§22. Прямоугольный параллелепипед

17. Прямоугольный параллелепипед. Объем. Правила

На рисунке изображен прямоугольный параллелепипед. В жизни мы сталкиваемся с такой формой в виде коробка спичек, коробки из-под обуви, кирпича и т.д.
Прямоугольники, составляющие поверхность параллелепипеда, называются гранями. У параллелепипеда их 6 , причем грани расположенные напротив друг друга равны. У параллелепипеда есть 12 ребер, они также являются сторонами граней. Точки схождения ребер называются вершинами параллелепипеда. Площадь грани 1 изображенной на рисунке равна произведению первого и второго ребра.
Площадь всей поверхности параллелепипеда равна сумме площадей граней 1, 2 и 3 умноженной на 2 .

Прямоугольный параллелепипед определяется тремя измерениями.
Высота (обозначим буквой h ) равна длине ребра № 1.
Длина (обозначим буквой m ) равна длине ребра № 2.
Ширина (обозначим буквой n ) равна длине ребра № 3.
Если площадь всей поверхности параллелепипеда обозначить буквой S , то формула ее нахождения будет выглядеть так:
S = (h m + h n + n m) 2

Кубом называют прямоугольный параллелепипед, у которого все измерения равны. Поверхность куба составляет 6 равных квадратов.
Если длину ребра куба обозначить буквой n , то площадь одной грани S = n 2
Прямоугольный параллелепипед обладает еще одним измерением, которое называется объем (обозначим буквой V ) .
V = h m n

Величина объем показывает, какую часть пространства занимает объект. В быту объем чаще всего используется для измерения жидкостей, и самая распространенная единица измерения объема является литр = 1дм 3 .
Так же для измерения объема используются м 3 , мм 3 , см 3 , км 3 .

Куб с размерами 1см будет обладать объемом 1 см 3 .
V = 1 см 1 см 1 см = 1 см 3 .
Два таких куба вместе займут вдвое больший объем 2 см 3 , то есть объем объекта это сумма объемов фигур, из которых состоит объект.

ПОВТОРЯЕМ ТЕОРИЮ

260. Заполните теорию.

1) Каждая грань прямоугольного параллелепипеда является прямоугольником .
2) Сторона граней прямоугольного параллелепипеда называют ребрами , вершины граней - вершинами прямоугольного параллелепипеда .
3) У параллелепипеда 6 граней, 12 ребер, 8 вершин.
4) Грани прямоугольного параллелепипеда, не имеющие общих вершин, называют противолежащими .
5) Противолежащие грани прямоугольного параллелепипеда равны .
6) Площадью поверхности параллелепипеда называют сумму площадей его граней .
7) Длины трех ребер прямоугольного параллелепипеда, имеющих общую вершину, называют измерениями прямоугольного параллелепипеда.
8) Чтобы различать измерения прямоугольного параллелепипеда, пользуюятся названиями: длина, ширина и высота.
9) Кубом называют прямоугольный параллелепипед, у которого все измерения равны .
10) Поверхность куба состоит из шести равных квадратов .

РЕШАЕМ ЗАДАЧИ

261. На рисунке изображен прямоугольный параллелепипед ABCDMKEF. Заполните пропуски.

1) Вершина В принадлежит граням АМКВ, АВСD, КВСЕ .
2) Ребру ЕF равны ребра КМ, АВ, СD .
3) Верхняя грань параллелепипеда - прямоугольник МКЕF .
4) Ребро DF является общим ребром граней АМFD и FЕСD .
5) Грани АМКВ равна грань FЕСD .

262. Вычислите площадь поверхности куба и ребром 6 см.

Решение :
Площадь одной грани равна
6 2 -6*6 = 36 (см 2)
Площадь повехности равна
6*36 = 216 (см 2)

Ответ : Площадь поверхности равна 216 см 2 .

263. На рисунке изображен прямоугольный параллелепипед MNKPEFCD, измерения которого равны 8 см, 5 см и 3 см. Вычислите сумму длин всех его ребер и площадь поверхности.

Решение :
Сумма ребер
4*(8+5+3) = 64 (см)
Площадь поверхности равна:
2*(8*3+8*5+5*3) = 158 (см 2)

Ответ : сумма длин всех его ребер равна 64 см, площадь поверхности - 158 см 2 .

264. Заполните пропуски.

1) Поверхность пирамиды состоит из боковых граней - треугольников, имеющих общую вершину и основание .
2) Общую вершину боковых граней называют вершиной пирамиды .
3) Стороны основания пирамиды называют ребрами основания , а стороны боковых граней, не принадлежащие основанию, - боковыми ребрами .

265. На рисунке изображена пирамида SABCDE. Заполните пропуски.

1) На рисунке изображена 5 угольная пирамида.
2) Боковыми гранями пирамиды являются треугольники SAB, SBC, SCD, SDE, SEA , а основанием - 5 угольник, ABCDE .
3) Вершиной пирамиды является точка S .
4) Ребрами основания пирамиды являются отрезки AB, BC, CD, DE, EA , боковыми ребрами - отрезки SA, SB, SC, SD, SE .

266. На рисунке изображена пирамида DАВС.ю все грани которой - равносторонние треугольники со сторонами по 4 см. Чему равна сумма длин всех ребер пирамиды?

Решение :
Сумма длин ребер равна
6*4 = 24 (см)

Ответ : 24 см.

267. На рисунке изображена пирамида МАВСD, боковые грани которой - равнобедренные треугольники с боковыми сторонами по 7 см, а основание - квадрат со стороной 8 см. Чему равна сумма длин всех ребер пирамиды?

Решение :
Сумма длин боковых ребер равна
4*7 = 28 (см)
Сумма длин ребер основания равна
4*8 = 32 (см)
Сумма длин всех ребер
28+32 = 60 (см)

Ответ : сумма длин всех ребер пирамиды равна 60 см.

268. Может ли иметь (да, нет) форму прямоугольного параллелепипеда:
1) яблоко; 2) коробка; 3) торт; 4) дерево; 5) кусок сыра; 6) кусок мыла?

Ответ : 1) нет; 2) да; 3) да; 4) нет; 5) да; 6) да.

269. На рисунке показана последовательность шагов изображения прямоугольного параллелепипеда. Начертите так же параллелепипед.

270. На рисунке показана последовательность шагов изображения пирамиды. Начертите так же пирамиду.

271. Чему равно ребро куба, если площадь его поверхности равна 96 см 2 .

Решение :
1) 96:6 = 16 (см 2) - площадь одной грани куба.
2) 4*4 = 16, значит ребро куба равна 4 см.

Ответ : 4 см.

272. Запишите формулу для вычисления площади S поверхности:

1) куба, ребро которого равно а;
2) прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны а, b, c.

Ответ : 1) S = 6а 2 ; 2) S = 2(аb+ас+bс)

273. Для покраски куба, изображенного на рисунке слева, требуется 270 г краски. Часть куба вырезали. Сколько потребуется граммов краски, чтобы покрасить часть поверхности полученного тела, выделенную голубым цветом.

Решение :
1) 270:6:9 = 45:9 = 5 (г) - на покраску единичной грани
2) 5*12 = 60 (г) - на покраску голубой поверхности

Ответ : потребуется 60 г раски

274. Какая из фигур А, Б, В, Г, Д дополняет фигуру Е до параллелепипеда?

275. Прямоугольный параллелепипед и куб имеют равные площади поверхности. Высота параллелепипеда равна 4 см, что в 3 раза меньше его длины и на 5 см меньше его ширины. Найдите ребро куба.

Решение :
1) 4*3 = 12 (см) длина переллелепипеда
2) 4+5 = 9 (см) ширина параллелепипеда
3) 2*(4*12+4*9+12*9) = 384 (см 2) площадь поверхности параллелепипеда
4) 384:6 = 64 (см 2) площадь грани куба
5) 64 = 8*8 = 8 2 , значит ребро куба 8 см.

Ответ : ребро куба 8 см.

276. Обведите на изображении куба цветным карандашом видимые ребра так, чтобы куб был виден: 1) сверху и справа; 2) снизу и слева.

277. Грани куба пронумерованы числами от 1 до 6. На рисунке изображены два варианта развертки отдного и того же куба, полученные при равном разрезании. Какое число должно стоять вместо знака вопроса?

«Вектор имеет координаты» - Длина. Координаты равны нулю. Координаты конца единичного вектора. Вектор. Найдите координаты точки. Угол между векторами. Координаты вектора. Векторы. Вершина. Координаты. Найдите длину вектора. Найдите координаты. Длина вектора. Теорема. Прямоугольный параллелепипед. Найдите координаты векторов.

«Понятие вектора в пространстве» - Кроссворд. Любая точка пространства также может рассматриваться как вектор. Современная символика для обозначения вектора. Физические величины. Электрическое поле. Могут ли быть равными векторы на рисунке. Векторы в пространстве. Коллинеарные векторы. Равенство векторов. Доказать, что от любой точки пространства можно отложить вектор.

«Прямоугольная система координат в пространстве» - Координаты вектора в пространстве. Векторы называются коллинеарными, если они параллельны. Координаты середины отрезка. Угол между векторами. Три плоскости, проходящие через оси координат. Связь между координатами векторов и координатами точек. Скалярное произведение векторов. Вектор, конец которого совпадает с данной точкой.

«Декартова система координат» - Аналитическое уравнение эллипса. Точка на плоскости может быть задана полярной системой координат. Парабола. Прямые называются директрисами. Аналитическое уравнение гиперболы. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Уравнение у2 = 4х – 8 определяет параболу. Гипербола. Угол между прямыми.

«Определение компланарных векторов» - Цели урока. Признак компланарности трех векторов. Компланарные векторы. Новый материал. Определение. Может ли длина суммы двух векторов быть меньше длины каждого. Справедливо ли утверждение. Так как векторы компланарны, то они лежат в одной плоскости. Мы умеем на плоскости складывать векторы по правилу треугольника.

«Решение задач координатным методом» - Составьте уравнение плоскости. Решение задач на нахождение расстояний и углов. Длины ребер. Найдите расстояние. Угол. Стороны основания. Тексты задач. Расстояние между плоскостями сечений куба. Точка. Назовите наклонную к плоскости. Ромб. Математический диктант. Решите задачу. Уравнения координатных плоскостей.

Всего в теме 23 презентации