Dérivez une formule pour calculer l’aire d’un triangle équilatéral. Triangle régulier

Dans le cours de géométrie scolaire, une grande partie du temps est consacrée à l'étude des triangles. Les élèves calculent des angles, construisent des bissectrices et des altitudes, découvrent en quoi les formes diffèrent les unes des autres et découvrent le moyen le plus simple de trouver leur aire et leur périmètre. Il semble que cela ne sera pas utile dans la vie, mais il est parfois utile d'apprendre, par exemple, à déterminer si un triangle est équilatéral ou obtus. Comment faire cela ?

Types de triangles

Trois points qui ne se trouvent pas sur la même ligne et les segments qui les relient. Il semble que ce chiffre soit le plus simple. De quel genre de triangles peuvent-ils être s’ils n’ont que trois côtés ? En fait, il existe un assez grand nombre d'options, et certaines d'entre elles font l'objet d'une attention particulière dans le cours de géométrie scolaire. Un triangle régulier est équilatéral, c'est-à-dire que tous ses angles et côtés sont égaux. Il possède un certain nombre de propriétés remarquables, qui seront discutées plus loin.

Une isocèle n’a que deux côtés égaux et est également très intéressante. Dans un rectangle, comme vous pouvez le deviner, l'un des angles est respectivement droit ou obtus. De plus, ils peuvent aussi être isocèles.

Il y en a aussi un spécial appelé égyptien. Ses côtés sont de 3, 4 et 5 unités. De plus, il est rectangulaire. On pense qu’il a été activement utilisé par les géomètres et les architectes égyptiens pour construire des angles droits. On pense que les célèbres pyramides ont été construites avec son aide.

Et pourtant, tous les sommets d’un triangle peuvent se trouver sur la même droite. Dans ce cas, il sera dit dégénéré, tandis que tous les autres seront dits non dégénérés. Ils sont l'un des sujets d'étude de la géométrie.

Triangle équilatéral

Bien entendu, ce sont toujours les chiffres corrects qui suscitent le plus grand intérêt. Ils semblent plus parfaits, plus gracieux. Les formules de calcul de leurs caractéristiques sont souvent plus simples et plus courtes que pour les chiffres ordinaires. Cela s'applique également aux triangles. Il n'est pas surprenant qu'une grande attention leur soit accordée lors de l'étude de la géométrie : les écoliers apprennent à distinguer les figures correctes des autres et sont également informés de certaines de leurs caractéristiques intéressantes.

Signes et propriétés

Comme son nom l’indique, chaque côté d’un triangle équilatéral est égal aux deux autres. De plus, il possède un certain nombre de fonctionnalités qui vous aident à déterminer si le chiffre est correct ou non.

Si au moins un des signes ci-dessus est observé, alors le triangle est équilatéral. Pour le chiffre correct, toutes les affirmations ci-dessus sont vraies.

Tous les triangles possèdent un certain nombre de propriétés remarquables. Premièrement, la ligne médiane, c'est-à-dire le segment divisant deux côtés en deux et parallèle au troisième, est égale à la moitié de la base. Deuxièmement, la somme de tous les angles de cette figure est toujours égale à 180 degrés. De plus, il existe une autre relation intéressante dans les triangles. Ainsi, en face du plus grand côté se trouve le plus grand angle et vice versa. Mais cela n’a bien sûr rien à voir avec un triangle équilatéral, car tous ses angles sont égaux.

Cercles inscrits et circonscrits

Souvent, dans un cours de géométrie, les étudiants apprennent également comment les formes peuvent interagir les unes avec les autres. En particulier, les cercles inscrits dans des polygones ou décrits autour d'eux sont étudiés. De quoi parle-t-on ?

Un cercle inscrit est un cercle pour lequel tous les côtés du polygone sont tangents. Décrit - celui qui a des points de contact avec tous les coins. Pour chaque triangle, vous pouvez toujours construire le premier et le deuxième cercles, mais un seul de chaque type. Preuve de ces deux

les théorèmes sont donnés dans le cours de géométrie scolaire.

En plus du calcul des paramètres des triangles eux-mêmes, certains problèmes impliquent également le calcul des rayons de ces cercles. Et des formules pour
Le triangle équilatéral ressemble à ceci :

où r est le rayon du cercle inscrit, R est le rayon du cercle circonscrit, a est la longueur du côté du triangle.

Calcul de la hauteur, du périmètre et de la superficie

Les paramètres de base que les écoliers calculent en étudiant la géométrie restent inchangés pour presque toutes les figures. Ce sont le périmètre, la superficie et la hauteur. Pour simplifier les calculs, il existe différentes formules.

Ainsi, le périmètre, c'est-à-dire la longueur de tous les côtés, est calculé de la manière suivante :

P = 3a = 3√ ̅3R = 6√ ̅3r, où a est le côté d'un triangle équilatéral, R est le rayon du cercle circonscrit, r est le cercle inscrit.

h = (√ ̅3/2)*a, où a est la longueur du côté.

Enfin, la formule est dérivée de la formule standard, c'est-à-dire le produit de la moitié de la base et de sa hauteur.

S = (√ ̅3/4)*a 2, où a est la longueur du côté.

Cette valeur peut également être calculée à travers les paramètres d'un cercle circonscrit ou inscrit. Il existe également des formules spéciales pour cela :

S = 3√ ̅3r 2 = (3√ ̅3/4)*R 2, où r et R sont respectivement les rayons des cercles inscrits et circonscrits.

Construction

Un autre type de problème intéressant, notamment celui des triangles, implique la nécessité de dessiner une figure particulière en utilisant un ensemble minimal

outils : boussole et règle sans divisions.

Afin de construire un triangle régulier en utilisant uniquement ces appareils, vous devez suivre plusieurs étapes.

1. Vous devez tracer un cercle avec n'importe quel rayon et avec un centre en un point arbitraire A. Il doit être marqué.
2. Ensuite, vous devez tracer une ligne droite passant par ce point.
3. Les intersections d'un cercle et d'une ligne droite doivent être désignées par B et C. Toutes les constructions doivent être réalisées avec la plus grande précision possible.
4. Ensuite, vous devez construire un autre cercle avec le même rayon et le même centre au point C ou un arc avec les paramètres appropriés. Les points d'intersection seront désignés D et F.
5. Les points B, F, D doivent être reliés par des segments. Un triangle équilatéral est construit.

Résoudre de tels problèmes est généralement un problème pour les écoliers, mais cette compétence peut être utile dans la vie de tous les jours.

Le cours vidéo « Obtenez un A » comprend tous les sujets nécessaires pour réussir l'examen d'État unifié en mathématiques avec 60 à 65 points. Compléter toutes les tâches 1 à 13 de l'examen d'État unifié de profil en mathématiques. Convient également pour réussir l'examen d'État unifié de base en mathématiques. Si vous souhaitez réussir l'examen d'État unifié avec 90 à 100 points, vous devez résoudre la partie 1 en 30 minutes et sans erreurs !

Cours de préparation à l'examen d'État unifié pour les classes 10-11, ainsi que pour les enseignants. Tout ce dont vous avez besoin pour résoudre la partie 1 de l'examen d'État unifié en mathématiques (les 12 premiers problèmes) et le problème 13 (trigonométrie). Et cela représente plus de 70 points à l'examen d'État unifié, et ni un étudiant de 100 points ni un étudiant en sciences humaines ne peuvent s'en passer.

Toute la théorie nécessaire. Solutions rapides, pièges et secrets de l'examen d'État unifié. Toutes les tâches actuelles de la partie 1 de la banque de tâches FIPI ont été analysées. Le cours est entièrement conforme aux exigences de l'examen d'État unifié 2018.

Le cours contient 5 grands sujets de 2,5 heures chacun. Chaque sujet est donné de toutes pièces, simplement et clairement.

Des centaines de tâches d'examen d'État unifié. Problèmes de mots et théorie des probabilités. Algorithmes simples et faciles à retenir pour résoudre des problèmes. Géométrie. Théorie, matériel de référence, analyse de tous types de tâches d'examen d'État unifié. Stéréométrie. Solutions délicates, aide-mémoire utiles, développement de l'imagination spatiale. Trigonométrie de zéro au problème 13. Comprendre au lieu de bachoter. Explications claires de concepts complexes. Algèbre. Racines, puissances et logarithmes, fonction et dérivée. Une base pour résoudre les problèmes complexes de la partie 2 de l'examen d'État unifié.

En géométrie élémentaire, un triangle équilatéral est un polygone régulier à trois côtés. Si l’on développe et précise quelque peu cette définition, il s’avère qu’un triangle est régulier si tous ses côtés ont la même longueur et que les angles sont égaux à 60°. Comment trouver est enseigné dans les cours de géométrie au lycée et, dans la pratique, ces connaissances doivent souvent être appliquées par les ingénieurs concepteurs et les architectes.

Calculer l'aire d'un triangle équilatéral

un- côté du triangle

h- altitude du triangle

S- carré

Architectes aire d'un triangle équilatéral Il faut savoir si les éléments des bâtiments qu'ils conçoivent ont une telle forme. Il peut s'agir de fenêtres non standards (aussi bien ordinaires que mansardées), que l'on retrouve souvent dans les bâtiments ayant une conception architecturale originale. Leurs créateurs formule pour l'aire d'un triangle équilatéral est nécessaire pour savoir si la fenêtre sera de taille suffisante pour permettre à la quantité requise de lumière du jour de pénétrer dans la pièce. Par ailleurs, les pignons des bastides et des chalets résidentiels, ainsi que des dépendances, dont les pentes de toit sont parfois situées à un angle de 60°, ont souvent la forme de triangles équilatéraux.

Triangles équilatéraux peut souvent être trouvé dans le cadre de divers dispositifs et outils techniques. Par exemple, les plaquettes remplaçables des outils de tournage en carbure ont cette forme. Ils sont installés sur le support en l'installant sur un axe spécial, et sont fixés à l'aide d'un élément en acier en forme de coin dont le serrage est réalisé par un raccord fileté. Après qu'un des bords de la plaquette soit émoussé pendant le processus de coupe, la plaque est retirée, tournée de 60° et fixée à nouveau, ce qui permet d'utiliser un autre bord tranchant. Ainsi, du fait que l'insert en carbure a la forme d'un triangle équilatéral, une telle réinstallation peut être effectuée trois fois. Les bords émoussés ne peuvent pas être affûtés et ces éléments de l'outil de coupe sont éliminés par fusion.

Les automobilistes et les piétons connaissent bien les panneaux routiers qui sont des triangles équilatéraux. Cette forme les rend plus visibles et constituent donc principalement des signes d’avertissement. Il va sans dire que dans le processus de leur élaboration et de la rédaction de la documentation réglementaire et technique correspondante, il a été nécessaire d'utiliser formule pour calculer l'aire d'un triangle équilatéral.

Ils savent parfaitement ce que c'est triangle équilatéral, fans d'un jeu aussi populaire que le billard. À l'aide de cadres spéciaux de forme appropriée, les boules sont installées dans un certain ordre avant le début de chaque partie. Ces produits sont fabriqués à partir de bois, de plastiques ou de métaux.

Parmi les figures géométriques abordées dans la section géométrie, la plus souvent rencontrée lors de la résolution de certains problèmes est un triangle. Il est formé de trois lignes droites. Ils ne se croisent pas en un point et ne sont pas parallèles. Une autre définition peut être donnée : un triangle est une ligne fermée brisée composée de trois maillons, où son début et sa fin sont reliés en un point. Si les trois côtés sont de taille égale, alors c'est un triangle régulier ou, comme on dit, équilatéral.

Comment déterminer Pour résoudre de tels problèmes, vous devez connaître certaines propriétés de cette figure géométrique. Premièrement, celui-ci a tous les angles égaux. Deuxièmement, la hauteur qui descend du haut vers le bas est à la fois la médiane et la hauteur. Cela suggère que la hauteur divise le sommet du triangle en deux angles égaux et le côté opposé en deux segments égaux. Puisqu'un triangle équilatéral est composé de deux, il est nécessaire d'utiliser le théorème de Pythagore pour déterminer la valeur requise.

Le calcul de l'aire d'un triangle peut se faire de différentes manières, en fonction des quantités connues.

1. Considérons un triangle équilatéral de côté b et de hauteur h connus. L'aire du triangle dans ce cas sera égale à la moitié du produit du côté et de la hauteur. Sous forme de formule, cela ressemblera à ceci :

Autrement dit, l’aire d’un triangle équilatéral est égale à la moitié du produit de son côté et de sa hauteur.

2. Si seule la taille du côté est connue, alors avant de rechercher la zone, il est nécessaire de calculer sa hauteur. Pour ce faire, considérons un demi-triangle dans lequel la hauteur sera l'une des branches, l'hypoténuse est le côté du triangle et la deuxième branche est la moitié du côté du triangle selon ses propriétés. Tout cela à partir du même théorème de Pythagore. Comme on le sait, le carré de l'hypoténuse correspond à la somme des carrés des jambes. Si nous considérons un demi-triangle, alors dans ce cas, le côté est l'hypoténuse, la moitié du côté est une jambe et la hauteur est la seconde.

(b/2)²+ h2= b², donc

h²= b²-(b/2)². Ramenons-le à un dénominateur commun :

Comme vous pouvez le constater, la hauteur de la figure en question est égale au produit de la moitié de son côté par la racine de trois.

Remplaçons-le dans la formule et voyons : S=1/2* b* b/2√3= b²/4√3.

C'est-à-dire que l'aire d'un triangle équilatéral est égale au produit de la quatrième partie du carré du côté et de la racine de trois.

3. Il existe également des problèmes où il est nécessaire de déterminer l'aire d'un triangle équilatéral de hauteur connue. Et cela s’avère aussi simple que de décortiquer des poires. Nous avons déjà déduit dans le cas précédent que h²= 3 b²/4. Ensuite, vous devez dériver le côté d’ici et le remplacer dans la formule d’aire. Cela ressemblera à ceci :

b²=4/3* h², donc b=2h/√3. En substituant dans la formule de l'aire, nous obtenons :

S=1/2* h*2h/√3, donc S= h²/√3.

Il y a des problèmes lorsqu'il est nécessaire de trouver l'aire d'un triangle équilatéral le long du rayon d'un cercle inscrit ou circonscrit. Pour ce calcul, il existe également certaines formules qui ressemblent à ceci : r = √3* b/6, R=√3* b/3.

Nous agissons selon un principe qui nous est déjà familier. Avec un rayon connu, nous dérivons le côté de la formule et le calculons en substituant la valeur connue du rayon. Nous substituons la valeur résultante dans la formule déjà connue pour calculer l'aire d'un triangle régulier, effectuons des calculs arithmétiques et trouvons la valeur souhaitée.

Comme on le voit, pour résoudre des problèmes similaires, il est nécessaire de connaître non seulement les propriétés d'un triangle régulier, mais aussi le théorème de Pythagore et le rayon du cercle circonscrit et inscrit. Pour ceux qui possèdent ces connaissances, résoudre de tels problèmes ne sera pas difficile.