Bərabər üçbucağın sahəsini hesablamaq üçün düstur alın. Daimi üçbucaq

Məktəb həndəsə kursunda üçbucaqların öyrənilməsinə çox vaxt ayrılır. Şagirdlər bucaqları hesablayır, bissektrisalar və hündürlüklər qurur, formaların bir-birindən necə fərqləndiyini və onların sahəsini və perimetrini tapmağın ən asan yolunu öyrənirlər. Görünür, bunun həyatda faydası olmayacaq, amma bəzən, məsələn, üçbucağın bərabərtərəfli və ya küt olduğunu necə təyin edəcəyini öyrənmək hələ də faydalıdır. Bunu necə etmək olar?

Üçbucaq növləri

Eyni xətt üzərində olmayan üç nöqtə və onları birləşdirən seqmentlər. Görünür, bu rəqəm ən sadədir. Yalnız üç tərəfi varsa, hansı üçbucaqlar ola bilər? Əslində, kifayət qədər çox sayda seçim var və onlardan bəzilərinə məktəb həndəsə kursunda xüsusi diqqət yetirilir. Düzgün üçbucaq bərabərtərəflidir, yəni bütün bucaqları və tərəfləri bərabərdir. Bir sıra əlamətdar xüsusiyyətlərə malikdir, daha sonra müzakirə ediləcəkdir.

Izosceles yalnız iki bərabər tərəfə malikdir və həm də olduqca maraqlıdır. Düzbucaqlıda, təxmin etdiyiniz kimi, bucaqlardan biri müvafiq olaraq düz və ya kütdür. Üstəlik, onlar da ikitərəfli ola bilər.

Misir adlanan xüsusi biri də var. Onun tərəfləri 3, 4 və 5 ədəddir. Üstəlik, düzbucaqlıdır. Misirli tədqiqatçılar və memarlar tərəfindən düzgün bucaqların qurulması üçün fəal şəkildə istifadə edildiyi güman edilir. Məşhur piramidaların onun köməyi ilə tikildiyi güman edilir.

Bununla belə, üçbucağın bütün təpələri eyni düz xətt üzərində yerləşə bilər. Bu halda, o, degenerativ adlanacaq, digərləri isə qeyri-degenerativ adlanacaq. Onlar həndəsəni öyrənən mövzulardan biridir.

Bərabər üçbucaq

Təbii ki, düzgün rəqəmlər həmişə ən böyük marağa səbəb olur. Onlar daha mükəmməl, daha zərif görünürlər. Onların xüsusiyyətlərini hesablamaq üçün düsturlar çox vaxt adi rəqəmlərə nisbətən daha sadə və qısadır. Bu, üçbucaqlara da aiddir. Təəccüblü deyil ki, həndəsəni öyrənərkən onlara kifayət qədər diqqət yetirilir: məktəblilərə düzgün fiqurları digərlərindən ayırmaq öyrədilir, həmçinin onların bəzi maraqlı xüsusiyyətləri haqqında danışılır.

İşarələr və xüsusiyyətlər

Adından da təxmin etdiyiniz kimi, bərabərtərəfli üçbucağın hər tərəfi digər ikisinə bərabərdir. Bundan əlavə, rəqəmin düzgün olub olmadığını müəyyən etməyə kömək edən bir sıra xüsusiyyətlərə malikdir.

Yuxarıdakı işarələrdən ən azı biri müşahidə olunarsa, üçbucaq bərabərtərəflidir. Düzgün rəqəm üçün yuxarıdakı ifadələrin hamısı doğrudur.

Bütün üçbucaqlar bir sıra əlamətdar xüsusiyyətlərə malikdir. Birincisi, orta xətt, yəni iki tərəfi yarıya bölən və üçüncü tərəfə paralel olan seqment əsasın yarısına bərabərdir. İkincisi, bu rəqəmin bütün bucaqlarının cəmi həmişə 180 dərəcəyə bərabərdir. Bundan əlavə, üçbucaqlarda başqa bir maraqlı əlaqə var. Beləliklə, daha böyük tərəfin qarşısında daha böyük bucaq və əksinə yerləşir. Ancaq bunun, əlbəttə ki, bərabərtərəfli üçbucaqla heç bir əlaqəsi yoxdur, çünki onun bütün bucaqları bərabərdir.

Yazılı və əhatə olunmuş dairələr

Çox vaxt həndəsə kursunda tələbələr həm də formaların bir-biri ilə necə qarşılıqlı əlaqədə olduğunu öyrənirlər. Xüsusilə, çoxbucaqlılara yazılmış və ya onların ətrafında təsvir olunan dairələr öyrənilir. Biz nədən danışırıq?

Yazılı dairə çoxbucaqlının bütün tərəflərinin toxunan olduğu çevrədir. Təsvir edilmiş - bütün künclərlə təmas nöqtələri olan. Hər üçbucaq üçün siz həmişə həm birinci, həm də ikinci dairələri qura bilərsiniz, lakin hər növdən yalnız birini. Bu ikisinin sübutu

teoremlər məktəb həndəsə kursunda verilir.

Bəzi problemlər üçbucaqların özlərinin parametrlərini hesablamaqla yanaşı, bu dairələrin radiuslarının hesablanmasını da əhatə edir. Və üçün düsturlar
bərabərtərəfli üçbucaq belə görünür:

burada r - daxili dairənin radiusu, R - dairənin radiusu, a - üçbucağın tərəfinin uzunluğu.

Hündürlüyün, perimetrin və sahənin hesablanması

Məktəblilərin həndəsə öyrənərkən hesabladıqları əsas parametrlər demək olar ki, hər hansı bir rəqəm üçün dəyişməz qalır. Bunlar perimetr, sahə və hündürlükdür. Hesablamaları asanlaşdırmaq üçün müxtəlif düsturlar var.

Beləliklə, perimetr, yəni bütün tərəflərin uzunluğu aşağıdakı üsullarla hesablanır:

P = 3a = 3√ ̅3R = 6√ ̅3r, burada a bərabəryanlı üçbucağın tərəfi, R dairəvi çevrənin radiusu, r daxili dairədir.

h = (√ ̅3/2)*a, burada a tərəfin uzunluğudur.

Nəhayət, düstur standartdan, yəni bazanın yarısının və onun hündürlüyünün məhsulundan alınır.

S = (√ ̅3/4)*a 2, burada a tərəfin uzunluğudur.

Bu dəyər həm də məhdud və ya daxil edilmiş dairənin parametrləri vasitəsilə hesablana bilər. Bunun üçün xüsusi düsturlar da var:

S = 3√ ̅3r 2 = (3√ ̅3/4)*R 2, burada r və R müvafiq olaraq yazılı və məhdud dairələrin radiuslarıdır.

Tikinti

Digər maraqlı problem növü, o cümlədən üçbucaqlar, minimal dəstdən istifadə edərək müəyyən bir fiqurun çəkilməsi ehtiyacını ehtiva edir

alətlər: kompas və bölməsiz hökmdar.

Yalnız bu cihazlardan istifadə edərək müntəzəm üçbucaq qurmaq üçün bir neçə addımı yerinə yetirməlisiniz.

1. İstənilən radiuslu və ixtiyari A nöqtəsində mərkəzi olan bir dairə çəkmək lazımdır. Onu qeyd etmək lazımdır.
2. Sonra bu nöqtədən düz bir xətt çəkməlisiniz.
3. Dairə ilə düz xəttin kəsişmələri B və C olaraq təyin edilməlidir. Bütün konstruksiyalar mümkün olan ən böyük dəqiqliklə aparılmalıdır.
4. Bundan sonra, C nöqtəsində eyni radius və mərkəzə malik başqa bir dairə və ya müvafiq parametrləri olan bir qövs qurmalısınız. Kəsişmə nöqtələri D və F olaraq təyin olunacaq.
5. B, F, D nöqtələri seqmentlərlə birləşdirilməlidir. Bərabərtərəfli üçbucaq qurulur.

Belə problemlərin həlli adətən məktəblilər üçün problemdir, lakin bu bacarıq gündəlik həyatda faydalı ola bilər.

"A alın" video kursu 60-65 balla riyaziyyat üzrə Vahid Dövlət İmtahanını uğurla vermək üçün lazım olan bütün mövzuları əhatə edir. Riyaziyyatdan Profil Vahid Dövlət İmtahanının 1-13-cü tapşırıqlarını tamamlayın. Riyaziyyatdan Əsas Vahid Dövlət İmtahanından keçmək üçün də uyğundur. Vahid Dövlət İmtahanını 90-100 balla vermək istəyirsinizsə, 1-ci hissəni 30 dəqiqə ərzində və səhvsiz həll etməlisiniz!

10-11-ci siniflər, eləcə də müəllimlər üçün Vahid Dövlət İmtahanına hazırlıq kursu. Riyaziyyatdan Vahid Dövlət İmtahanının 1-ci hissəsini (ilk 12 məsələ) və 13-cü məsələni (triqonometriya) həll etmək üçün lazım olan hər şey. Və bu, Vahid Dövlət İmtahanında 70 baldan çoxdur və nə 100 ballıq tələbə, nə də humanitar fənlər tələbəsi onlarsız edə bilməz.

Bütün lazımi nəzəriyyə. Vahid Dövlət İmtahanının sürətli həlləri, tələləri və sirləri. FIPI Tapşırıq Bankından 1-ci hissənin bütün cari tapşırıqları təhlil edilmişdir. Kurs 2018-ci il Vahid Dövlət İmtahanının tələblərinə tam cavab verir.

Kurs hər biri 2,5 saat olmaqla 5 böyük mövzudan ibarətdir. Hər bir mövzu sıfırdan, sadə və aydın şəkildə verilir.

Yüzlərlə Vahid Dövlət İmtahan tapşırığı. Söz problemləri və ehtimal nəzəriyyəsi. Problemlərin həlli üçün sadə və yaddaqalan alqoritmlər. Həndəsə. Nəzəriyyə, istinad materialı, bütün növ Vahid Dövlət İmtahanı tapşırıqlarının təhlili. Stereometriya. Çətin həllər, faydalı fırıldaq vərəqləri, məkan təxəyyülünün inkişafı. Sıfırdan problemə triqonometriya 13. Sıxmaq əvəzinə başa düşmək. Mürəkkəb anlayışların aydın izahları. Cəbr. Köklər, səlahiyyətlər və loqarifmlər, funksiya və törəmə. Vahid Dövlət İmtahanının 2-ci hissəsinin mürəkkəb problemlərinin həlli üçün əsas.

Elementar həndəsədə bərabərtərəfli üçbucaq üç tərəfi olan düzgün çoxbucaqlıdır. Əgər bu tərifi bir qədər genişləndirib dəqiqləşdirsək, belə çıxır ki, üçbucağın bütün tərəfləri eyni uzunluqda və bucaqları 60°-yə bərabər olduqda düzgündür. Necə tapmaq orta məktəbdə həndəsə dərslərində öyrədilir və praktikada bu biliklər çox vaxt layihə mühəndisləri və memarlar tərəfindən tətbiq edilməli olur.

Bərabər üçbucağın sahəsinin hesablanması

a- üçbucağın tərəfi

h- üçbucağın hündürlüyü

S- kvadrat

Memarlar bərabərtərəfli üçbucağın sahəsi onların layihələndirdikləri binaların elementlərinin belə bir formaya malik olub-olmadığını tapmaq lazımdır. Bunlar orijinal memarlıq dizaynı olan binalarda tez-tez rast gəlinən qeyri-standart pəncərələr (həm adi, həm də çardaq) ola bilər. Onların dizaynerləri bərabərtərəfli üçbucağın sahəsi üçün düstur Pəncərənin lazımi miqdarda gün işığının otağa daxil olması üçün kifayət qədər ölçüdə olub olmadığını öyrənmək üçün tələb olunur. Bundan əlavə, həmin yaşayış evlərinin və bağ evlərinin, eləcə də dam yamacları bəzən 60° bucaq altında yerləşən yardımçı tikililər çox vaxt bərabərtərəfli üçbucaq formasına malikdir.

Bərabər üçbucaqlar tez-tez müxtəlif texniki cihazların və vasitələrin bir hissəsi kimi tapıla bilər. Məsələn, karbid-karbid dönmə alətlərinin dəyişdirilə bilən əlavələri bu forma malikdir. Onlar tutucuya xüsusi bir oxa quraşdıraraq quraşdırılır və sıxılması yivli bir əlaqə ilə həyata keçirilən paz formalı polad elementdən istifadə edərək sabitlənir. Kəsmə zamanı əlavənin kənarlarından biri tutqunlaşdıqdan sonra boşqab çıxarılır, 60° döndərilir və yenidən bərkidilir, bunun nəticəsində başqa bir iti kənar istifadə edilə bilər. Beləliklə, karbid əlavəsinin bərabərtərəfli üçbucaq formasına malik olması səbəbindən belə yenidən quraşdırma üç dəfə həyata keçirilə bilər. Küt kənarları kəskinləşdirmək mümkün deyil və kəsici alətin bu elementləri əriyərək utilizasiya olunur.

Həm sürücülər, həm də piyadalar bərabərtərəfli üçbucaqlar olan yol nişanlarını yaxşı bilirlər. Bu forma onları daha nəzərə çarpan edir və buna görə də onlar əsasən xəbərdarlıq əlamətidir. Sözsüz ki, onların hazırlanması və yazılması prosesində müvafiq normativ-texniki sənədlərdən istifadə etmək lazım idi. bərabərtərəfli üçbucağın sahəsini hesablamaq üçün düstur.

Bunun nə olduğunu çox yaxşı bilirlər bərabərtərəfli üçbucaq, bilyard kimi məşhur oyunun pərəstişkarları. Müvafiq formalı xüsusi çərçivələrdən istifadə edərək, toplar hər oyun başlamazdan əvvəl müəyyən bir ardıcıllıqla quraşdırılır. Bu məhsullar ağacdan, plastikdən və ya metaldan hazırlanır.

Həndəsə bölməsində müzakirə olunan həndəsi fiqurlar arasında müəyyən məsələlərin həlli zamanı ən çox rast gəlinən üçbucaqdır. Üç düz xətt ilə formalaşır. Onlar bir nöqtədə kəsişmir və paralel deyildir. Başqa bir tərif verilə bilər: üçbucaq, başlanğıcı və sonu bir nöqtədə birləşdirildiyi üç keçiddən ibarət qırıq qapalı bir xəttdir. Əgər hər üç tərəf bərabər ölçüdədirsə, o, müntəzəm üçbucaqdır və ya, necə deyərlər, bərabərtərəflidir.

Necə müəyyən etmək olar Bu cür problemləri həll etmək üçün bu həndəsi fiqurun bəzi xüsusiyyətlərini bilmək lazımdır. Birincisi, bunun bütün açıları bərabərdir. İkincisi, yuxarıdan aşağıya doğru enən hündürlük həm orta, həm də hündürlükdür. Bu o deməkdir ki, hündürlük üçbucağın təpəsini iki bərabər bucağa, əks tərəfi isə iki bərabər seqmentə ayırır. Bərabər üçbucaq ikidən ibarət olduğundan, tələb olunan dəyəri təyin edərkən Pifaqor teoremindən istifadə etmək lazımdır.

Üçbucağın sahəsinin hesablanması məlum kəmiyyətlərdən asılı olaraq müxtəlif yollarla edilə bilər.

1. Tərəfi b və hündürlüyü h məlum olan bərabərtərəfli üçbucağı nəzərdən keçirək. Bu vəziyyətdə üçbucağın sahəsi yan və hündürlüyün məhsulunun yarısına bərabər olacaqdır. Formula şəklində bu belə görünəcək:

Başqa sözlə, bərabərtərəfli üçbucağın sahəsi onun tərəfinin və hündürlüyünün məhsulunun yarısına bərabərdir.

2. Yalnız yan ölçüsü məlumdursa, o zaman ərazini axtarmazdan əvvəl onun hündürlüyünü hesablamaq lazımdır. Bunun üçün xassələrinə görə hündürlüyü ayaqlardan biri, hipotenuzası üçbucağın tərəfi, ikinci ayağı isə üçbucağın yan tərəfinin yarısı olacaq üçbucağın yarısını nəzərdən keçirək. Hamısı eyni Pifaqor teoremindən məlum olduğu kimi, hipotenuzanın kvadratı ayaqların kvadratlarının cəminə uyğundur. Üçbucağın yarısını nəzərə alsaq, bu halda tərəf hipotenuza, yan tərəfin yarısı bir ayaq, hündürlük isə ikincidir.

(b/2)²+ h2= b², deməli

h²= b²-(b/2)². Onu ortaq məxrəcə çatdıraq:

Göründüyü kimi, sözügedən fiqurun hündürlüyü onun tərəfinin yarısı ilə üçünün kökünün hasilinə bərabərdir.

Onu düsturda əvəz edək və baxaq: S=1/2* b* b/2√3= b²/4√3.

Yəni, bərabərtərəfli üçbucağın sahəsi tərəfin kvadratının dördüncü hissəsinin və üçünün kökünün məhsuluna bərabərdir.

3. Hündürlüyü məlum olan bərabərtərəfli üçbucağın sahəsini təyin etmək lazım olan problemlər də var. Və armudları atəşə tutmaq qədər asan olur. Əvvəlki halda h²= 3 b²/4 olduğu qənaətinə gəlmişik. Sonra, buradan tərəfi çıxarmalı və onu sahə düsturunda əvəz etməlisiniz. Bu belə görünəcək:

b²=4/3* h², deməli, b=2h/√3. Sahə üçün düsturla əvəz edərək, əldə edirik:

S=1/2* h*2h/√3, deməli S= h²/√3.

Yazılı və ya məhdud dairənin radiusu boyunca bərabərtərəfli üçbucağın sahəsini tapmaq lazım olduqda problemlər yaranır. Bu hesablama üçün müəyyən düsturlar da var ki, bunlar belə görünür: r = √3* b/6, R=√3* b/3.

Biz artıq bizə tanış olan prinsipə əsasən hərəkət edirik. Məlum radiusla düsturdan tərəfi çıxarırıq və radiusun məlum qiymətini əvəz etməklə hesablayırıq. Yaranan dəyəri müntəzəm üçbucağın sahəsini hesablamaq üçün artıq məlum olan düsturla əvəz edirik, arifmetik hesablamalar aparırıq və istədiyiniz dəyəri tapırıq.

Gördüyümüz kimi, oxşar məsələləri həll etmək üçün təkcə nizamlı üçbucağın xassələrini deyil, həm də Pifaqor teoremini, ətrafa çəkilmiş və daxilə çəkilmiş dairənin radiusunu bilmək lazımdır. Bu biliyə sahib olanlar üçün belə problemlərin həlli çətin olmayacaq.