
- Otključajte pristup svim skrivenim zadacima u ovom članku -
- Otključajte pristup svim skrivenim zadacima u svih 99 članaka vodiča - Kupite udžbenik - 499 rubalja
Da, imamo 99 takvih članaka u udžbeniku i odmah se otvara pristup svim zadacima i svim skrivenim tekstovima u njima.
Pristup svim skrivenim zadacima omogućen je tijekom cijelog životnog vijeka stranice.
U zaključku...
Ako vam se ne sviđaju naši zadaci, pronađite druge. Samo nemojte stati s teorijom.
“Razumijem” i “Znam riješiti” potpuno su različite vještine. Trebate oboje.
Pronađite probleme i riješite ih!
Uputa
Prije svega, vrijedno je razumjeti da je bočna površina piramide predstavljena s nekoliko trokuta, čija se područja mogu pronaći pomoću raznih formula, ovisno o poznatim podacima:
S \u003d (a * h) / 2, gdje je h visina spuštena na stranu a;
S = a*b*sinβ, gdje su a, b stranice trokuta, a β kut između tih stranica;
S \u003d (r * (a + b + c)) / 2, gdje su a, b, c stranice trokuta, a r je polumjer kruga upisanog u ovaj trokut;
S \u003d (a * b * c) / 4 * R, gdje je R polumjer trokuta opisanog oko kruga;
S \u003d (a * b) / 2 \u003d r² + 2 * r * R (ako je trokut pravokutan);
S = S = (a²*√3)/4 (ako je trokut jednakostraničan).
Zapravo, ovo su samo najosnovnije od poznatih formula za pronalaženje površine trokuta.
Nakon što smo izračunali, koristeći gornje formule, površine svih trokuta koji su lica piramide, možemo početi izračunavati površinu ove piramide. To se radi vrlo jednostavno: trebate zbrojiti površine svih trokuta koji tvore bočnu površinu piramide. To se može izraziti formulom poput ove:
Sp = ΣSi, gdje je Sp bočna površina, Si je površina i-tog trokuta, koja je dio njegove bočne površine.
Radi veće jasnoće, možemo razmotriti mali primjer: dana je redovita piramida, čije su bočne strane oblikovane jednakostraničnim trokutima, a na njezinoj osnovi leži kvadrat. Duljina ruba ove piramide je 17 cm. Potrebno je pronaći površinu bočne površine ove piramide.
Rješenje: poznata je duljina brida ove piramide, poznato je da su njena lica jednakostraničnog trokuta. Dakle, možemo reći da su sve strane svih trokuta bočne površine 17 cm. Stoga, da biste izračunali površinu bilo kojeg od ovih trokuta, morat ćete primijeniti formulu:
S = (17²*√3)/4 = (289*1,732)/4 = 125,137 cm²
Poznato je da u podnožju piramide leži kvadrat. Dakle, jasno je da su dana četiri jednakostranična trokuta. Tada se površina bočne površine piramide izračunava na sljedeći način:
125,137 cm² * 4 = 500,548 cm²
Odgovor: Bočna površina piramide je 500,548 cm².
Prvo izračunavamo površinu bočne površine piramide. Bočna ploha je zbroj površina svih bočnih ploha. Ako imate posla s pravilnom piramidom (to jest onom koja se temelji na pravilnom mnogokutu, a vrh je projiciran u središte tog poligona), tada je za izračunavanje cijele bočne površine dovoljno pomnožiti opseg bazu (to jest, zbroj duljina svih stranica mnogokuta koji leži na osnovnoj piramidi) s visinom bočne strane (koja se inače naziva apotem) i podijelite dobivenu vrijednost s 2: Sb = 1/2P* h, gdje je Sb površina bočne površine, P je opseg baze, h je visina bočne strane (apotem).
Ako imate proizvoljnu piramidu ispred sebe, tada ćete morati zasebno izračunati površine svih lica, a zatim ih zbrojiti. Budući da su bočne strane piramide trokuti, upotrijebite formulu za površinu trokuta: S=1/2b*h, gdje je b baza trokuta, a h visina. Kada su površine svih ploha izračunate, ostaje ih samo zbrojiti i dobiti površinu bočne plohe piramide.
Zatim morate izračunati površinu baze piramide. Odabir formule za izračun ovisi o tome koji mnogokut leži u osnovi piramide: ispravan (tj. onaj čije sve strane imaju istu duljinu) ili netočan. Površina pravilnog mnogokuta može se izračunati množenjem opsega s polumjerom kruga upisanog u poligon i dijeljenjem dobivene vrijednosti s 2: Sn=1/2P*r, gdje je Sn površina poligon, P je opseg, a r polumjer kružnice upisane u mnogokut.
Krnja piramida je poliedar kojeg čine piramida i njezin presjek paralelan s bazom. Pronalaženje površine bočne površine piramide uopće nije teško. Vrlo je jednostavno: površina je jednaka umnošku polovine zbroja baza s. Razmotrimo primjer izračuna bočne površine. Recimo da je dana pravilna piramida. Duljine baze su b = 5 cm, c = 3 cm. Apotem a = 4 cm. Da biste pronašli površinu bočne površine piramide, prvo morate pronaći opseg baza. U velikoj bazi to će biti jednako p1=4b=4*5=20 cm. U manjoj bazi formula će biti sljedeća: p2=4c=4*3=12 cm. Dakle, površina će biti jednako: s=1/2(20+12 )*4=32/2*4=64 cm.
Prilikom priprema za ispit iz matematike učenici moraju sistematizirati svoje znanje iz algebre i geometrije. Želio bih kombinirati sve poznate informacije, na primjer, kako izračunati površinu piramide. Štoviše, počevši od baze i bočnih strana do cijele površine. Ako je situacija jasna s bočnim stranama, budući da su trokuti, tada je baza uvijek drugačija.
Što učiniti kada se pronađe područje baze piramide?
To može biti apsolutno bilo koja figura: od proizvoljnog trokuta do n-kuta. I ta baza, osim razlike u broju kutova, može biti pravilan lik ili netočan. U USE zadacima od interesa za školarce postoje samo zadaci s točnim brojkama u osnovi. Stoga ćemo govoriti samo o njima.
pravokutni trokut
To je jednakostraničan. Onaj u kojem su sve strane jednake i označen slovom "a". U ovom slučaju, površina baze piramide izračunava se formulom:
S = (a 2 * √3) / 4.
Kvadrat
Formula za izračunavanje njegove površine je najjednostavnija, ovdje je "a" opet strana:
Proizvoljni pravilni n-kut
Istu oznaku ima stranica poligona. Za broj uglova koristi se latinično slovo n.
S = (n * a 2) / (4 * tg (180º/n)).
Kako postupiti pri izračunu bočne i ukupne površine?
Budući da je baza pravilan lik, sva su lica piramide jednaka. Štoviše, svaki od njih je jednakokračan trokut, jer su bočni rubovi jednaki. Zatim, da biste izračunali bočnu površinu piramide, potrebna vam je formula koja se sastoji od zbroja identičnih monoma. Broj članova određen je brojem stranica baze.
Površina jednakokračnog trokuta izračunava se formulom u kojoj se polovica umnoška baze množi s visinom. Ova visina u piramidi naziva se apotemom. Njegova oznaka je "A". Opća formula za bočnu površinu je:
S \u003d ½ P * A, gdje je P opseg baze piramide.
Postoje situacije kada stranice baze nisu poznate, ali su zadani bočni bridovi (c) i ravni kut pri njenom vrhu (α). Tada bi trebalo koristiti takvu formulu za izračunavanje bočne površine piramide:
S = n/2 * u 2 sin α .
Zadatak #1
Stanje. Nađite ukupnu površinu piramide ako joj baza leži sa stranicom od 4 cm, a apotem ima vrijednost √3 cm.
Riješenje. Morate početi izračunavanjem perimetra baze. Budući da je ovo pravilan trokut, tada je P \u003d 3 * 4 \u003d 12 cm. Budući da je apotem poznat, možete odmah izračunati površinu cijele bočne površine: ½ * 12 * √3 = 6 √3 cm 2.
Za trokut na bazi dobit će se sljedeća vrijednost površine: (4 2 * √3) / 4 \u003d 4√3 cm 2.
Da biste odredili cijelu površinu, morat ćete zbrojiti dvije dobivene vrijednosti: 6√3 + 4√3 = 10√3 cm 2.
Odgovor. 10√3 cm2.
Zadatak #2
Stanje. Postoji pravilna četverokutna piramida. Duljina stranice baze je 7 mm, bočnog ruba 16 mm. Morate znati njegovu površinu.
Riješenje. Kako je poliedar četverokutan i pravilan, onda mu je baza kvadrat. Naučivši područja baze i bočnih strana, bit će moguće izračunati površinu piramide. Formula za kvadrat je data gore. A na bočnim stranama poznate su sve stranice trokuta. Stoga možete koristiti Heronovu formulu za izračunavanje njihovih površina.
Prvi izračuni su jednostavni i dovode do ovog broja: 49 mm 2. Za drugu vrijednost morat ćete izračunati poluopseg: (7 + 16 * 2): 2 = 19,5 mm. Sada možete izračunati površinu jednakokračnog trokuta: √ (19,5 * (19,5-7) * (19,5-16) 2) = √2985,9375 = 54,644 mm 2. Postoje samo četiri takva trokuta, pa ćete ga pri izračunavanju konačnog broja morati pomnožiti s 4.
Ispada: 49 + 4 * 54.644 \u003d 267.576 mm 2.
Odgovor. Željena vrijednost je 267,576 mm 2.
Zadatak #3
Stanje. Za pravilnu četverokutnu piramidu morate izračunati površinu. U njemu je stranica kvadrata 6 cm, a visina 4 cm.
Riješenje. Najlakši način je upotrijebiti formulu s umnoškom opsega i apoteme. Prvu vrijednost je lako pronaći. Drugo je malo teže.
Morat ćemo se sjetiti Pitagorinog poučka i uzeti u obzir da se sastoji od visine piramide i apoteme, što je hipotenuza. Drugi krak je jednak polovici stranice kvadrata, budući da visina poliedra pada u njegovu sredinu.
Željeni apotem (hipotenuza pravokutnog trokuta) je √(3 2 + 4 2) = 5 (cm).
Sada možete izračunati željenu vrijednost: ½ * (4 * 6) * 5 + 6 2 \u003d 96 (cm 2).
Odgovor. 96 cm2.
Zadatak #4
Stanje. Ispravna stranica njegove baze je 22 mm, bočna rebra su 61 mm. Kolika je površina bočne površine ovog poliedra?
Riješenje. Obrazloženje u njemu je isto kao što je opisano u problemu br. 2. Samo tamo je dana piramida s kvadratom u bazi, a sada je šesterokut.
Prije svega, površina baze izračunava se pomoću gornje formule: (6 * 22 2) / (4 * tg (180º / 6)) \u003d 726 / (tg30º) \u003d 726√3 cm 2.
Sada morate saznati poluopseg jednakokračnog trokuta, koji je bočna strana. (22 + 61 * 2): 2 = 72 cm. Ostaje izračunati površinu svakog takvog trokuta koristeći Heronovu formulu, a zatim je pomnožiti sa šest i dodati onom koji je ispao za baza.
Izračuni pomoću Heronove formule: √ (72 * (72-22) * (72-61) 2) \u003d √ 435600 \u003d 660 cm 2. Izračuni koji će dati bočnu površinu: 660 * 6 \u003d 3960 cm 2. Ostaje ih zbrojiti kako bismo saznali cijelu površinu: 5217,47≈5217 cm 2.
Odgovor. Baza - 726√3 cm 2, bočna površina - 3960 cm 2, cjelokupna površina - 5217 cm 2.
Ukupna površina bočne površine piramide sastoji se od zbroja površina njezinih bočnih stranica.
U četverokutnoj piramidi razlikuju se dvije vrste lica - četverokut u podnožju i trokuti sa zajedničkim vrhom, koji tvore bočnu površinu.
Prvo morate izračunati površinu bočnih strana. Da biste to učinili, možete koristiti formule za površinu trokuta ili također možete koristiti formulu za površinu četverokutne piramide (samo ako je poliedar pravilan). Ako je piramida pravilna i u njoj je poznata duljina brida a baze i njoj povučenog apotema h, tada je:
Ako su prema uvjetima zadane duljina brida c pravilne piramide i duljina stranice baze a, tada možete pronaći vrijednost pomoću sljedeće formule: 
Ako su zadane duljina rebra na bazi i oštri kut nasuprot njemu na vrhu, tada se bočna površina može izračunati omjerom kvadrata stranice a i udvostručenog kosinusa polovice kuta α: 
Razmotrite primjer izračuna površine četverokutne piramide kroz bočni rub i stranu baze.
Problem: Neka je dana pravilna četverokutna piramida. Duljina ruba b = 7 cm, duljina stranice baze a = 4 cm Zamijenite date vrijednosti u formulu:
Prikazali smo izračune površine jedne bočne strane za pravilnu piramidu. Odnosno. Da biste pronašli površinu cijele površine, potrebno je pomnožiti rezultat s brojem lica, odnosno s 4. Ako je piramida proizvoljna i njezina lica nisu međusobno jednaka, tada je potrebno izračunati površinu za svaku pojedinu stranu. Ako je baza pravokutnik ili paralelogram, onda je vrijedno zapamtiti njihova svojstva. Stranice ovih figura su paralelne u parovima, pa će, prema tome, lica piramide također biti identična u parovima.
Formula za područje baze četverokutne piramide izravno ovisi o tome koji četverokut leži u bazi. Ako je piramida točna, tada se površina baze izračunava formulom, ako je baza romb, tada morate zapamtiti kako se nalazi. Ako je baza pravokutnik, tada će pronalaženje njegove površine biti prilično jednostavno. Dovoljno je znati duljine stranica baze. Razmotrite primjer izračuna površine baze četverokutne piramide.
Zadatak: Neka je dana piramida u čijoj osnovi leži pravokutnik sa stranicama a = 3 cm, b = 5 cm.Na vrhu piramide sa svake strane je izostavljen po jedan apotem. h-a \u003d 4 cm, h-b \u003d 6 cm. Vrh piramide leži na istoj liniji sa sjecištem dijagonala. Pronađite ukupnu površinu piramide.
Formula za površinu četverokutne piramide sastoji se od zbroja površina svih lica i površine baze. Prvo, pronađimo područje baze: 
Sada razmotrite lica piramide. U parovima su identični, jer visina piramide siječe sjecište dijagonala. Odnosno, u našoj piramidi postoje dva trokuta s osnovicom a i visinom h-a, kao i dva trokuta s osnovicom b i visinom h-b. Sada nalazimo površinu trokuta koristeći dobro poznatu formulu: 
Sada ćemo izvesti primjer izračuna površine četverokutne piramide. U našoj piramidi s pravokutnikom u osnovi, formula će izgledati ovako:
