Mümkün birləşmələr. Elementlərin təkrarları ilə birləşmələr

Kombinasiyaların sayı

Kombinasiya-dan n By k dəst adlanır k verilənlərdən seçilmiş elementlər n elementləri. Yalnız elementlərin sırasına görə fərqlənən çoxluqlar (lakin tərkibinə görə deyil) eyni hesab olunur, buna görə də birləşmələr yerləşdirmələrdən fərqlənir;

Açıq düsturlar

Kombinasiyaların sayı n By k binom əmsala bərabərdir

Sabit bir dəyər üçün n-dən təkrarlanan birləşmələrin nömrələrinin yaradılması funksiyası n By k edir:

Təkrarlanan birləşmələrin sayının ikiölçülü yaradan funksiyası:

Bağlantılar

R. Stanley Sadalanan kombinatorika. - M.: Mir, 1990.
Onlayn birləşmələrin sayını hesablayın

Wikimedia Fondu.

2010.

Digər lüğətlərdə "Birləşmələrin sayı" nın nə olduğuna baxın:

70 yetmiş 67 68 69 70 71 72 73 40 50 60 70 80 90 100 Faktorizasiya: 2×5×7 Roman notasiyası: LXX Binary: 100 0110 ... Wikipedia İşıq nömrəsi, xaricini unikal şəkildə ifadə edən şərti nömrə fotoqrafiya zamanı şərtlər (adətən obyektin parlaqlığı və istifadə olunan foto materialın fotohəssaslığı). E. h-nin istənilən dəyəri bir neçə dəfə seçilə bilər. birləşmələrin diyafram sayı ......

Böyük Ensiklopedik Politexnik Lüğət İki obyekti həm bir obyektə, həm də bir çox obyektə münasibətdə fərqləndirən ədəd forması. Müasir rus dilində bu forma yoxdur, lakin onun təsirinin qalıqları qalır. Beləliklə, iki cədvəlin birləşmələri (bax. cəm... ...

Dilçilik terminləri lüğəti Kombinatoriya riyaziyyatı, kombinatorika, verilmiş qaydalara uyğun olaraq müəyyən, adətən sonlu çoxluğun elementlərinin seçilməsi və təşkili məsələlərinin həllinə həsr olunmuş riyaziyyatın bir qolu. Hər bir belə qayda tikinti üsulunu müəyyən edir......

Riyaziyyat ensiklopediyası

Kombinatorikada by-nin kombinasiyası müxtəlif elementləri ehtiva edən verilmiş çoxluqdan seçilmiş elementlər toplusudur. Yalnız elementlərin sırasına görə fərqlənən çoxluqlar (lakin tərkibində deyil) eyni hesab olunur, bu birləşmələr ... ... Vikipediya Baş verməsi dəqiq bilinməyən hadisələrin tədqiqi ilə məşğul olur. Bu, bəzi hadisələrin baş verməsini digərləri ilə müqayisədə gözləməyin ağlabatanlığını mühakimə etməyə imkan verir, baxmayaraq ki, hadisələrin ehtimallarına ədədi qiymətlər təyin etmək çox vaxt lazımsızdır... ...

1) riyazi kombinator analizi ilə eynidir. 2) Elementar riyaziyyatın verilmiş sonlu obyektlər toplusundan təşkil edilə bilən müəyyən şərtlərə tabe olan birləşmələrin sayının öyrənilməsi ilə bağlı bölməsi... ... Böyük Sovet Ensiklopediyası

- (yunanca paradoxos gözlənilməz, qəribə) geniş mənada: ümumi qəbul edilmiş, müəyyən edilmiş rəydən kəskin şəkildə ayrılan bəyanat, “şərtsiz düzgün” görünən şeyin inkarı; daha dar mənada, iki əks bəyanat, ... ... Fəlsəfi Ensiklopediya

- (yaxud daxiletmələr və istisnalar prinsipi) ümumi halda bir-biri ilə kəsişə bilən sonlu çoxluqların birliyinin kardinallığını təyin etməyə imkan verən kombinator düsturu ... Wikipedia

Verilmiş cisimlərin məlum ardıcıllıqla paylanmasının müxtəlif yollarının sayını təyin etməklə bağlı riyazi nəzəriyyə; tənliklər nəzəriyyəsi və ehtimal nəzəriyyəsində xüsusilə vacibdir. Bu cür ən sadə tapşırıqlar...... Ensiklopedik lüğət F.A. Brockhaus və I.A. Efron

kitablar

Ingilis dili dərsliyi. İki hissədə. 2-ci hissə, N. A. Bonk, G. A. Kotiy, N. A. Lukyanova. Kitab ingilis dili dərsliyinin ikinci hissəsidir. 20 dərsdən, dərsdən dərsə qrammatika kitabı və istinad qrammatik cədvəllərindən ibarətdir. Yeni leksikanın həcmi...

Verilmiş çoxluqdan nümunələrin sayının ümumi formada hesablanması məsələsini nəzərdən keçirək. Bir az dəst olsun N, ibarətdir n elementləri. ibarət hər hansı alt çoxluq m elementləri onların sırasını nəzərə almadan və ya nəzərə almadan nəzərdən keçirmək olar, yəni. sifarişi dəyişdirərkən digərinə keçin m- nümunə götürmə.

Aşağıdakı tərifləri tərtib edək:

Təkrarlanmadan yerləşdirmələr

Təkrarlanmadan yerləşdirmən tərəfindən elementlərm Nehtiva edirmmüxtəlif elementlər.

Tərifdən belə çıxır ki, hər iki quruluş bir-birindən həm elementlərinə görə, həm də elementləri eyni olsa belə, sırasına görə fərqlənir.

Teorem 3. Təkrarlanmadan yerləşdirmələrin sayı məhsula bərabərdir m amillərdən ən böyüyü sayıdır n . Yazın:

Təkrarlanmadan dəyişdirmələr

Permutasiyalarn elementlər çoxluğun müxtəlif sıralanmaları adlanırN.

Bu tərifdən belə çıxır ki, iki permutasiya yalnız elementlərin sırasına görə fərqlənir və onlar yerləşdirmənin xüsusi halı kimi qəbul edilə bilər.

Teorem 4. Təkrarlanmadan müxtəlif permutasiyaların sayı düsturla hesablanır

Təkrarlanmayan birləşmələr

Təkrarlanmayan birləşmən tərəfindən elementlərm çoxluğun istənilən nizamsız alt çoxluğu deyilirNehtiva edirm müxtəlif elementlər.

Tərifdən belə çıxır ki, iki birləşmə yalnız elementlərdə fərqlənir, sıra vacib deyil;

Teorem 5. Təkrarlanmayan birləşmələrin sayı aşağıdakı düsturlardan biri ilə hesablanır:

Misal 1. Otaqda 5 stul var. Onları onlara neçə yolla yerləşdirə bilərsiniz?

a) 7 nəfər; b) 5 nəfər; c) 3 nəfər?

Həlli: a) İlk növbədə stullarda oturmaq üçün 7 nəfərdən 5 nəfəri seçmək lazımdır. Bunu etmək olar
yol. Xüsusi beşin hər bir seçimi ilə siz istehsal edə bilərsiniz
yenidən tənzimləmələr. Çarpma teoreminə görə, lazımi sayda eniş üsulları bərabərdir.

Şərh: Problemi yalnız hasil teoremindən istifadə etməklə həll etmək olar, belə əsaslandırır: 1-ci stulda oturmaq üçün 7, 2-ci stulda 6, 3-də -5, 4-də -4 və 5-də oturmaq üçün seçim var. ci -3. Onda 7 nəfəri 5 stulda əyləşdirməyin yollarının sayı . Hər iki metodun həlli ardıcıldır, çünki

b) Həll aydındır -

V) - işğal olunmuş sədrlərin seçkilərinin sayı.

- üç seçilmiş kresloda üç nəfər üçün yerlərin sayı.

Seçkilərin ümumi sayı .

Formulları yoxlamaq çətin deyil
;

;

-dən ibarət çoxluğun bütün alt çoxluqlarının sayı n elementləri.

Yerləşdirmələri təkrarlayın

-dən təkrarlama ilə yerləşdirməklən tərəfindən elementlərm çoxluğun hər bir sıralı alt çoxluğu deyilirN, ibarətdirm elementlər ki, hər hansı element 1-dən bu alt çoxluğa daxil edilə bilsinmdəfə, ya da ondan tamamilə uzaq olmaq.

Təkrarlanan yerləşdirmələrin sayı ilə işarələnir və vurma teoreminin nəticəsi olan düsturla hesablanır:

Misal 2. N = (a, b, c) üç hərfdən ibarət çoxluq olsun. Gəlin bu çoxluğa daxil olan hərflər toplusunu söz adlandıraq. Bu hərflərdən hazırlana biləcək uzunluğu 2 olan sözlərin sayını tapın:
.

Şərh: Aydındır ki, təkrarlanan yerləşdirmələr də nə vaxt nəzərə alına bilər
.

Misal 3. Uzunluğu 3 olan bütün mümkün sözləri yaratmaq üçün (a, b) hərflərindən istifadə etməlisiniz. Bunu neçə yolla etmək olar?

Cavab verin:

Kombinatorika riyaziyyatın müəyyən şərtlərə uyğun olaraq verilmiş obyektlərdən neçə müxtəlif kombinasiyaların hazırlana biləcəyi ilə bağlı sualları öyrənən bir bölməsidir. Kombinatorikanın əsasları təsadüfi hadisələrin ehtimallarını qiymətləndirmək üçün çox vacibdir, çünki Məhz bunlar hadisələrin inkişafı üçün müxtəlif ssenarilərin əsaslı mümkün sayını hesablamağa imkan verir.

Kombinatorikanın əsas düsturu

K element qrupu olsun, i-ci qrup isə n i elementdən ibarətdir.

Hər qrupdan bir element seçək. Onda belə seçimin edilə biləcəyi yolların ümumi sayı N N=n 1 *n 2 *n 3 *...*n k münasibəti ilə müəyyən edilir. Bu qaydanı sadə bir misalla izah edək. Qoy elementlərin iki qrupu olsun və birinci qrup n 1 elementdən, ikincisi isə n 2 elementdən ibarətdir. Bu iki qrupdan neçə fərqli element cütü hazırlamaq olar ki, cütlükdə hər qrupdan bir element olsun? Tutaq ki, biz birinci qrupdan birinci elementi götürdük və onu dəyişmədən, yalnız ikinci qrupdakı elementləri dəyişdirərək, bütün mümkün cütlərdən keçdik. Bu element üçün n 2 belə cüt ola bilər. Sonra birinci qrupdan ikinci elementi götürürük və onun üçün bütün mümkün cütləri düzəldirik. Həmçinin n 2 belə cüt olacaq.

Birinci qrupda yalnız n 1 element olduğundan, ümumi mümkün variantlar n 1 *n 2 olacaqdır. Misal 2.
Həlli: Rəqəmləri təkrarlamaq olarsa, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 rəqəmlərindən neçə üçrəqəmli cüt ədəd hazırlamaq olar?
n 1 =6 (çünki birinci rəqəm olaraq 1, 2, 3, 4, 5, 6-dan istənilən ədədi götürə bilərsiniz), n 2 =7 (çünki 0-dan istənilən ədədi ikinci rəqəm kimi qəbul edə bilərsiniz , 1, 2 , 3, 4, 5, 6), n 3 =4 (çünki 0, 2, 4, 6-dan istənilən rəqəm üçüncü rəqəm kimi götürülə bilər).

Deməli, N=n 1 *n 2 *n 3 =6*7*4=168. Bütün qruplar eyni sayda elementdən ibarət olduqda, yəni. n 1 =n 2 =...n k =n güman edə bilərik ki, hər bir seçim eyni qrupdan edilir və seçimdən sonra element qrupa qaytarılır. Onda bütün seçim üsullarının sayı n k-dir. Kombinatorikada bu seçim üsulu adlanır

qaytarılması ilə nümunələr. Misal 3.
1, 5, 6, 7, 8 rəqəmlərindən neçə dördrəqəmli ədəd etmək olar? Həll.

Dördrəqəmli ədədin hər rəqəmi üçün beş imkan var ki, bu da N=5*5*5*5=5 4 =625 deməkdir. N elementdən ibarət çoxluğu nəzərdən keçirək. Kombinatorikada bu çoxluq deyilir.

ümumi əhali

n elementin yerləşdirmə sayı m Tərif 1. n-dan yerləşmə m tərəfindən elementlər kombinatorikada hər hansı-dan m sifarişli komplekt nəhalisi arasından seçilmiş müxtəlif elementlər

elementləri. Misal 4.

Üç elementin (1, 2, 3) iki ilə müxtəlif düzülüşü (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3) dəstləri olacaq. , 2). Yerləşdirmələr həm elementlərə, həm də onların sırasına görə bir-birindən fərqlənə bilər.

Şərh: Kombinatorikada yerləşdirmələrin sayı A n m ilə işarələnir və düsturla hesablanır:

n!=1*2*3*...*n (oxu: “en faktorial”), əlavə olaraq, 0!=1 olduğu qəbul edilir. Misal 5
Həlli:çünki Beş tək rəqəm varsa, yəni 1, 3, 5, 7, 9, onda bu vəzifə beş fərqli rəqəmdən ikisini seçmək və iki fərqli mövqedə yerləşdirmək üçün gəlir, yəni. göstərilən nömrələr olacaq:

Tərif 2. Birləşmə-dan n-dan yerləşmə m kombinatorikada hər hansı sırasız dəst-dan məhalisi arasından seçilmiş müxtəlif elementlər n elementləri.

Misal 6. (1, 2, 3) dəst üçün birləşmələr (1, 2), (1, 3), (2, 3) olur.

n elementin birləşmələrinin sayı, hər biri m

Kombinasiyaların sayı C n m ilə işarələnir və düsturla hesablanır:

Misal 7. Oxucu mövcud altı kitabdan ikisini neçə yolla seçə bilər?

Həlli: Metodların sayı iki kitabın altı kitabın birləşməsinin sayına bərabərdir, yəni. bərabərdir:

n elementin dəyişdirilməsi

Tərif 3. Permutasiya-dan n elementlər hər hansı adlanır kombinatorikada hər hansı bu elementlər.

Misal 7a.Üç elementdən (1, 2, 3) ibarət olan çoxluğun bütün mümkün dəyişdirmələri bunlardır: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (2, 1, 3) , ( 3, 2, 1), (3, 1, 2).

n elementin müxtəlif dəyişmələrinin sayı P n ilə işarələnir və P n =n! düsturu ilə hesablanır.

Misal 8. Müxtəlif müəlliflərin yeddi kitabını bir rəfdə neçə yolla düzmək olar?

Həlli: Bu problem yeddi müxtəlif kitabın dəyişdirilməsinin sayı ilə bağlıdır. P 7 =7!=1*2*3*4*5*6*7=5040 kitabları yerləşdirməyin yolu var.

Müzakirə. Mümkün birləşmələrin sayının müxtəlif qaydalara (permütasiya, kombinasiya, yerləşdirmə) əsasən hesablana biləcəyini və nəticənin fərqli olacağını görürük, çünki Hesablama prinsipi və düsturların özləri fərqlidir. Təriflərə diqqətlə baxsanız, nəticənin eyni vaxtda bir neçə amildən asılı olduğunu görəcəksiniz.

Birincisi, neçə elementdən onların dəstlərini birləşdirə bilərik (elementlərin cəmi nə qədər böyükdür).

İkincisi, nəticə bizə lazım olan element dəstlərinin ölçüsündən asılıdır.

Nəhayət, çoxluqdakı elementlərin sırasının bizim üçün əhəmiyyətli olub olmadığını bilmək vacibdir. Aşağıdakı misaldan istifadə edərək sonuncu amili izah edək.

Misal 9. Valideynlər yığıncağında 20 nəfər iştirak edir. Valideyn komitəsinin tərkibinə 5 nəfər daxil olmalıdırsa, onun tərkibinin neçə müxtəlif variantı var?
Həlli: Bu misalda bizi komitə siyahısındakı adların sırası maraqlandırmır. Nəticədə, eyni insanlar onun bir hissəsi olsalar, bizim üçün mənada bu eyni seçimdir. Buna görə də, rəqəmi hesablamaq üçün düsturdan istifadə edə bilərik birləşmələr 20 elementdən hər biri 5.

Hər bir komitə üzvü əvvəlcə müəyyən bir iş sahəsinə cavabdeh olsa, hər şey fərqli olacaq. Sonra, komitənin eyni siyahı tərkibi ilə, onun tərkibində 5 ola bilər! seçimlər dəyişdirmələr bu məsələ. Müxtəlif (həm tərkibində, həm də məsuliyyət sahəsində) variantların sayı bu halda sayı ilə müəyyən edilir yerləşdirmələr 20 elementdən hər biri 5.

Özünü test tapşırıqları
1. Rəqəmləri təkrarlamaq olarsa, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 rəqəmlərindən neçə üçrəqəmli cüt ədəd hazırlamaq olar?

2. Soldan sağa və sağdan sola eyni oxunan neçə beşrəqəmli ədəd var?

3. Sinifdə on fənn və gündə beş dərs var. Bir gün üçün neçə yolla cədvəl yarada bilərsiniz?

4. Qrupda 20 nəfər olarsa, konfransa 4 nümayəndə neçə yolla seçilə bilər?

5. Hər zərfə yalnız bir hərf qoyularsa, səkkiz müxtəlif hərf səkkiz müxtəlif zərfdə neçə yolla yerləşdirilə bilər?

6. İki riyaziyyatçı və altı iqtisadçıdan ibarət komissiya üç riyaziyyatçı və on iqtisadçıdan ibarət olsun. Bunu neçə yolla etmək olar?

Bütün N elementlər və heç biri təkrarlanmır, onda bu, permutasiyaların sayı ilə bağlı problemdir. Həll yolu sadə tapıla bilər. Sıradakı birinci yer N elementdən hər hansı biri ola bilər, buna görə də N variant var. İkinci yerdə - birinci yer üçün artıq istifadə olunan istisna olmaqla, hər hansı bir. Buna görə də, artıq tapılmış N variantın hər biri üçün (N - 1) ikinci yer seçimi var və birləşmələrin ümumi sayı N*(N - 1) olur.
Eyni şey seriyanın qalan elementləri üçün də təkrarlana bilər. Ən son yer üçün yalnız bir seçim qalır - sonuncu qalan element. Sondan əvvəlki üçün iki seçim var və s.
Buna görə də, N təkrar olunmayan elementlər silsiləsi üçün mümkün dəyişmələr 1-dən N-ə qədər olan bütün tam ədədlərin hasilinə bərabərdir. Bu hasil N-nin faktorialı adlanır və N ilə işarələnir! ("en faktorial" oxuyun).

Əvvəlki halda, mümkün elementlərin sayı və cərgədəki yerlərin sayı üst-üstə düşdü və onların sayı N-ə bərabər idi. Lakin cərgədə mümkün elementlərdən daha az yer olduqda vəziyyət mümkündür. Başqa sözlə, nümunədəki elementlərin sayı müəyyən bir M və M ədədinə bərabərdir< N. В этом случае задача определения количества возможных комбинаций может иметь два различных варианта.
Birincisi, N elementdən M elementin ard-arda yerləşdirilməsinin mümkün yollarının ümumi sayını saymaq lazım gələ bilər.
İkincisi, tədqiqatçı M elementinin N-dən seçilmə yollarının sayı ilə maraqlana bilər. Bu halda elementlərin sırası artıq əhəmiyyət kəsb etmir, lakin istənilən iki variant bir-birindən ən azı bir elementlə fərqlənməlidir. . Belə üsullara kombinasiyalar deyilir.

N-dən M elementlərinin yerləşdirilməsinin sayını tapmaq üçün dəyişdirmə halında olduğu kimi eyni mülahizə metoduna müraciət edə bilərsiniz. Hələ birinci yerdə N element ola bilər, ikinci yerdə N - 1 və s. Ancaq sonuncu yer üçün mümkün variantların sayı birinə bərabər deyil, lakin (N - M + 1), çünki yerləşdirmə tamamlandıqda hələ də (N - M) istifadə olunmamış elementlər olacaqdır.
Beləliklə, N-dən M elementlərinin yerləşdirilməsinin sayı (N - M + 1) -dən N-ə qədər olan bütün tam ədədlərin hasilinə bərabərdir və ya eynidir, N!/(N - M)!.

Aydındır ki, N-dən M elementlərinin birləşmələrinin sayı yerləşdirmə sayından az olacaq. Hər mümkün kombinasiya üçün M var! bu birləşmənin elementlərinin sırasından asılı olaraq mümkün yerləşdirmələr. Buna görə də, bu kəmiyyəti tapmaq üçün M elementlərinin N-dən N-ə yerləşdirilmə sayını bölmək lazımdır! Başqa sözlə, N-dən M elementlərinin birləşmələrinin sayı N!/(M!*(N - M)!) -ə bərabərdir.