Математическая кибернетика. Математическая кибернетика Статья на тему что такое математическая кибернетика

КИБЕРНЕТИКА, наука об управлении, изучающая главным образом математическими методами общие законы получения, хранения, передачи и преобразования информации в сложных управляющих системах. Существуют другие, несколько отличающиеся друг от друга, определения кибернетики. В основе одних лежит информационный аспект, других - алгоритмический, в иных выделяется понятие обратной связи, как выражающее специфику кибернетики. Во всех определениях, однако, обязательно указывается задача изучения математическими методами систем и процессов управления и информационных процессов. Под сложной управляющей системой в кибернетике понимается любая техническая, биологическая, административная, социальная, экологическая или экономическая система. В основе кибернетики лежит сходство процессов управления и связи в машинах, живых организмах и их популяциях.

Основная задача кибернетики - исследование общих закономерностей, лежащих в основе процессов управления в различных средах, условиях, областях. Это, прежде всего, процессы передачи, хранения и переработки информации. При этом процессы управления протекают в сложных динамических системах - объектах, обладающих изменчивостью и способностью к развитию.

Исторический очерк . Считается, что слово «кибернетика» впервые употреблено Платоном в диалоге «Законы» (4 век до нашей эры) для обозначения «управления людьми» [от греческого ϰυβερνητιϰή - искусство управлять, отсюда же происходят латинские слова gubernare (управлять) и gubernator (губернатор)]. В 1834 году А. Ампер в своей классификации наук употребил этот термин для обозначения «практики управления государством». В современную науку термин ввёл Н. Винер (1947).

Кибернетический принцип автоматического регулирования на основе обратной связи был реализован в автоматических устройствах Ктесибием (около 2 - 1 века до нашей эры; поплавковые водяные часы) и Героном Александрийским (около 1 века нашей эры). В средние века было создано множество автоматических и полуавтоматических устройств, использовавшихся в часовых и навигационных механизмах, а также в водяных мельницах. Систематическая работа над созданием телеологических механизмов, то есть машин, демонстрирующих целесообразное поведение, снабжённых корректирующей обратной связью, началась в 18 веке в связи с необходимостью регулировать работу паровых машин. В 1784 году Дж. Уатт запатентовал паровую машину с автоматическим регулятором, сыгравшую большую роль в переходе к индустриальному производству. Началом разработки теории автоматического регулирования считается статья Дж. К. Максвелла, посвящённая регуляторам (1868). К родоначальникам теории автоматического регулирования относят И. А. Вышнеградского. В 1930-е годы в трудах И. П. Павлова наметилось сравнение мозга и электрических переключательных схем. П. К. Анохин изучал деятельность организма на основе разработанной им теории функциональных систем, в 1935 предложил так называемый метод обратной афферентации - физиологический аналог обратной связи при управлении поведением организма. Окончательно необходимые предпосылки развития математической кибернетики были созданы в 1930-е годы работами А. Н. Колмогорова, В. А. Котельникова, Э. Л. Поста, А. М. Тьюринга, А. Чёрча.

Необходимость создания науки, посвящённой описанию управления и связи в сложных технических системах в терминах информационных процессов и обеспечивающей возможность их автоматизации, была осознана учёными и инженерами во время 2-й мировой войны. Сложные системы оружия и других технических средств, управление войсками и их снабжение на театрах военных действий усилили внимание к проблемам автоматизации управления и связи. Сложность и разнообразие автоматизируемых систем, необходимость сочетания в них различных средств управления и связи, новые возможности, создаваемые ЭВМ, привели к созданию единой, общей теории управления и связи, общей теории передачи и преобразования информации. Эти задачи в той или иной степени требовали описания изучаемых процессов в терминах сбора, хранения, обработки, анализа и оценивания информации и получения управленческого или прогностического решения.

С начала войны в разработке вычислительных устройств участвовал Н. Винер (вместе с американским конструктором В. Бушем). С 1943 года он начал разработку ЭВМ совместно с Дж. фон Нейманом. В связи с этим в Принстонском институте перспективных исследований (США) в 1943-44 были проведены совещания с участием представителей разных специальностей - математиков, физиков, инженеров, физиологов, неврологов. Здесь окончательно сформировалась группа Винера - фон Неймана, в которую входили учёные У. Мак-Каллок (США) и А. Розенблют (Мексика); работа этой группы позволила сформулировать и развить кибернетические идеи применительно к реальным техническим и медицинским задачам. Итог этим исследованиям подвёл Винер в опубликованной в 1948 году книге «Кибернетика».

Существенный вклад в развитие кибернетики внесли Н. М. Амосов, П. К. Анохин, А. И. Берг, Э. С. Бир, В. М. Глушков, Ю. В. Гуляев, С. В. Емельянов, Ю. И. Журавлёв, А. Н. Колмогоров, В. А. Котельников, Н. А. Кузнецов, О. И. Ларичев, О. Б. Лупанов, А. А. Ляпунов, А. А. Марков, Дж. фон Нейман, Б. Н. Петров, Э. Л. Пост, А. М. Тьюринг, Я. 3. Цыпкин, Н. Хомский, А. Чёрч, К. Шеннон, С. В. Яблонский, а также отечественные учёные М. А. Айзерман, В. М. Ахутин, Б. В. Бирюков, А. И. Китов, А. Я. Лернер, Вяч. Вяч. Петров, украинский учёный А. Г. Ивахненко.

Развитие кибернетики сопровождалось поглощением ею отдельных наук, научных направлений и их разделов и, в свою очередь, зарождением в кибернетике и последующим отделением от неё новых наук, многие из которых образовали функциональные и прикладные разделы информатики (в частности, распознавание образов, изображений анализ, искусственный интеллект). Кибернетика имеет достаточно сложную структуру, и в научном сообществе не достигнуто полного согласия относительно направлений и разделов, являющихся её неотъемлемыми частями. Предложенное в данной статье толкование опирается на традиции отечественных школ информатики, математики и кибернетики и на положения, не вызывающие серьёзных разногласий между ведущими учёными и специалистами, большинство из которых соглашается с тем, что кибернетика посвящена информации, практике её обработки и технике, связанной с информационными системами; изучает структуру, поведение и взаимодействие естественной и искусственной систем, хранящих, обрабатывающих и передающих информацию; развивает собственные концептуальные и теоретические основания; имеет вычислительный, когнитивный и социальный аспекты, включая социальное значение информационных технологий, поскольку и ЭВМ, и отдельные люди, и организации обрабатывают информацию.

С 1980-х годов наблюдается некоторое снижение интереса к кибернетике. Оно связано с двумя основными факторами: 1) в период становления кибернетики создание искусственного интеллекта многим казалось задачей более простой, чем она являлась в действительности, а перспектива её решения относилась к обозримому будущему; 2) на базе кибернетики, унаследовав её основные методы, в частности математические, и практически полностью поглотив кибернетику, возникла новая наука - информатика.

Важнейшие методы исследования и связь с другими науками. Кибернетика - междисциплинарная наука. Она возникла на стыке математики, теории автоматического регулирования, логики, семиотики, физиологии, биологии и социологии. Становление кибернетики проходило под влиянием тенденций развития собственно математики, математизации различных областей науки, проникновения математических методов во многие сферы практической деятельности, быстрого прогресса вычислительной техники. Процесс математизации сопровождался возникновением ряда новых математических дисциплин, таких как алгоритмов теория, информации теория, исследование операций, игр теория, составляющих существенную часть аппарата математической кибернетики. На основе задач теории управляющих систем, комбинаторного анализа, графов теории, теории кодирования возникла дискретная математика, также являющаяся одним из основных математических средств кибернетики. В начале 1970-х годов кибернетика сформировалась как физико-математическая наука со своим предметом исследования - так называемыми кибернетическими системами. Кибернетическая система состоит из элементов, в простейшем случае она может состоять и из одного элемента. Кибернетическая система получает входной сигнал (представляющий собой входные сигналы её элементов), имеет внутренние состояния (то есть определены множества внутренних состояний элементов); перерабатывая входной сигнал, система преобразует внутреннее состояние и выдаёт выходной сигнал. Структуру кибернетической системы задаёт множество соотношений, связывающих входные и выходные сигналы элементов.

В кибернетике существенное значение имеют задачи анализа и синтеза кибернетических систем. Задача анализа состоит в нахождении свойств преобразования информации, осуществляемых системой. Задача синтеза состоит в построении системы по описанию преобразования, которое она должна осуществлять; при этом класс элементов, из которых может состоять система, фиксирован. Важное значение имеет задача нахождения кибернетических систем, задающих одно и то же преобразование, то есть задача об эквивалентности кибернетических систем. Если задать функционал качества работы кибернетических систем, то возникают задачи нахождения в классе эквивалентных кибернетических систем наилучшей системы, то есть системы с максимальным значением функционала качества. В кибернетике рассматриваются также задачи надёжности кибернетических систем, решение которых направлено на повышение надёжности функционирования систем за счёт совершенствования их структуры.

Для достаточно простых систем перечисленные задачи обычно могут быть решены классическими средствами математики. Трудности вызывает анализ и синтез сложных систем, под которыми в кибернетике понимаются системы, не имеющие простых описаний. Такими обычно являются кибернетические системы, изучаемые в биологии. Направление исследований, за которым закрепилось название «теория больших (сложных) систем», развивается в кибернетике, начиная с 1950-х годов. Кроме сложных систем в живой природе, изучаются сложные системы автоматизации производства, системы экономического планирования, административные и экономические системы, системы военного назначения. Методы исследования сложных систем управления составляют основу системного анализа и исследования операций.

Для изучения сложных систем в кибернетике применяют как подход, использующий математические методы, так и экспериментальный подход, использующий различные эксперименты либо с самим изучаемым объектом, либо с его реальной физической моделью. К основным методам кибернетики относятся алгоритмизация, использование обратной связи, метод машинного эксперимента, метод «чёрного ящика», системный подход, формализация. Одним из важнейших достижений кибернетики является разработка нового подхода - метода моделирования математического. Он состоит в том, что эксперименты проводятся не с реальной физической моделью, а с компьютерной реализацией модели изучаемого объекта, построенной по его описанию. Эта компьютерная модель, включающая программы, реализующие изменения параметров объекта в соответствии с его описанием, реализуется на ЭВМ, что даёт возможность проводить с моделью различные эксперименты, регистрировать её поведение в различных условиях, менять те или иные структуры модели и т.п.

Теоретическую основу кибернетики составляет математическая кибернетика, посвящённая методам исследования широких классов кибернетических систем. В математической кибернетике используется ряд разделов математики, таких как математическая логика, дискретная математика, теория вероятностей, вычислительная математика, теория информации, теория кодирования, теория чисел, теория автоматов, теория сложности, а также математическое моделирование и программирование.

В зависимости от области применения в кибернетике выделяют: техническую кибернетику, включающую автоматизацию технологических процессов, теорию систем автоматического управления, компьютерные технологии, теорию вычислительных машин, системы автоматического проектирования, теорию надёжности; экономическую кибернетику; биологическую кибернетику, включающую бионику, математические и машинные модели биосистем, нейрокибернетику, биоинженерию; медицинскую кибернетику, занимающуюся процессом управления в медицине и здравоохранении, разработкой имитационных и математических моделей заболеваний, автоматизацией диагностики и планирования лечения; психологическую кибернетику, включающую изучение и моделирование психических функций на основе изучения поведения человека; физиологическую кибернетику, включающую изучение и моделирование функций клеток, органов и систем в условиях нормы и патологии для целей медицины; лингвистическую кибернетику, включающую разработку машинного перевода и общения с ЭВМ на естественном языке, а также структурных моделей обработки, анализа и оценивания информации. Одно из важнейших достижений кибернетики - выделение и постановка проблемы моделирования процессов мышления человека.

Лит.: Эшби У. Р. Введение в кибернетику. М., 1959; Анохин П. К. Физиология и кибернетика // Философские вопросы кибернетики. М., 1961; Логика. Автоматы. Алгоритмы. М., 1963; Глушков В. М. Введение в кибернетику. К., 1964; он же. Кибернетика. Вопросы теории и практики. М., 1986; Цетлин М. Л. Исследования по теории автоматов и моделированию биологических систем. М., 1969; Бирюков Б. В., Геллер Е. С. Кибернетика в гуманитарных науках. М., 1973; Бирюков Б. В. Кибернетика и методология науки. М., 1974; Винер Н. Кибернетика, или Управление и связь в животном и машине. 2-е изд. М., 1983; он же. Кибернетика и общество. М., 2003; Джордж Ф. Основы кибернетики. М., 1984; Искусственный интеллект: Справочник. М., 1990. Т. 1-3; Журавлев Ю. И. Избранные научные труды. М., 1998; Люгер Дж. Ф. Искусственный интеллект: стратегии и методы решения сложных проблем. М., 2003; Самарский А. А., Михайлов А. П. Математическое моделирование. Идеи, методы, примеры. 2-е изд. М., 2005; Ларичев О. И. Теория и методы принятия решений. 3-е изд. М., 2008.

Ю. И. Журавлёв, И. Б. Гуревич.

КИБЕРНЕТИКА, дисциплина, посвященная изучению систем управления и коммуникации у животных, в организациях и механизмах. Термин был впервые применен в этом смысле в 1948 г. Норбертом Винером. Научно-технический словарь

Назвал её наукой эффективной организации, а Гордон Паск расширил определение, включив потоки информации «из любых источников», начиная со звёзд и заканчивая мозгом.

Согласно другому определению кибернетики, предложенному в 1956 году Л. Куффиньялем (англ. ) , одним из пионеров кибернетики, кибернетика - это «искусство обеспечения эффективности действия» .

Ещё одно определение предложено Льюисом Кауфманом (англ. ) : «Кибернетика - это исследование систем и процессов, которые взаимодействуют сами с собой и воспроизводят себя».

Кибернетические методы применяются при исследовании случая, когда действие системы в окружающей среде вызывает некоторое изменение в окружающей среде, а это изменение проявляется на системе через обратную связь , что вызывает изменения в способе поведения системы. В исследовании этих «петель обратной связи » и заключаются методы кибернетики.

Современная кибернетика зарождалась, включая в себя исследования в различных областях систем управления , теории электрических цепей , машиностроения , математического моделирования , математической логики , эволюционной биологии , неврологии , антропологии . Эти исследования появились в 1940 году , в основном, в трудах учёных на т. н. конференциях Мэйси (англ. ) .

Другие области исследований, повлиявшие на развитие кибернетики или оказавшиеся под её влиянием: теория управления , теория игр , теория систем (математический аналог кибернетики), психология (особенно нейропсихология , бихевиоризм , познавательная психология) и философия .

Видео по теме

Сфера кибернетики

Объектом кибернетики являются все управляемые системы. Системы , не поддающиеся управлению, в принципе, не являются объектами изучения кибернетики. Кибернетика вводит такие понятия, как кибернетический подход , кибернетическая система . Кибернетические системы рассматриваются абстрактно, вне зависимости от их материальной природы. Примеры кибернетических систем - автоматические регуляторы в технике, ЭВМ , человеческий мозг, биологические популяции, человеческое общество. Каждая такая система представляет собой множество взаимосвязанных объектов (элементов системы), способных воспринимать, запоминать и перерабатывать информацию, а также обмениваться ею. Кибернетика разрабатывает общие принципы создания систем управления и систем для автоматизации умственного труда. Основные технические средства для решения задач кибернетики - ЭВМ. Поэтому возникновение кибернетики как самостоятельной науки (Н. Винер , 1948) связано с созданием в 40-х годах XX века этих машин, а развитие кибернетики в теоретических и практических аспектах - с прогрессом электронной вычислительной техники.

Теория сложных систем

Теория сложных систем анализирует природу сложных систем и причины, лежащие в основе их необычных свойств.

Способ моделирования сложной адаптивной системы

В вычислительной технике

В вычислительной технике методы кибернетики применяются для управления устройствами и анализа информации.

В инженерии

Кибернетика в инженерии используется, чтобы проанализировать отказы систем, в которых маленькие ошибки и недостатки могут привести к сбою всей системы.

В экономике и управлении

В математике

В психологии

В социологии

История

В Древней Греции термин «кибернетика», изначально обозначавший искусство кормчего, стал использоваться в переносном смысле для обозначения искусства государственного деятеля, управляющего городом. В этом смысле он, в частности, используется Платоном в «Законах ».

Джеймс Уатт

Первая искусственная автоматическая регулирующая система, водяные часы , была изобретена древнегреческим механиком Ктезибием. В его водяных часах вода вытекала из источника, такого как стабилизирующий бак, в бассейн, затем из бассейна - на механизмы часов. Устройство Ктезибия использовало конусовидный поток для контроля уровня воды в своём резервуаре и регулировки скорости потока воды соответственно, чтобы поддержать постоянный уровень воды в резервуаре, так, чтобы он не был ни переполнен, ни осушен. Это было первым искусственным действительно автоматическим саморегулирующимся устройством, которое не требовало никакого внешнего вмешательства между обратной связью и управляющими механизмами. Хотя они, естественно, не ссылались на это понятие как на науку кибернетику (они считали это областью инженерного дела), Ктезибий и другие мастера древности, такие как Герон Александрийский или китайский учёный Су Сун, считаются одними из первых, изучавших кибернетические принципы. Исследование механизмов в машинах с корректирующей обратной связью датируется ещё концом XVIII века , когда паровой двигатель Джеймса Уатта был оборудован управляющим устройством, центробежным регулятором обратной связи для того, чтобы управлять скоростью двигателя. А. Уоллес описал обратную связь как «необходимую для принципа эволюции» в его известной работе 1858 года . В 1868 году великий физик Дж. Максвелл опубликовал теоретическую статью по управляющим устройствам, одним из первых рассмотрел и усовершенствовал принципы саморегулирующихся устройств. Я. Икскюль применил механизм обратной связи в своей модели функционального цикла (нем. Funktionskreis ) для объяснения поведения животных.

XX век

Современная кибернетика началась в 1940-х как междисциплинарная область исследования, объединяющая системы управления, теории электрических цепей, машиностроение, логическое моделирование, эволюционную биологию, неврологию. Системы электронного управления берут начало с работы инженера Bell Labs Гарольда Блэка в 1927 году по использованию отрицательной обратной связи, для управления усилителями. Идеи также имеют отношения к биологической работе Людвига фон Берталанфи в общей теории систем .

Кибернетика как научная дисциплина была основана на работах Винера, Мак-Каллока и других, таких как У. Р. Эшби и У. Г. Уолтер .

Уолтер был одним из первых, кто построил автономные роботы в помощь исследованию поведения животных. Наряду с Великобританией и США, важным географическим местоположением ранней кибернетики была Франция.

Норберт Винер

Во время этого пребывания во Франции Винер получил предложение написать сочинение на тему объединения этой части прикладной математики, которая найдена в исследовании броуновского движения (т. н. винеровский процесс) и в теории телекоммуникаций. Следующим летом, уже в Соединённых Штатах, он использовал термин «кибернетика» как заглавие научной теории. Это название было призвано описать изучение «целенаправленных механизмов» и было популяризировано в книге «Кибернетика, или управление и связь в животном и машине» (Hermann & Cie, Париж, 1948). В Великобритании вокруг этого в 1949 году образовался Ratio Club (англ. ) .

Кибернетика в СССР

Голландские учёные-социологи Гейер и Ван дер Зоувен в 1978 году выделили ряд особенностей появляющейся новой кибернетики. «Одной из особенностей новой кибернетики является то, что она рассматривает информацию как построенную и восстановленную человеком, взаимодействующим с окружающей средой. Это обеспечивает эпистемологическое основание науки, если смотреть на это с точки зрения наблюдателя. Другая особенность новой кибернетики - её вклад в преодоление проблемы редукции (противоречий между макро- и микроанализом). Таким образом, это связывает индивидуума с обществом» . Гейер и Ван дер Зоувен также отметили, что «переход от классической кибернетики к новой кибернетике приводит к переходу от классических проблем к новым проблемам. Эти изменения в размышлении включают, среди других, изменения от акцента на управляемой системе к управляющей и фактору, который направляет управляющие решения. И новый акцент на коммуникации между несколькими системами, которые пытаются управлять друг другом»

Сборник продолжает (с 1988 г.) математическую направленность всемирно известной серии «Проблемы кибернетики». В сборник включены оригинальные и обзорные статьи по магистральным направлениям мировой науки, содержащие новейшие результаты фундаментальных исследований.

Авторами сборника являются в основном известные специалисты, часть статей написана молодыми учеными, получившими в последнее время яркие новые результаты. Среди представленных в сборнике направлений – теория синтеза и сложности управляющих систем; связанные с многозначными логиками и автоматами проблемы выразимости и полноты в теории функциональных систем; фундаментальные вопросы дискретной оптимизации и распознавания; проблематика экстремальных задач для дискретных функций (задачи Фейера, Турана, Дельсарта на конечной циклической группе); исследование математических моделей передачи информации в сетях связи, представлен также ряд других разделов математической кибернетики.

Следует особо отметить обзорную статью О. Б. Лупанова «А. Н. Колмогоров и теория сложности схем». Выпуск 16 – 2007 г. Для специалистов, аспирантов, студентов, интересующихся современным состоянием математической кибернетики и ее приложений.

Теория хранения и поиска информации

Вводится новый вид представления баз данных, называемый информационно-графовой моделью данных, обобщающий известные ранее модели. Рассматриваются основные типы задач поиска информации в базах данных и исследуются проблемы сложности решения этих задач применительно к информационно-графовой модели.

Разработан математический аппарат решения этих задач, основанный на методах теории сложности управляющих систем, теории вероятностей, а также на оригинальных методах характеристических носителей графа, оптимальной декомпозиции и снижения размерности.

Книга предназначена для специалистов в области дискретной математики , математической кибернетики, теории распознавания и алгоритмической сложности.

Теория тестового распознавания

Описывается логический подход к распознаванию образов. Его основным понятием выступает тест. Анализ совокупности тестов позволяет строить функционалы, характеризующие образ и процедуры вычисления их значений. Указываются качественные и метрические свойства тестов, функционалов и процедур распознавания.

Приводятся результаты решения конкретных задач. Книга может быть рекомендована математикам , кибернетикам, информатикам и инженерам как научная монография и как новый технологический аппарат, а также как учебное пособие для студентов и аспирантов, специализирующихся в области математической кибернетики, дискретной математики и математической информатики.

Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов

В книге в форме задач систематически изложены основы теории множеств, математической логики и теории алгоритмов. Книга предназначена для активного изучения математической логики и смежных с ней наук. Состоит из трех частей: «Теория множеств», «Математическая логика» и «Теория алгоритмов».

Задачи снабжены указаниями и ответами. Все необходимые определения сформулированы в кратких теоретических введениях к каждому параграфу. 3-е издание книги вышло в 1995 г. Сборник может быть использован как учебное пособие для математических факультетов университетов, педагогических институтов, а также в технических вузах при изучении кибернетики и информатики.

Для математиков – алгебраистов, логиков и кибернетиков.

Основы теории булевых функций

Книга содержит развернутое введение в теорию булевых функций. Изложены основные свойства булевых функций и доказан критерий функциональной полноты. Приведено описание всех замкнутых классов булевых функций (классов Поста) и дано новое доказательство их конечной порождаемости.

Рассмотрено задание классов Поста в терминах некоторых стандартных предикатов. Изложены основы теории Галуа для классов Поста. Введены и исследованы два «сильных» оператора замыкания: параметрического и позитивного. Рассмотрены частичные булевы функции и доказан критерий функциональной полноты для класса частичных булевых функций.

Исследована сложность реализации булевых функций схемами из функциональных элементов. Для студентов, аспирантов и преподавателей высшей школы, изучающих и преподающих дискретную математику и математическую кибернетику. Допущено УМО по классическому университетскому образованию в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлениям ВПО 010400 «Прикладная математика и информатика» и 010300 «Фундаментальная информатика и информационные технологии».

Численные методы оптимизации 3-е изд., испр. и доп. Учебник и практикум для академического бакалаври

Учебник написан на основе курсов лекций по оптимизации, которые на протяжении ряда лет читались авторами на факультете вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова. Основное внимание уделено методам минимизации функций конечного числа переменных.

Издание включает в себя теорию и численные методы решения задач оптимизации, а также примеры прикладных моделей, сводящиеся к данному типу математических задач. В приложение вынесены все необходимые сведения из математического анализа и линейной алгебры.

Физика. Практический курс для поступающих в университеты

Пособие предназначено для учащихся выпускных классов средних школ с углубленным изучением физики и математики. Его основу составляют задачи по физике, предлагавшиеся в течение последних 20 лет абитуриентам факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ им.

М. В. Ломоносова. Материал разбит по темам в соответствии с программой вступительных испытаний по физике для поступающих в МГУ. Каждая тема предваряется краткой сводкой базовых теоретических сведений, которые необходимы для решения задач и окажутся полезными при подготовке к вступительным экзаменам.

Всего в сборник включено около 600 задач, свыше половины из них снабжены подробными решениями и методическими указаниями. Для школьников, готовящихся к поступлению на физико-математические факультеты университетов.

Методы оптимизации 3-е изд., испр. и доп. Учебник и практикум для академического бакалавриата

Учебник написан на основе курсов лекций по оптимизации, которые на протяжении ряда лет читались авторами на факультете вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова. Основное внимание уделено методам минимизации функций конечного числа переменных.

Издание включает задачи. В приложение вынесены все необходимые сведения из математического анализа и линейной алгебры.

Интеллектуальные системы. Теория хранения и поиска информации 2-е изд., испр. и доп. Учебник для бак

Рассматриваются основные типы задач поиска информации в базах данных, исследуются проблемы сложности решения этих задач применительно к информационно-графовой модели.

Аналитическая геометрия

Учебник написан на основе опыта преподавания авторов в Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова. Первое издание вышло в 1968 г. , второе (1971 г.) и третье (1981 г.) издания стереотипные, четвертое издание (1988 г.) было дополнено материалом, посвященным линейным и проективным преобразованиям.

Математическая теория игр является составной частью обширного раздела математики – исследования операций. Методы теории игр широко применяется в экологии, психологии, кибернетике, биологии – везде, где множество участников преследуют в совместной деятельности различные (зачастую противоположные) цели.

Но основная область применения этой дисциплины – экономика и общественные науки. Учебник включает темы, которые являются базовыми и обязательны в обучении экономистов. В нем представлены классические разделы теории игр, такие как матричные, биматричные некооперативные и статистические игры, и современные разработки, например, игры с неполной и несовершенной информацией, кооперативные и динамические игры.

Теоретический материал в книге широко проиллюстрирован примерами и снабжен заданиями для индивидуальной работы, а также тестами.

Известные преподаватели

• Л. А. Петросян - доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры математической теории игр и статических решений. Область научного руководства: математическая теория игр и ее приложения
• А. Ю. Александров - доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры управления медико-биологическими системами. Область научного руководства: качественные методы теории динамических систем, теория устойчивости, теория управления, теория нелинейных колебаний, математическое моделирование
• С. Н. Андрианов - доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры компьютерного моделирования и многопроцессорных систем. Область научного руководства: математическое и компьютерное моделирование сложных динамических систем с управлением
• Л. К. Бабаджанянц - доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедра механики управляемого движения. Область научного руководства: математические пpоблемы аналитической и небесной механики, космической динамики, теоpемы существования и пpодолжаемости pешения задачи Коши для обыкновенных диффеpенциальных уpавнений, теоpия устойчивости и упpавляемое движение, численные методы решения некорректных задач, создание пакетов пpикладных пpогpамм
• В. М. Буре - доктор технических наук, доцент, профессор кафедры математической теории игр и статических решений. Область научного руководства: вероятностно-статистическое моделирование, анализ данных
• Е. Ю. Бутырский - доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры теории управления СПбГУ. Область научного руководства: теория управления
• Е. И. Веремей - доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры компьютерных технологий и систем. Область научного руководства: разработка математических методов и вычислительных алгоритмов оптимизации систем управления и методов их компьютерного моделирования
• Е. В. Громова - кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры математической теории игр и статистических решений. Область научного руководства: теория игр, дифференциальные игры, кооперативная теория игр, приложения теории игр в менеджменте, экономике и экологии, математическая статистика, статистический анализ в медицине и биологии
• О. И. Дривотин - доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник, профессор кафедры теории систем управления электрофизической аппаратурой. Область научного руководства: моделирование и оптимизация динамики пучков заряженных частиц, теоретические и математические проблемы классической теории поля, некоторые проблемы математической физики, компьютерные технологии в физических задачах
• Н. В. Егоров - доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры моделирования электромеханических и компьютерных систем. Область научного руководства: информационно-экспертные и интеллектуальные системы, математическое, физическое и натурное моделирование структурных элементов вычислительных устройств и электромеханических систем, диагностические системы на основе электронных и ионных пучков, эмиссионная электроника и физические аспекты методов контроля и управления свойствами поверхности твердого тела
• А. П. Жабко - доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры теории управления. Область научного руководства: дифференциально-разностные системы, робастная устойчивость, анализ и синтез систем управления плазмой
• В. В. Захаров - доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры математического моделирования энергетических систем. Область научного руководства: оптимальное управление, теория игр и приложения, исследование операций, прикладная математическая (интеллектуальная) логистика, теория транспортных потоков
• Н. А. Зенкевич - доцент кафедры математической теории игр и статистических решений. Область научного руководства: теория игр и ее приложения в менеджменте, теория конфликтно-управляемых процессов, количественные методы принятия решений, математическое моделирование экономических и бизнес-процессов
• А. В. Зубов - доктор физико-математических наук, доцент, доцент кафедры математической теории микропроцессорных систем управления. Область научного руководства: управление и оптимизация баз данных
• А. М. Камачкин - доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры высшей математики. Область научного руководства: качественные методы теории динамических систем, теория нелинейных колебаний, математическое моделирование нелинейных динамических процессов, теория нелинейных систем автоматического управления
• В. В. Карелин - кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры математической теории моделирования систем управления. Область научного руководства: методы идентификации; негладкий анализ; наблюдаемость; адаптивное управление
• А. Н. Квитко - доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры информационных систем. Область научного руководства: краевые задачи для управляемых систем; стабилизация, методы оптимизации программных движений, управление движением аэрокосмических комплексов и других технических объектов, разработка алгоритмов автоматизированного проектирования интеллектуальных систем управления
• В. В. Колбин - доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры математической теории экономических решений. Область научного руководства: математическая
• В. В. Корников - кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры управления медико-биологическими системами. Область научного руководства: стохастическое моделирование в биологии, медицине и экологии, многомерный статистический анализ, разработка математических методов многокритериального оценивания и принятия решений в условиях неопределенности, системы принятия решений в задачах управления финансами, математические методы анализа нечисловой и неполной информации, байесовские модели неопределенности и риска
• Е. Д. Котина - доктор физико-математических наук, доцент, профессор кафедры теории управления. Область научного руководства: дифференциальные уравнения, теория управления, математическое моделирование, методы оптимизации, анализ и формирование динамики пучков заряженных частиц, математическое и компьютерное моделирование в ядерной медицине
• Д. В. Кузютин - кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры математической теории игр и статистических решений. Область научного руководства: математическая теория игр, оптимальное управление, математические методы и модели в экономике и менеджменте
• Г. И. Курбатова - доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры моделирования электромеханических и компьютерных систем. Область научного руководства: неравновесные процессы в механике неоднородных сред; компьютерная гидродинамика в среде Maple, проблемы градиентной оптики, проблемы моделирования транспортировки газовых смесей по морским трубопроводам
• О. А. Малафеев - доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры моделирования социально-экономических систем. Область научного руководства: моделирование конкурентных процессов в социально-экономической сфере, исследование нелинейных динамических конфликтно-управляемых систем
• С. Е. Михеев - доктор физико-математических наук, доцент, доцент кафедры математической теории моделирования систем управления СПбГУ. Область научного руководства: нелинейное программирование, ускорение сходимости численных методов, моделирование колебаний и восприятия звука человеческим ухом, дифференциальные игры, управление экономическими процессами
• В. Д. Ногин - доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры теории управления. Область научного руководства: теоретические, алгоритмические и прикладные вопросы теории принятия решений при наличии нескольких критериев
• А. Д. Овсянников - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры технологии программирования. Область научного руководства: компьютерное моделирование, методы вычислений, моделирование и оптимизация динамики заряженных частиц в ускорителях, моделирование и оптимизация параметров плазмы в токамаках
• Д. А. Овсянников - доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры теории систем управления электрофизической аппаратурой. Область научного руководства: управление пучками заряженных частиц, управление в условиях неопределенности, математические методы оптимизации ускоряющих и фокусирующих структур, математические методы управления электрофизической аппаратурой
• И. В. Олемской - доктор физико-математических наук, доцент, профессор кафедры информационных систем. Область научного руководства: численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений
• А. А. Печников - доктор технических наук, доцент, профессор кафедры технологии программирования. Область научного руководства: вебометрика, проблемно-ориентированные системы, основанные на веб-технологиях, мультимедийные информационные системы, дискретная математика и математическая кибернетика, программные системы и модели, математическое моделирование социальных и экономических процессов
• Л. Н. Полякова - доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры математической теории моделирования систем управления. Область научного руководства: негладкий анализ, выпуклый анализ, численные методы решения негладких задач оптимизации (минимизация функции максимума, разности выпуклых функций), теория многозначных отображений
• А. В. Прасолов - доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры моделирования экономических систем. Область научного руководства: математическое моделирование экономических систем, статистические методы прогнозирования, дифференциальные уравнения с последействием
• С. Л. Сергеев - кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры технологии программирования. Область научного руководства: интеграция и применение современных информационных технологий, автоматизированное управление, компьютерное моделирование
• М. А. Скопина - доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры высшей математики. Область научного руководства: теория всплесков, гармонический анализ, теория приближений функций
• Г. Ш. Тамасян - кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры математической теории моделирования систем управления. Область научного руководства: негладкий анализ, недифференцируемая оптимизация, выпуклый анализ, численные методы решения негладких задач оптимизации, вариационное исчисление, теория управления, вычислительная геометрия
• С. И. Тарашнина - кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры математической теории игр и статистических решений. Область научного руководства: математическая теория игр, кооперативные игры, игры преследования, статистический анализ данных
• И. Б. Токин - доктор биологических наук, профессор, профессор кафедрф управления медико-биологическими системами. Область научного руководства: моделирование действия радиации на клетки млекопитающих; анализ метастабильных состояний клеток, процессов авторегуляции и репарации поврежденных клеток, механизмов восстановления тканевых систем при внешних воздействиях; экология человека
• А. Ю. Утешев - доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры управления медико-биологическими системами. Область научного руководства: символьные (аналитические) алгоритмы для систем полиномиальных уравнений и неравенств; вычислительная геометрия; вычислительные аспекты теории чисел, кодирование, шифрование; качественная теория дифференциальных уравнений; задачи об оптимальном размещении предприятий (facility location)
• В. Л. Харитонов - доктор физико-математических наук, профессор кафедры теории управления. Область научного руководства: теория управления, уравнения с запаздывающим аргументом, устойчивость и робастная устойчивость
• С. В. Чистяков - доктор физико-математических наук, профессор кафедры математической теории игр и статистических решений СПбГУ. Область научного руководства: теория оптимального управления, теория игр, математические методы в экономике
• В. И. Шишкин - доктор медицинских наук, профессор, профессор кафедры диагностики функциональных систем. Область научного руководства: математическое моделирование в биологии и медицине, применение математических моделей для разработки диагностических методов и прогноза заболеваний, компьютерное обеспечение в медицине, математическое моделирование технологических процессов производства элементной базы для приборов медицинской диагностики
• А. С. Шмыров - доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры механики управляемого движения СПбГУ. Область научного руководства: методы оптимизации в космической динамике, качественные методы в гамильтоновых системах, аппроксимация функций распределения, методы противодействия кометно-астероидной опасности

Академические партнеры

• Институт математики и механики имени Н. Н. Красовского Уральского отделения РАН (Екатеринбург)
• Институт проблем управления имени В. А. Трапезникова РАН (Москва)
• Институт прикладных математических исследований Карельского научного центра РАН (Петрозаводск)

Проекты и гранты

Реализуемые в рамках программы

• грант РФФИ 16-01-20400 «Проект организации Десятой международной конференции "Теория игр и менеджмент" (GTM2016)», 2016. Руководитель - Л. А. Петросян
• грант СПбГУ 9.38.245.2014 «Принципы оптимальности в динамических и дифференциальных играх с фиксированной и изменяющейся коалиционной структурой», 2014–2016. Руководитель - Л. А. Петросян
• грант СПбГУ 9.38.205.2014 «Новые конструктивные подходы в негладком анализе и недифференцируемой оптимизации и их приложения», 2014–2016. Руководитель - В. Ф. Демьянов, Л. Н. Полякова
• грант СПбГУ 9.37.345.2015 «Управление орбитальным движением небесных тел с целью противодействия кометно-астероидной опасности», 2015–2017. Руководитель - Л. А. Петросян
• грант РФФИ № 14-01-31521_мол_а «Неоднородные аппроксимации негладких функций и их приложения», 2014–2015. Руководитель - Г. Ш. Тамасян

Реализуемые с вузами-партнерами

• совместно с Университетом Циндао (Китай) - 17-51-53030 «Рациональность и устойчивость в играх на сетях», с 2017 года по настоящее время. Руководитель - Л. А. Петросян

Ключевые моменты

• Программа состоит из образовательной и исследовательской составляющих. Образовательная составляющая включает изучение учебных дисциплин, в том числе методов математической кибернетики, дискретной математики, теории управляющих систем, математического программирования, математической теории исследования операций и теории игр, математической теории распознавания и классификации, математической теории оптимального управления, и прохождение педагогической практики. Учебный план предусматривает набор дисциплин по выбору, позволяя аспирантам формировать индивидуальный график обучения. Задачей исследовательской составляющей обучения является получение результатов, научная ценность и новизна которых позволяет осуществлять публикацию в научных журналах, входящих в наукометрические базы РИНЦ, WoS и Scopus
• Миссией данной образовательной программы является подготовка кадров высшей квалификации, способных к критическому анализу и оценке современных научных достижений, генерированию новых идей при решении исследовательских и практических задач, в том числе в междисциплинарных областях
• Выпускники, освоившие программу:
  • умеют проектировать и осуществлять комплексные исследования, в том числе междисциплинарные, на основе целостного системного научного мировоззрения
  • готовы к участию в работе российских и международных исследовательских коллективов по решению актуальных научных и научно-образовательных задач и использованию современных методов и технологий научной коммуникации на государственном и иностранном языках
  • способны планировать и решать задачи собственного профессионального и личностного развития, самостоятельно осуществлять научно-исследовательскую деятельность в соответствующей профессиональной области с использованием современных методов исследования и информационно-коммуникационных технологий, а также быть готовыми к преподавательской деятельности по основным образовательным программам высшего образования