Описание производства с помощью технологического множества. Поведение производителя Производственное множество и его функции

Характеризуется переменными, которые принимают активное участие в изменении производственной функции (капитала, земли, труда, времени). Нейтральный технический прогресс определяется такими техническими изменениями (автономного или материального вида), которые не нарушают равновесия, то есть экономически и социально безопасны для общества. Представим все это в виде схемы (см. схему 4.1.).  

Рассмотрены основные типовые модели оптимизации производственной деятельности фирмы с линейным технологическим множеством, статистические и динамические модели планирования производственных инвестиций , вопросы экономико-математического анализа хозяйственных решений на основе использования аппарата двойственных оценок . Изложены основные подходы к проблематике оценки качества производственных инвестиций , а также методы и показатели оценки их эффективности.  

Рассмотрим очень важный для модельных приложений случай, когда технологическое множество производственной системы является линейным выпуклым множеством , т. е. модель производства оказывается линейной.  

Замечание. Совместно предположения 2.1 и 2.2 означают, что технологическое множество является выпуклым конусом . Предположение 2.3, выделяющее линейные технологии, означает, что этот конус является выпуклым многогранником в полупространстве  

Можно ли утверждать, что в экономической области фирмы с линейным технологическим множеством производственная функция является монотонной Как связано определение производственной функции с критерием оптимальности в задаче Канторовича  

Соотношение (3.26) дает возможность указать конкретный вид производственной функции для модели производственной системы с линейным технологическим множеством (рассмотренная выше модель (1.1)- (1.6))  

Общее технологическое множество производственного элемента может быть получено как результат объединения всех допустимых с точки зрения условий (2.1.2) и (2.1.3) векторов затраты - выпуск  

Описание технологического множества однопродуктового элемента, приведенное в предыдущем параграфе, является простейшим. Учет дополнительных свойств технологии элемента приводит к необходимости дополнить его рядом черт. Некоторые из них мы рассмотрим в этом параграфе. Конечно, приводимые рассмотрения не исчерпывают всех имеющихся в этом направлении возможностей.  

Сепарабельная выпуклая модель производства. Учет фактора нелинейности в описанной в предыдущем примере модели ограничений производства приводит к нелинейной сепарабельной модели многопродуктового элемента. Учет нелинейности осуществляется путем введения нелинейных сепарабельных производственных функций . Технологическое множество многопродуктового элемента с такими производственными функциями имеет вид  

В рассмотренных технологических моделях производственных элементов описание технологического множества дается путем задания множества допустимых затрат и множества допустимых выпусков ду каждого уровня затрат. Такого рода описания удобны в задачах типа оптимального распределения ресурсов , в которых при заданных уровнях потребления ресурсов приходится определить допустимые и наиболее эффективные (в смысле того или иного критерия) уровни выпуска. Вместе с тем на практике (особенно в планируемой экономике) встречается также своего рода обратная задача , когда уровень выпуска продукции элементами задан планом и необходимо определить допустимые и минимальные уровни затрат элементов . Задачи такого рода могут быть условно названы задачами оптимального выполнения плановой программы выпуска. В таких задачах удобно применить обратную последовательность описания технологического множества производственного элемента сначала задавать множество U допустимых выпусков и g= U, а затем для каждого допустимого уровня выпусков - множество V (и) допустимых затрат v Е= V (и).  

Общее технологическое множество Y производственного элемента при этом имеет вид  

На рис. 3.4 этому ограничению удовлетворяют все точки технологического множества, расположенные выше отрезка ЕС или лежащие на нем.  

В большей части оригинальным является и материал 4.21. Оценка эффективности рыночных механизмов , обеспечивающих существование единого равновесного управления, проводилась в работах . Материал 4.21 является расширением этих работ. Рассмотрение схемы аукциона в рыночной системе проводится согласно . Известной моделью, рассмотренной в качестве примера в этом параграфе, является модель рыночной экономики. Подробное ее рассмотрение можно найти, например, в работах . В 4.21 мы предполагали, что рыночное равновесие существует. Как показывает рассмотрение схемы аукциона в рыночной системе , это положение может не всегда иметь место. Рассмотрение вопросов, связанных с существованием равновесия в рыночных моделях ,- один из центральных вопросов математической экономики . Применительно к моделям конкурентной экономики существование равновесия установлено рядом авторов при различных предположениях . Обычно доказательство предполагает выпуклость функций полезности (или предпочтений) потребителей и технологических множеств производителей. В приводится обобщение модели Эрроу - Дебре на случай континуума игроков. При этом удалось отказаться от предположений о выпуклости функций предпочтений потребителей.  

Каждый производитель (фирма) j характеризуется технологическим множеством Y. - совокупностью технологически допустимых л-мер-ных векторов затрат - выпуска их положительным компонентам соответствуют выпускаемые количества, а отрицательным - затрачиваемые. Предполагается, что производитель выбирает вектор затрат - выпуска так, чтобы получить максимальную прибыль. При этом он, как и потребитель, не пытается влиять на цены, принимая их заданными. Таким образом, его выбор является решением следующей задачи  

Из (16) также следует слабая аксиома выявленного предпочтения . Неравенство (16) заведомо выполняется, если спрос каждого из потребителей строго монотонен при этом на технологические множества не накладывается особых требований. Интерпретация условия монотонности и ряд связанных с ним результатов приведены в . Для гладких функций избыточного спроса единственность равновесия обеспечивается также условием доминирующей диагонали . Это условие означает, что модуль производной спроса на каждый продукт по цене этого продукта больше суммы модулей всех производных спроса на тот же  

Модель производителя. При выборе объемов производства yj = у к каждая фирма j e J ограничена своим технологическим множеством YJ с 1R1. Эти множества допустимых технологий можно задавать в частности в виде (неявных) производственных функций fj(yj) YJ = УЗ е Rl /,(%) > 0 . Другое удобное представление (когда производится только один товар h) - в виде явной производственной функции у 0.  

Технологическое множество и его свойства  

ТЕХНОЛОГИЧЕСКОЕ МНОЖЕСТВО - см. Производственное множество , Технологический способ.  

Описание одного конкретного вида технологического множества рассмотрим для производственного элемента , потребляющего несколько видов затрат и выпускающего продукцию только одного вида (однопродуктовый производственный элемент). Вектор состояния такого элемента имеет вид yt- (vtl, viz,. . . , v. x, ut). Известный способ описания технологического множества однопродук-тового элемента основывается на понятии производственной функции и заключается в следующем.  

Обычно предполагается, что технологическое множество элемента является выпуклым, замкнутым и содержащим нулевой элемент подмножеством евклидового пространства Ет размерности т О Е Y d Em.  

Рассмотренные в предыдущем параграфе методы представления технологических множеств производственных элементов характеризуют их свойства, но не задают описание в явном виде. Для однойродуктовых производственных элементов явное описание технологического множества можно задать, используя понятие производственной функции . В 1.2 мы уже касались этого понятия и его использования, в этом параграфе рассмотрение этих вопросов будет продолжено.  

Использование однопродуктовых производственных функций для описания технологического множества многопродуктового элемента. Если многопродуктовый элемент производит товых видов продукции, потребляя при этом /гевх видов затрат , то его векторы затрат и выпуска имеют вид v = (i>i, vz,. . ., Ут х) и и = (м1г w2,.. ., итвых) соответственно.  

Ему соответствует часть технологического множества, ограниченная кривосторонним треугольником AB (отмечена штриховкой на рис. 3.4).  

Модель децентрализованной экономики Эрроу - Деб-ре - Мак-Кснзи. Общая модель децентрализованной экономики описывает производство, потребление и децентрализованный

Особенности инфляционных процессов в современной России.

1. Понятие производства и ПФ. Производственное множество.

2. Задача максимизации прибыли

3. Равновесие производителя. Технический прогресс

4. Задача минимизации издержек.

5. Агрегирование в теории производства. Равновесие фирмы и отрасли в д/ср периоде

(самостоятельно) предложение конкурентных фирм, имеющих альтернативные цели

Производство – деятельность направленная на изготовление максимального количества материальных благ, зависит от количества используемых факторов производства, заданных технологическим аспектом производства.

Любой технологический процесс можно представить с помощью вектора чистых выпусков, который будем обозначать через y. Если согласно данной технологии фирма производит i-тый продукт, то i-тая координата вектора y будет положительна. Если же напротив, i-тый продукт затрачивается, то эта координата будет отрицательна. Если некоторый продукт не затрачивается и не выпускается согласно данной технологии, то соответствующая координата будет равна 0.

Множество всех технологически доступных для данной фирмы векторов чистых выпусков будем называть производственным множеством фирмы и обозначать Y.

Свойства производственных множеств:

1. Производственное множество не пусто, т.е. фирме доступен хотя бы один технологический процесс.

2.Производственное множество замкнуто.

3. Отсутствие «рога изобилия»: если y 0 и y ∊Y, то y=0. Нельзя произвести что-то не затратив ничего (нет y<0, т.е. ресурсов).

4. Возможность бездействия (ликвидации): 0∊Y. в реальности могут существовать невозвратные издержки.

5. Свобода расходования: y∊Y и y` y, то y`∊Y. Производственному множеству принадлежат не только оптимальные, но и технологии с меньшими выпусками/затратами ресурсов.

6. необратимость. Если y∊Y и y 0, то –y Y. Если из 2 единиц первого блага можно произвести 1 второго, то обратный процесс не возможен.

7. Выпуклость: если y`∊Y, то αy + (1-α)y` ∊ Y для всех α∊. Строгая выпуклость: для всех α∊(0,1). Свойство 7 позволяет комбинируя технологии, получить другие доступные технологии.

8. Отдача от масштаба:

Если в процентном соотношении объем использованных факторов изменился на ∆ N , а соответствующее изменение выпуска составило ∆Q , то имеют место следующие ситуации:

- ∆ N = ∆Q имеет место пропорциональная отдача (рост количества факторов повлек соответствующий рост выпуска)

- ∆ N < ∆Q имеет место возрастающая отдача (положительный эффект масштаба) – т.е. выпуск увеличился в большей пропорции, чем увеличилось количество затраченных факторов

- ∆ N > ∆Q имеет место убывающая отдача (отрицательный эффект масштаба) – т.е. увеличение затрат приводит к меньшему в процентном выражении росту выпуска

Эффект масштаба актуален в долгосрочном периоде. Если увеличение масштаба производства не приводит к изменению производительности труда, мы имеем дело с неизменной отдачей от масштаба. Убывающая отдача от масштаба сопровождается снижением производительности труда, возрастающая -ее повышением.

В случае, если множество товаров, которые производятся, отлично от множества ресурсов, которые используются, и производиться только один товар, то производственное множество может быть описано с помощью производственной функции.

Производственная функция (ПФ) – отражает зависимость между максимальным выпуском и определенным сочетании факторов (труда и капитала) и при данном уровне технологического развития общества.

Q=f(f1,f2,f3,…fn)

где Q - выпуск фирмы за определенный промежуток времени;

fi - количество i-го ресурса, использованного в производстве продукции;

Как правило, выделяют три фактора производства: труд, капитал и материалы. Мы ограничимся анализом двух факторов: труда (L) и капитала (К), тогда производственная функция принимает вид: Q =f(K, L).

Виды ПФ могут различаться в зависимости от характера технологии, и могут быть представлены в трех видах:

Линейная ПФ вида y = ax1 + bx2 – характеризуется постоянной отдачей от масштаба.

ПФ Леонтьева – в которой ресурсы дополняют друг друга, их комбинация определяется технологией и факторы производства являются не взаимозаменяемыми.

ПФ Кобба-Дугласа – функция, в которой используемые факторы производства обладают свойством взаимозаменяемости. Общий вид функции:

Где А - технологический коэффициент, α - коэффициент эластичности по труду, а β - коэффициент эластичности по капиталу.

Если сумма показателей степени (α + β) равна единице, то функция Кобба-Дугласа является линейно однородной, то есть она демонстрирует постоянную отдачу при изменении масштабов производства.

Впервые производственная функция была рассчитана в 1920-е годы для обрабатывающей промышленности США, в виде равенства

Для ПФ Кобба-Дугласа справедливо:

1. Поскольку а < 1 и b < 1, предельный продукт каждого фактора меньше среднего продукта (МРК < АРК и MPL < APL).

2. Поскольку вторые производные производственной функции по труду и по капиталу отрицательны, можно утверждать, что данная функция характеризуется убывающим предельным продуктом как труда, так и капитала.

3. При снижении величины MRTSL K постепенно убывает. Это означает, что изокванты производственной функции имеют стандартную форму: это - гладкие изокванты с отрицательным наклоном, выпуклые к началу координат.

4. Для данной функции характерна постоянная (равная 1) эластичность замещения.

5. Функция Кобба-Дугласа может характеризовать любой тип отдачи от масштаба, в зависимости от значений параметров а и Ь

6. Рассматриваемая функция может служить для описания различных типов технического прогресса.

7 Степенными параметрами функции являются коэффициенты эластичности выпуска по капиталу (а) и по труду (Ь), так что уравнение для темпа роста выпуска (8.20) для функции Кобба-Дугласа принимает вид GQ = Gz + aGK + bGL. Параметр а, таким образом, характеризует как бы «вклад» капитала в увеличение выпуска, а параметр b - «вклад» труда.

ПФ основана на ряде «особенностей производства». Они касаются эффекта выпуска в трех случаях: (1) пропорциональное увеличение всех затрат, (2) изменение структура затрат при постоянном выпуске, (3) увеличение одного фактора производства при остальных неизменных. случай (3) относиться к краткосрочному периоду.

Производственная функция с одним переменным фактором имеет вид:

Мы видим, что наиболее эффективное изменение переменного фактора X наблюдается на отрезке от точки А до точки Б. Здесь предельный продукт (МР), достигнув своего максимального значения, начинает уменьшаться, средний продукт (АР) еще увеличивается, общий продукт (ТР) получает наибольший прирост.

Закон убывающей отдачи (закон убывающего предельного продукта) – определяет ситуацию, при которой достижение определенных объемов производства приводит к уменьшению выхода готовой продукции на дополнительно введенную единицу ресурса.

Как правило, данный объем может быть произведен посредством различных способов производства. Это связано с тем, что факторы производства в определенной степени взаимозаменяемы. Можно провести изокванты, соответствующие всем способам производства, необходимым для выпуска в данном объеме. В результате мы получаем карту изоквант, которая характеризует зависимость между всеми возможными комбинациями ресурсов и размерами выпуска и, следовательно, является графической иллюстрацией производственной функции.

Изокванта (линия равного выпуска - isoquant)– кривая, отражающая все комбинации факторов производства, обеспечивающих одинаковый выпуск продукции.

Совокупность изоквант, каждая из которых показывает максимальный выпуск продукции, достигаемый при использовании определенных сочетаний ресурсов, называется картой изоквант (isoquant map). Чем дальше расположена изокванта от начала координат, тем больше ресурсов задействовано в расположенных на ней способах производства и тем больше размеры выпуска, которые характеризуются данной изоквантой (Q3> Q2> Q1).

Изокванта и ее форма отражает зависимость, заданную ПФ. В долгосрочном периоде существует определенная взаимная дополняемость (комплектарность) факторов производства, однако без уменьшения объема выпуска вероятна и определенная взаимозаменяемость данных факторов производства. Так, для выпуска блага могут быть использованы различные комбинации ресурсов; можно произвести это благо при использовании меньшего объема капитала и большего объема затрат труда, и наоборот. В первом случае производство считается технически эффективным в сравнении со вторым случаем. Однако существует предел того, насколько труд может быть заменен большим объемом капитала, чтобы не сократилось производство. С другой стороны, имеется предел применения ручного труда без использования машин. Мы будем рассмотривать изокванту в зоне технического замещения.

Уровень взаимозаменяемости факторов отражает показатель предельной нормы технического замещения . – пропорция, в которой один фактор может быть заменен на другой при сохранении прежнего объема выпуска; отражает наклон изокванты.

MRTS = - ∆K / ∆ L = МР L / МР K

Чтобы при изменении количества используемых факторов производства выпуск оставался неизменным, количества труда и капитала должны изменяться в разных направлениях. Если количество капитала сокращается (АК< 0), то количество труда должно увеличиваться (AL > 0). Между тем предельная норма технического замещения представляет собой просто пропорцию, в которой один фактор производства может быть замещен другим, и, как таковая, есть величина всегда положительная.

Изокванты и изоклины ПФ

Если вновь обратиться к методу аналогии, то, как и в случае модели поведения потребителя, в теории моделирования производственных процессов можно выделить понятие кривой безразличия производителя. Этому понятию может соответствовать множество наборов производственных факторов, которым соответствует одинаковое количество произведенного продукта, то есть:

Множество точек, удовлетворяющих равенству (4.1), называют изоквантой ПФ (iso – постоянный, quantity – количество). Каждая изокванта соответствует различному уровню производства продукта (y ), причем изокванты, более удаленные от нулевой точки (точки бездействия) соответствуют более высоким значениям y . Изокванты также обладают теми же свойствами, что и кривые безразличия (параллельны друг другу, не пересекаются с осями абсцисс и ординат и др.) Для двухфакторной ПФ изокванта по сути будет выражать функциональную зависимость затрат капитала от затрат труда при данном уровне произведенного продукта:

Производитель, варьируя технологии, может выбирать разные сочетания факторов производства и поддерживать при этом постоянный уровень производства. Согласно изокванте, увеличение одного фактора приведет к уменьшению другого. Следовательно, должна существовать характеристика, позволяющая оценить компенсацию одного фактора другим. Такой характеристикой является предельная норма замещения (аналогично такой же характеристике в теории полезности потребителя):

, (4.2)

которая показывает, какое увеличение фактора j скомпенсирует снижение фактора i на единицу, чтобы уровень производства продукта остался прежним (замещение фактора i фактором j ).

Соответственно обратное замещение (фактора j фактором i) будет характеризоваться обратной величиной: .

Согласно взаимосвязи коэффициента эластичности и предельного продукта (4.1) предельную норму замещения можно выразить как:

(4.3)

Согласно (4.1) для двухфакторной ПФ имеем:

- предельная норма замещения капитала трудом;

- предельная норма замещения труда капиталом.

Согласно (4.3) для двухфакторной модели также предельную норму замещения можно выразить через коэффициенты эластичности:

, где к – фондовооруженность.

Наряду с изоквантами важную роль в ПФ играют изоклины – множества точек экономической области, у которых предельная норма замещения i -го фактора j -м постоянна:

Используя понятие изоклины (изоклинали) можно преобразовать произвольный набор факторов (L,K) в набор (Y,MRS) , то есть решением системы уравнений:

будет являться:

Однородная ПФ с постоянной предельной нормой замещения труда капиталом и степенью однородности δ=1 относится к классу линейных функций, то есть .

Таким образом, для двухфакторной ПФ каждая точка изокванты характеризуется затратами капитала и труда или предельной нормой замещения труда капиталом MRS LK и фондовооруженностью k . Если обратиться к геометрическому представлению, то MRS LK равна угловому коэффициенту касательной к данной точке изокванты, а величина k – угловому коэффициенту луча, выходящего из начала координат и проходящего через заданную точку изокванты (см. Рис. 4.2 ).

Рис 4.2

Например, в точке В значение затрат труда больше, чем в точке А , следовательно, значение MRS LK в точке В меньше, чем в точке А . Соответственно точка В будет соответствовать меньшему значению фондовооруженности, чем в точке А .

Таким образом, очевидной становится связь между изменением фондовооруженности и предельной нормой замещения труда капитала, то есть мы опять приходим к понятию эластичности, а именно эластичности замещения труда капиталом, которая показывает, насколько процентов изменится фондовооруженность труда при изменении предельной нормы замещения труда капиталом на один процент:

(4.4)

Графически можно также показать, что с ростом кривизны изокванты эластичность E σ уменьшается (см. Рис. 4.3 ).

Рис 4.3

Отметим, что в обоих случаях в точках А и В значения MRS LK остаются одинаковыми, а значение фондовооруженности в точке А выше, чем в точке В . Отсюда вытекает еще одно важное свойство: для однородной ПФ эластичность замещения труда капиталом зависит лишь от фондовооруженности и остается постоянной вдоль лучей, выходящих из нулевой точки.

Выразим связь между MRS LK и k при постоянной эластичности E σ . Согласно (4.4) имеем:

(4.5)

Предполагая зависимость MRS LK (k) , можно записать (4.5) в виде обычного дифференциального уравнения:

(4.6)

Интегрирование (4.6) дает:

или после преобразования:

, где

Следовательно, условие постоянства эластичности замещения труда капиталом дает степенную зависимость между величинами MRS LK и k . Соответственно, случай единичной эластичности будет соответствовать линейной связи между указанными величинами:

Введение понятия постоянной эластичности замещения привело к общей форме однородной ПФ, для которой эластичность замещения факторов постоянна. Такие ПФ называют ПФ класса CES (Constant Elasticity of Substitution ). Впервые функции этого класса были предложены Эрроу Кеннетом и Солоу Робертом в 1961 году. Функции этого класса предполагают, что замещение труда капиталом возможно только в некоторых пределах и не существует технологий, которые позволяли бы произвести заданное количество продукта при затратах факторов производства ниже определенных критических значений. (Геометрически это означает, что можно построить асимптоты к изокванте, и они будут соответствовать минимально возможным значениями труда и капитала. Возможен вывод математических соотношений асимптот, в данном изложении этот материал мы не будем приводить.)

Многие ПФ являются по сути частными или предельными случаями функций CES, основные характеристики которых приведены в Табл 4.1 .

Табл 4.1

Понятие производственной системы и производственного процесса. Технологический процесс и технологическое множество

Основная задача любого производственного процесса - создание добавленной стоимости и нового экономического продукта, который затем участвует в последующих процессах обмена и потребления. Известно, что производственный процесс является условием возникновения процессов потребления с одной стороны, а с другой, прекращение потребления приводит к прекращению производственного процесса. Следовательно, развитие производственных процессов определяется экономическим поведением потребителя. Эту взаимосвязь можно представить в виде следующей концептуальной модели по функционирования экономического объекта:

Центральным звеном является модель производственного процесса, которая связывает входные переменные производственной системы с выходными; модель рынка ресурсов является необходимым условием функционирования производственного процесса; модель рынка товаров – необходимое условие существования и возобновления производственного процесса; модель принятия решений – выбор наилучшего в некотором смысле решения товаропроизводителя об объемах выпуска на основе информации о рыночной конъюнктуре и производственных возможностях.

Современные представления в области моделирования производственных процессов базируются на теориях экономистов -неоклассиков , которые предложили модель человека «экономического», хозяйственное поведение которого определяется функцией полезности.

Таким образом, производственный процесс – это процесс создания добавленной стоимости путем целенаправленного преобразования одного набора товаров в другой. Экономическая система, в которой организован и протекает производственный процесс, называется производственной системой или производством. Цель любой производственной системы – желаемое конкретное конечное будущее состояние или результат хозяйственной деятельности. С точки зрения неоклассической экономической теории целями производителя являются максимизация дохода или прибыли, или минимизация издержек. Потребляемые товары в процессе производства называют производственными факторами , полученные товары в результате производственного процесса – продуктами производства .

С этой точки зрения любая производственная система со сложной внутренней структурой представляет собой «черный ящик», при этом известной является информация о производственных факторах (входная информация) и продукте производства (результат), а неизвестная внутренняя структура описывается с помощью некоторой производственной функции. При этом надо помнить о том, что модель «черного ящика» полезна для экономиста, но бесполезна для менеджера, реформирующего организационную структуру и процессы внутри системы.

Помимо понятия производственных функций для моделирования производственных процессов важны такие понятия, как концепция эластичности факторов производства, предельной нормы замещения факторов производства, так как ресурсы в производственной системе могут выступать в роли товаров-субститутов . Кроме того, в реальном производственном процессе невозможно производить продукт при полном отсутствии какого-либо фактора производства, то есть можно говорить о взаимодополняемости факторов производства, то есть об их комплементарности.

Технология - это технический способ преобразования факторов производства в продукты. Существует огромное число доступных технологий, из которых производители выбирают самые эффективные. Технология задает отношение между элементом u из числа факторов производства и элементом v из области продуктов. Технологический процесс – это совокупность отношений между элементами u i и v j (), поэтому он является простейшей моделью производственного процесса. В свою очередь, совокупность технологических процессов образует технологическое множество . Технологические множества обладают следующими свойствами:

1. невозможность существования «рога изобилия», то есть нулевой технологический процесс (без затрат факторов производства) принадлежит технологическому множеству и означает бездействие;

2. технологическое множество выпукло, то есть технологические процессы можно комбинировать (некоторый технологический процесс может являться выпуклой комбинацией других);

3. технологическое множество ограничено сверху, что связано с ограниченностью (исчерпаемостью) ресурсов (факторов производства);

4. технологическое множество замкнуто, то есть имеет границы.

Эффективные технологические процессы описываются точками, лежащими на эффективной границе выпуклого технологического множества.

Метод технологических множеств позволяет описать многономенклатурное производство, так как возможен строгий переход от технологических множеств к производственным функциям путем агрегирования факторов производства и продуктов.

В заключение отметим, что существует два альтернативных подхода к решению задачи оптимального управления производственными процессами. Первый подход рассматривает задачу максимизации производства продукта при фиксированных бюджетных ограничениях. Решение этой задачи основано на анализе производственной функции производственной системы с учетом рыночной стоимости труда и капитала и размера производственного бюджета. Второй подход решает задачу минимизации производственных издержек при заданном уровне производства продукта. Эта задача решается с использованием функции затрат, которая может быть вычислена по имеющейся производственной функции. Эти два подхода приводят к одинаковому результату при решении оптимизационных задач. (Вспомнить двойственность! ).

2. Производственные множества и производственные функции

2.1. Производственные множества и их свойства

Рассмотрим важнейшего участника экономических процессов – отдельного производителя. Производитель реализует свои цели только через потребителя и поэтому должен угадать, понять, что тот хочет, и удовлетворить его потребности. Будем считать, что имеется n различных товаров, количество n-го товара обозначается х n , тогда некоторый набор товаров обозначается Х = (x 1 , …, x n). Будем рассматривать только неотрицательные количества товаров, так что х i  0 для любого i = 1, ..., n или Х > 0. Множество всех наборов товаров называется пространством товаров С. Набор товаров можно трактовать как корзину, в которой лежат эти товары в соответствующем количестве.

Пусть экономика работает в пространстве товаров С = {X = (x 1 , x 2 , …, x n): x 1 , …, x n  0}. Пространство товаров состоит из неотрицательных n-мерных векторов. Рассмотрим теперь вектор T размерности n, первые m компонентов которого неположительные: x 1 , …, x m  0, а последние (n-m) компонентов неотрицательны: x m +1 , …, x n  0. Вектор X = (x 1 ,…, x m) назовем вектором затрат , а вектор Y = (x m+1 , …, x n) – вектором выпуска . Сам же вектор T = (X,Y) назовем вектором затрат-выпуска, или технологией .

По своему смыслу технология (X,Y) есть способ переработки ресурсов в готовую продукцию: «смешав» ресурсы в количестве X, получим продукцию в размере Y. Каждый конкретный производитель характеризуется некоторым множеством τ технологий, которое называется производственным множеством . Типичное заштрихованное множество представлено на рис. 2.1. Данный производитель затрачивает один товар для выпуска другого.

Рис. 2.1. Производственное множество

Производственное множество отражает широту возможностей производителя: чем оно больше, тем шире его возможности. Производственное множество должно удовлетворять следующим условиям:

оно замкнуто – это означает, что если вектор Т затрат-выпуска сколь угодно точно приближается векторами из τ, то и Т принадлежит τ (если все точки вектора Т лежат в τ, то Тτ см. рис. 2.1 точки С и В);

в τ(-τ) = {0}, т. е. если Tτ, T ≠ 0, то -Тτ – нельзя поменять местами затраты и выпуск, т. е. производство – необратимый процесс (множество – τ находится в четвертом квадранте, где у 0);

множество выпукло, это предположение ведет к уменьшению отдачи от перерабатываемых ресурсов с ростом объемов производства (к увеличению норм расхода затрат на готовую продукцию). Так, из рис. 2.1 ясно, что y/x  убывает при х  -. В частности, предположение о выпуклости ведет к уменьшению производительности труда с ростом объема производства.

Часто выпуклости просто бывает недостаточно, и тогда требуют строгой выпуклости производственного множества (или некоторой его части).

2.2. “Кривая” производственных возможностей

и вмененные издержки

Рассматриваемое понятие производственного множества отличается высокой степенью абстрактности и в силу чрезвычайной общности малопригодно для экономической теории.

Рассмотрим, например рис. 2.1. Начнем с точек В и С. Затраты по этим технологиям одинаковы, а выпуск разный. Производитель, если он не лишен здравого смысла, никогда не выберет технологию В, раз есть более лучшая технология С. В данном случае (см. рис. 2.1), найдем для каждого x  0 самую высокую точку (x, y) в производственном множестве. Очевидно, при затратах х технология (x, y) самая лучшая. Никакая технология (x, b) c b производственной функцией. Точное определение производственной функции:

Y = f(x)(x, y) τ, и если (x, b)  τ и b  y, то b = x.

Из рис. 2.1 видно, что для всякого x  0 такая точка y = f(x) единственна, что, собственно, и позволяет говорить о производственной функции. Но так просто дело обстоит, если выпускается только один товар. В общем случае для вектора затрат Х обозначим множество М х = {Y:(X,Y)τ}. Множество М х – это множество всех возможных выпусков при затратах Х. В этом множестве рассмотрим “кривую” производственных возможностей K x = {YМ х: если ZМ х и Z  Y, то Z = X}, т. е. K x – это множество лучших выпусков, лучше которых нет . Если выпускаются два товара, то это кривая, если же выпускается более двух товаров, то это поверхность, тело или множество еще большей размерности.

Итак, для любого вектора затрат Х все наилучшие выпуски лежат на кривой (поверхности) производственных возможностей. Поэтому из экономических соображений оттуда и должен выбрать производитель технологию. Для случая выпуска двух товаров y 1 , y 2 картина показана на рис. 2.2.

Если оперировать только натуральными показателями (тоннами, метрами и т. д.), то для данного вектора затрат Х мы лишь должны выбрать вектор выпуска Y на кривой производственных возможностей, но какой конкретно выпуск надо выбрать, решить еще нельзя. Если само производственное множество τ выпукло, то и М х выпукло для любого вектора затрат Х. В дальнейшем нам понадобится строгая выпуклость множества М х. В случае выпуска двух товаров это означает, что касательная к кривой производственных возможностей K x имеет с этой кривой только одну общую точку.

Рис. 2.2. Кривая производственных возможностей

Рассмотрим теперь вопрос о так называемых вмененных издержках . Предположим, что выпуск фиксирован в точке A(y 1 , y 2), см. рис. 2.2. Теперь возникла необходимость увеличить выпуск 2-го товара на y 2 , используя, конечно, прежний набор затрат. Сделать это можно, как видно из рис. 2.2, перенеся технологию в точку В, для чего с увеличением выпуска второго товара на y 2 придется уменьшить выпуск первого товара на y 1 .

Вмененными издержками первого товара по отношению ко второму в точке А называется
. Если кривая производственных возможностей задана неявным уравнением F(y 1 ,y 2) = 0, то δ 1 2 (A) = (F/y 2)/(F/y 1), где частные производные взяты в точке А. Если внимательно вглядеться в рассматриваемый рисунок, то можно обнаружить любопытную закономерность: при движении слева вниз по кривой производственных возможностей вмененные издержки уменьшаются от очень больших величин до очень малых.

2.3. Производственные функции и их свойства

Производственной функцией называется аналитическое соотношение, связывающее переменные величины затрат (факторов, ресурсов) с величиной выпуска продукции. Исторически одними из первых работ по построению и использованию производственных функций были работы по анализу сельскохозяйственного производства в США. В 1909 г. Митчерлих предложил нелинейную производственную функцию: удобрения – урожайность. Независимо от него Спиллман предложил показательное уравнение урожайности. На их основе был построен ряд других агротехнических производственных функций.

Производственные функции предназначены для моделирования процесса производства некоторой хозяйственной единицы: отдельной фирмы, отрасли или всей экономики государства в целом. С помощью производственных функций решаются задачи:

оценки отдачи ресурсов в производственном процессе;

прогнозирования экономического роста;

разработки вариантов плана развития производства;

оптимизации функционирования хозяйственной единицы при условии заданного критерия и ограничений по ресурсам.

Общий вид производственной функции: Y = Y(X 1 , X 2 , …, X i , …, X n), где Y – показатель, характеризующий результаты производства; X – факторный показатель i-го производственного ресурса; n – количество факторных показателей.

Производственные функции определяются двумя группами предположений: математических и экономических. Математически предполагается, что производственная функция должна быть непрерывной и дважды дифференцируемой. Экономические предположения состоят в следующем: при отсутствии хотя бы одного производственного ресурса производство невозможно, т. е. Y(0, X 2 , …, X i , …, X n) =

Y(X 1 , 0, …, X i , …, X n) = …

Y(X 1 , X 2 , …, 0, …, X n) = …

Y(X 1 , X 2 , …, X i , …, 0) = 0.

Однако, только с помощью натуральных показателей определить для данных затрат Х единственный выпуск Y удовлетворительно не удается: наш выбор сузился лишь до «кривой» производственных возможностей K x . В силу этих причин разработана лишь теория производственных функций производителей, выпуск которых можно охарактеризовать одной величиной – либо объемом выпуска, если выпускается один товар, либо суммарной стоимостью всего выпуска.

Пространство затрат m-мерно. Каждой точке пространства затрат Х = (х 1 , …, х m) соответствует единственный максимальный выпуск (см. рис. 2.1), произведенный при использовании этих затрат. Эта связь и называется производственной функцией. Однако обычно производственную функцию понимают не столь ограничительно и всякую функциональную связь между затратами и выпуском считают производственной функцией. В дальнейшем будем считать, что производственная функция имеет необходимые производные. Предполагается, что производственная функция f(X) удовлетворяет двум аксиомам. Первая из них утверждает, что существует подмножество пространства затрат, называемое экономической областью Е, в которой увеличение любого вида затрат не приводит к уменьшению выпуска. Таким образом, если X 1 , X 2 – две точки этой области, то X 1  X 2 влечет f(X 1)  f(X 2). В дифференциальной форме это выражается в том, что в этой области все первые частные производные функции неотрицательны: f/x 1 ≥ 0 (у любой возрастающей функции производная больше нуля). Эти производные называются предельными продуктами , а вектор f/X = (f/x 1 , …, f/x m) – вектором предельных продуктов (показывает во сколько раз изменится выпуск продукции при изменении затрат).

Вторая аксиома утверждает, что существует выпуклое подмножество S экономической области, для которой подмножества {XS:f(X)  a} выпуклы для всех а  0. В этом подмножестве S матрица Гёссе, составленная из вторых производных функции f(X), отрицательно определена, следовательно,  2 f/x 2 i

Остановимся на экономическом содержании этих аксиом. Первая аксиома утверждает, что производственная функция не какая-то совершенно абстрактная функция, придуманная теоретиком-математиком. Она, пусть и не на всей своей области определения, а только лишь на ее части, отражает экономически важное, бесспорное и в то же время тривиальное утверждение: в разумной экономике увеличение затрат не может привести к уменьшению выпуска. Из второй аксиомы поясним только экономический смысл требования, чтобы производная  2 f/x 2 i была меньше нуля для каждого вида затрат. Это свойство называется в экономике за коном убывающей отдачи или убывающей доходности : по мере увеличения затрат, начиная с некоторого момента (при входе в область S!), на чинает уменьшаться предельный продукт. Классическим примером этого закона является добавление все большего и большего количества труда в производство зерна на фиксированном участке земли. В дальнейшем подразумевается, что производственная функция рассматривается на области S, в которой обе аксиомы справедливы.

Составить производственную функцию данного предприятия можно, даже ничего не зная о нем. Надо только поставить у ворот предприятия счетчик (человека или какое-то автоматическое устройство), который будет фиксировать Х – ввозимые ресурсы и Y – количество продукции, которую предприятие произвело. Если накопить достаточно много такой статической информации, учесть работу предприятия в различных режимах, то потом можно прогнозировать выпуск продукции, зная только объем ввезенных ресурсов, а это и есть знание производственной функции.

2.4. Производственная функция Кобба-Дугласа

Рассмотрим одну из наиболее распространенных производственных функций – функцию Кобба-Дугласа: Y = AK  L  , где A, ,  > 0 – константы,  + 

Y/K = AαK α -1 L β > 0, Y/L = AβK α L β -1 > 0.

Отрицательность вторых частных производных, т. е. убывание предельных продуктов: Y 2 /K 2 = Aα(α–1)K α -2 L β 0.

Перейдем к основным экономико-математическим характеристикам производственной функции Кобба-Дугласа. Средняя производительность труда определяется как y = Y/L – отношение объема произведенного продукта к количеству затраченного труда ; средняя фондоотдача k = Y/K – отношение объема произведенного продукта к величине фондов .

Для функции Кобба-Дугласа средняя производительность труда y = AK  L  , и в силу условия  с увеличением затрат труда средняя производительность труда падает. Этот вывод допускает естественное объяснение – поскольку величина второго фактора К остается неизменной, то, значит, вновь привлекаемая рабочая сила не обеспечивается дополнительными средствами производства, что и приводит к снижению производительности труда (это справедливо и в самом общем случае – на уровне производственных множеств).

Предельная производительность труда Y/L = AβK α L β -1 > 0, откуда видно, что для функции Кобба-Дугласа предельная производительность труда пропорциональна средней производительности и меньше ее. Аналогично определяются средняя и предельная фондоотдачи. Для них также справедливо указанное соотношение – предельная фондоотдача пропорциональна средней фондоотдаче и меньше ее.

Важное значение имеет такая характеристика, как фондовооруженность f = K/L, показывающая объем фондов, приходящийся на одного работника (на одну единицу труда) .

Найдем теперь эластичность продукции по труду:

(Y/L):(Y/L) = (Y/L)L/Y = AβK α L β -1 L/(AK α L β) = β.

Таким образом, ясен смысл параметра  – это эластичность (отношение предельной производительности труда к средней производительности труда) продукции по труду . Эластичность продукции по труду означает, что для увеличения выпуска продукции на 1 % необходимо увеличить объем трудовых ресурсов на  %. Аналогичный смысл имеет параметр  – это эластичность продукции по фондам .

И еще одно значение представляется интересным. Пусть  +  = 1. Легко проверить, что Y = (Y/K)/K + (Y/L)L (подставляя уже вычисленные ранее Y/K, Y/L в эту формулу). Будем считать, что общество состоит только из рабочих и предпринимателей. Тогда доход Y распадается на две части – доход рабочих и доход предпринимателей. Поскольку при оптимальном размере фирмы величина Y/L – предельный продукт по труду – совпадает с заработной платой (это можно доказать), то (Y/L)L представляет собой доход рабочих. Аналогично величина Y/K есть предельная фондоотдача, экономический смысл которой есть норма прибыли, следовательно, (Y/K)K представляет доход предпринимателей.

Функция Кобба-Дугласа – наиболее известная среди всех производственных функций. На практике при ее построении иногда отказываются от некоторых требований (например, сумма  +  может быть больше 1 и т. п.).

Пример 1. Пусть производственная функция есть функция Кобба-Дугласа. Чтобы увеличить выпуск продукции на а = 3 %, надо увеличить основные фонды на b = 6 % или численность работников на c = 9 %. В настоящее время один работник за месяц производит продукции на М = 10 4 руб. , а всего работников L = 1000. Основные фонды оцениваются в K = 10 8 руб. Найти производственную функцию.

Решение. Найдем коэффициенты , :  = а/b = 3/6 = 1/2,  = а/с = = 3/9 = 1/3, следовательно, Y = AK 1/2 L 1/3 . Для нахождения А подставим в эту формулу значения K, L, M, имея в виду, что Y = ML = 1000 . 10 4 = 10 7 – – 10 7 = А(10 8) 1/2 1000 1/3 . Отсюда А = 100. Таким образом, производственная функция имеет вид: Y = 100K 1/2 L 1/3 .

2.5. Теория фирмы

В предыдущем разделе мы, анализируя, моделируя поведение производителя, использовали только натуральные показатели и обошлись без цен, однако не смогли окончательно решить задачу производителя, т. е. указать единственный способ действий для него в сложившихся условиях. Теперь введем в рассмотрение цены. Пусть Р – вектор цен. Если Т = (X,Y) – технология, т. е. вектор «затраты-выпуск», X – затраты, Y – выпуск, то скалярное произведение PT = PX + PY есть прибыль от использования технологии Т (затраты – отрицательные количества). Теперь сформулируем математическую формализацию аксиомы, описывающей поведение производителя.

Задача производителя: производитель выбирает технологию из своего производственного множества, стремясь максимизировать прибыль. Итак, производитель решает следующую задачу: РТ→max, Tτ. Эта аксиома резко упрощает ситуацию выбора. Так, если цены положительны, что естественно, то компонента «выпуск» решения этой задачи автоматически будет лежать на кривой производственных возможностей. Действительно, пусть T = (X,Y) – какое-нибудь решение задачи производителя. Тогда существует ZK x , Z  Y, следовательно, P(X, Z)  P(X, Y), значит, точка (X, Z) также есть решение задачи производителя.

Для случая двух видов продуктов задачу можно решить графически (рис. 2.3). Для этого надо «двигать» прямую линию, перпендикулярную вектору Р, в направлении, куда он показывает; тогда последняя точка, когда эта прямая линия еще пересекает производственное множество, и будет решением (на рис. 2.3. это точка Т). Как легко видеть, строгая выпуклость нужной части производственного множества во втором квадранте гарантирует единственность решения. Такие же рассуждения действуют и в общем случае, для большего числа видов затрат и выпуска. Однако мы не пойдем по этому пути, а используем аппарат производственных функций и производителя назовем фирмой. Итак, выпуск фирмы можно охарактеризовать одной величиной – либо объемом выпуска, если выпускается один товар, либо суммарной стоимостью всего выпуска. Пространство затрат m-мерно, вектор затрат Х = (х 1 , …, х m). Затраты однозначно определяют выпуск Y, а эта связь и есть производственная функция Y = f(X).

Рис. 2.3. Решение задачи производителя

В данной ситуации обозначим через Р вектор цен на товары-затраты и пусть v – цена единицы выпускаемого товара. Следовательно, прибыль W, являющаяся в итоге функцией Х (и цен, но они считаются постоянными), есть W(X) = vf(X) – PX→max, X  0. Приравнивая частные производные функции W к нулю, получим:

v(f/x j) = p j для j = 1, …, m или v(f/X) = P (2.1)

Будем предполагать, что все затраты строго положительны (нулевые можно просто исключить из рассмотрения). Тогда точка, даваемая соотношением (2.1), оказывается внутренней, т. е. точкой экстремума. И поскольку еще предполагается отрицательная определенность матрицы Гёссе производственной функции f(Х) (исходя из требований к производственным функциям), то это точка максимума.

Итак, при естественных предположениях на производственные функции (эти предположения выполняются для производителя со здравым смыслом и в разумной экономике) соотношение (2.1) дает решение задачи фирмы, т. е. определяет объем Х * перерабатываемых ресурсов, в результате чего получается выпуск Y * = f(Х *) Точку Х * , или (Х * ,f(Х *)) назовем оптимальным решением фирмы. Остановимся на экономическом смысле соотношения (2.1). Как говорилось, (f/X) = (f/x 1 ,…,f/x m) называется предельным вектором-продуктом, или вектором предельных продуктов , а f/x i называется i-м предельным продуктом , или откликом выпуска на изменение i-го товара затрат . Следовательно, vf/x i dx i – это стоимость i-го предельного продукта, дополнительно полученного из dx i единиц i-го ресурса . Однако стоимость dx i единиц i-го ресурса равна р i dx i , т. е. получилось равновесие: можно вовлечь в производство дополнительно dx i единиц i-го ресурса, потратив на его закупку р i dx i , но выигрыша не будет, т. к. получим после переработки продукции ровно на такую же сумму, сколько затратили. Соответственно, оптимальная точка, даваемая соотношением (2.1), является точкой равновесия – уже невозможно выжать из товаров-ресурсов больше, чем затрачено на их покупку.

Очевидно, наращивание выпуска фирмы происходило постепенно: сначала стоимость предельных продуктов была меньше покупной цены потребных для их производства товаров-ресурсов. Наращивание объемов производства идет до тех пор, пока не начнет выполняться соотношение (2.1): равенство стоимости предельных продуктов и покупной цены, потребных для их производства товаров-ресурсов.

Предположим, что в задаче фирмы W(X) = vf(X) – PX → max, X  0, решение Х * единственное для v > 0 и Р > 0. Таким образом, получается вектор-функция X * = X * (v, P), или функции x * I = x * i (v, p 1 , p m) для i = 1, …, m. Эти m функций называются функциями спроса на ресурсы при данных ценах на продукцию и ресурсы. Содержательно эти функции означают, что, если сложились цены Р на ресурсы и цена v на выпускаемый товар, данный производитель (характеризующийся данной производственной функцией) определяет объем перерабатываемых ресурсов по функциям x * I = x * i (v, p 1 , p m) и спрашивает эти объемы на рынке. Зная объемы перерабатываемых ресурсов и подставляя их в производственную функцию, получим выпуск как функцию цен; обозначим эту функцию через q * = q * (v,P) = f(X(v,P)) = Y * . Она называется функцией предложения продукции в зависимости от цены v на продукцию и цен Р на ресурсы.

По определению, ресурс i-го вида называется малоценным , если и только если, x * i /v т. е. при повышении цены на продукцию спрос на малоценный ресурс уменьшается. Удается доказать важное соотношение: q * /P = -X * /v или q * /p i = -x * i /v, для i = 1, …, m. Следовательно, возрастание цены продукции приводит к повышению (понижению) спроса на определенный вид ресурсов, если и только если увеличении платы за этот ресурс приводит к сокращению (возрастанию) оптимального выпуска. Отсюда видно основное свойство малоценных ресурсов: увеличение платы за них ведет к увеличению выпуска продукции! Однако можно строго доказать наличие таких ресурсов, возрастание платы за которые приводит к уменьшению выпуска продукции (т.е. все ресурсы не могут быть малоценными) .

Удается доказать также, что x * i /p i взаимодополняемыми, если x * i /p j взаимозаменяемыми, если x * i /p j > 0. То есть, для взаимодополняемых ресурсов повышение цены на один из них приводит к падению спроса на другой, а для взаимозаменяемых ресурсов повышение цены на один из них приводит к увеличению спроса на другой. Примеры взаимодополняемых ресурсов: компьютер и его составляющие, мебель и дерево, шампунь и кондиционер к нему. Примеры взаимозаменяемых ресурсов: сахар и заменители сахара (например, сорбит), арбузы и дыни, майонез и сметана, масло и маргарин и т. д.

Пример 2. Для фирмы с производственной функцией Y = 100K 1/2 L 1/3 (из примера 1) найти оптимальный размер, если период амортизации основных фондов N=12 месяцев, зарплата работника в месяц а = 1000 руб.

Решение. Оптимальный размер выпуска или объема производства находится из соотношения (2.1). В данном случае выпуск продукции измеряется в денежном выражении, так что v = 1. Стоимость месячного содержания одного рубля фондов 1/N, т. е. получаем систему уравнений

, решая которую находим ответ:
, L = 8 . 10 3 , K = 144 . 10 6 .

2.6. Задачи

1. Пусть производственная функция есть функция Кобба-Дугласа. Чтобы увеличить выпуск продукции на 1 %, надо увеличить основные фонды на b = 4 % или численность работников на c = 3 %. В настоящее время один работник за месяц производит продукции на М = 10 5 руб. , а всего работников L = 10 4 . Основные фонды оцениваются в K = 10 6 руб. Найдите производственную функцию, среднюю фондоотдачу, среднюю производительность труда, фондовооруженность.

2. Группа «челноков» в количестве Е решила объединиться с N продавцами. Прибыль от дня работы (выручка минус расходы, но не зарплата) выражается формулой Y = 600(EN) 1/3 . Зарплата «челнока» 120 руб. в день, продавца – 80 руб. в день. Найдите оптимальный состав группы из «челноков» и продавцов, т. е. сколько должно быть «челноков» и сколько продавцов.

3. Бизнесмен решил основать небольшое автотранспортное предприятие. Ознакомившись со статистикой, он увидел, что примерная зависимость ежедневной выручки от числа автомашин А и числа N выражается формулой Y = 900А 1/2 N 1/4 . Амортизационные и другие ежедневные расходы на одну машину равны 400 руб., ежедневная зарплата рабочего 100 руб. Найдите оптимальную численность рабочих и автомашин.

4. Бизнесмен задумал открыть пивной бар. Предположим, что зависимость выручки Y (за вычетом стоимости пива и закусок) от числа столиков М и числа официантов F выражается формулой Y = 200М 2/3 F 1/4 . Расходы на один столик составляют 50 руб., зарплата официанта – 100 руб. Найдите оптимальный размер бара, т. е. число официантов и столиков.