Ai hadisələri arasında etibarlı və mümkün olmayan hadisələri tapın. Təsadüfi, etibarlı və qeyri-mümkün hadisənin tərifini təqdim etmək; kombinator məsələlərin həlli ilə bağlı ilk fikirləri təqdim edin: variantlar ağacından istifadə etmək və vurma qaydasından istifadə etmək

Müşahidə etdiyimiz hadisələri (hadisələri) aşağıdakı üç növə bölmək olar: etibarlı, qeyri-mümkün və təsadüfi.

Etibarlı onlar müəyyən şərtlər toplusunun yerinə yetirildiyi təqdirdə mütləq baş verəcək hadisəni adlandırırlar. Məsələn, bir gəmidə normal atmosfer təzyiqində və 20° temperaturda su varsa, o zaman hadisəni “qabdakı su maye halındadır. dövlət” etibarlıdır. Bu misalda verilmiş atmosfer təzyiqi və suyun temperaturu S şərtlər toplusunu təşkil edir.

Mümkün deyil onlar S şərtlər toplusunun yerinə yetirildiyi təqdirdə mütləq baş verməyəcək bir hadisə adlandırırlar. Məsələn, “qabdakı su bərk vəziyyətdədir” hadisəsi, əgər əvvəlki misalın şərtlər toplusu yerinə yetirilərsə, əlbəttə ki, baş verməyəcək.

Təsadüfi S şərtlər toplusu yerinə yetirildikdə ya baş verə, ya da baş verə bilməyən hadisəni çağırın. Məsələn, sikkə atılırsa, elə düşə bilər ki, üstündə ya gerb, ya da yazı olsun. Buna görə də, "qəpik atarkən" gerb" hadisəsi təsadüfi olur. Hər bir təsadüfi hadisə, xüsusən də “gerb”in görünüşü bir çox təsadüfi səbəblərin təsirinin nəticəsidir (bizim nümunəmizdə: sikkənin atıldığı qüvvə, sikkənin forması və bir çox başqaları) . Bütün bu səbəblərin nəticəyə təsirini nəzərə almaq qeyri-mümkündür, çünki onların sayı çox böyükdür və fəaliyyət qanunları naməlumdur. Buna görə də, ehtimal nəzəriyyəsi tək bir hadisənin baş verib-verməyəcəyini proqnozlaşdırmaq vəzifəsi qoymur - o, sadəcə olaraq bunu edə bilməz.

Eyni şərtlər S yerinə yetirildikdə dəfələrlə müşahidə oluna bilən təsadüfi hadisələri nəzərə alsaq, yəni kütləvi homojen təsadüfi hadisələrdən danışırıqsa, vəziyyət fərqlidir. Belə çıxır ki, kifayət qədər çox sayda homojen təsadüfi hadisələr, spesifik təbiətindən asılı olmayaraq, müəyyən qanunauyğunluqlara, yəni ehtimal qanunlarına tabedir. Ehtimal nəzəriyyəsi bu qanunauyğunluqları müəyyən etməklə məşğuldur.

Beləliklə, ehtimal nəzəriyyəsinin predmeti kütləvi bircins təsadüfi hadisələrin ehtimal qanunauyğunluqlarının öyrənilməsidir.

Ehtimal nəzəriyyəsi üsulları təbiət elminin və texnologiyanın müxtəlif sahələrində geniş istifadə olunur. Ehtimal nəzəriyyəsi həm də riyazi və tətbiqi statistikanın əsaslandırılmasına xidmət edir.

Təsadüfi hadisələrin növləri. Hadisələr adlanır uyğunsuz, əgər onlardan birinin baş verməsi eyni məhkəmə prosesində digər hadisələrin baş verməsini istisna edirsə.

Misal. Bir sikkə atılır. “Gerbin” görünüşü yazının görünüşünü istisna edir. “gerb çıxdı” və “yazı çıxdı” hadisələri bir-birinə uyğun gəlmir.

Bir neçə hadisə meydana gəlir tam qrup, əgər onlardan ən azı biri sınaq nəticəsində ortaya çıxsa. Xüsusilə, tam bir qrup təşkil edən hadisələr qoşa uyğunsuzluq təşkil edərsə, o zaman bu hadisələrdən biri və yalnız biri sınaq nəticəsində meydana çıxacaqdır. Bu xüsusi hal bizi daha çox maraqlandırır, çünki bundan sonra da istifadə olunacaq.

Misal 2. İki pul və geyim lotereya bileti alınıb. Aşağıdakı hadisələrdən biri və yalnız biri mütləq baş verəcək: "uduş birinci biletə düşdü və ikinciyə düşmədi", "uduş birinci biletə düşdü və ikinciyə düşdü", "uduşlar düşdü" hər iki biletdə”, “hər iki biletdə heç bir uduş yox idi” yazıları kəsildi. Bu hadisələr cüt-cüt uyğun gəlməyən hadisələrin tam qrupunu təşkil edir.

Misal 3. Atıcı hədəfə atəş açıb. Aşağıdakı iki hadisədən biri mütləq baş verəcək: vur, miss. Bu iki uyğunsuz hadisə tam bir qrup təşkil edir.

Hadisələr adlanır eyni dərəcədə mümkündür, onların heç birinin digərindən daha mümkün olmadığına inanmaq üçün əsas varsa.

Misal 4. Sikkə atarkən “gerbin” görünməsi və yazının görünməsi eyni dərəcədə mümkün hadisələrdir. Həqiqətən də, hesab edilir ki, sikkə bircins materialdan hazırlanıb, müntəzəm silindrik formaya malikdir və sikkənin bu və ya digər tərəfinin itirilməsinə təsir göstərmir.

Şəxsən təyin edilmişdir böyük hərflərlə Latın əlifbası: A, B, C,.. A 1, A 2..

Qarşılıqlar tam bir qrup təşkil edən iki unikal mümkün üsyan növüdür. Əgər ikisindən biri əks cinsdirsə. hadisələr A ilə təyin olunur, sonra başqa təyinat A`-dir.

Nümunə 5. Hədəfə - əks sahəyə atəş edərkən vur və qaçır. şəxsi

1.1. Kombinatorikadan bəzi məlumatlar

1.1.1. Yerləşdirmələr

Müəyyən bir sıra obyektlərin seçilməsi və yerləşdirilməsi ilə əlaqəli ən sadə anlayışları nəzərdən keçirək.
Bu hərəkətlərin həyata keçirilə biləcəyi yolların sayını hesablamaq çox vaxt ehtimal məsələlərini həll edərkən aparılır.
Tərif. -dan yerləşmə n tərəfindən elementlər k (k ≤n) hər hansı sıralanmış alt çoxluqdur k ibarət çoxluğun elementləri n müxtəlif elementlər.
Misal. Aşağıdakı nömrə ardıcıllığı çoxluğun 3 elementindən (1;2;3) 2 elementin yerləşdirilməsidir: 12, 13, 23, 21, 31, 32.
Qeyd edək ki, yerləşdirmələr onlara daxil olan elementlərin sırasına və onların tərkibinə görə fərqlənir. 12 və 21-ci yerləşdirmələr eyni nömrələri ehtiva edir, lakin onların sırası fərqlidir. Buna görə də bu yerləşdirmələr fərqli hesab olunur.
Nömrə müxtəlif yerləşdirmələr-dan n tərəfindən elementlər k düsturla təyin edilir və hesablanır:
,
Harada n! = 1∙2∙...∙(n - 1)∙n(oxuyur " n- faktorial").
Heç bir rəqəmin təkrarlanmaması şərti ilə 1, 2, 3 rəqəmlərindən hazırlana bilən ikirəqəmli ədədlərin sayı: .

1.1.2. Yenidən tənzimləmələr

Tərif. Permutasiyalar n elementlərinə belə yerləşdirmələr deyilir n yalnız elementlərin yerləşdiyi yerə görə fərqlənən elementlər.
Permütasyonların sayı n elementləri P n düsturla hesablanır: P n=n!
Misal. 5 nəfər neçə yolla sıraya düzülə bilər? Yolların sayı 5 elementin permutasiyalarının sayına bərabərdir, yəni.
P 5 =5!=1∙2∙3∙4∙5=120.
Tərif. Əgər arasında n elementləri k eyni, sonra bunların yenidən təşkili n elementlərə təkrarlarla permutasiya deyilir.
Misal. 6 kitabdan 2-si eyni olsun. Rəfdəki bütün kitabların hər hansı bir düzülüşü təkrarlarla yenidən düzülmədir.
Təkrarlarla müxtəlif permutasiyaların sayı (dan n elementləri, o cümlədən k eyni) düsturu ilə hesablanır: .
Nümunəmizdə kitabların rəfdə yerləşdirilməsi yollarının sayı: .

1.1.3. Kombinasiyalar

Tərif. birləşmələri n tərəfindən elementlər k belə yerləşdirmələr deyilir n tərəfindən elementlər kən azı bir elementdə bir-birindən fərqlənən .
Müxtəlif birləşmələrin sayı n tərəfindən elementlər k düsturla təyin edilir və hesablanır: .
Tərifinə görə, 0!=1.
Aşağıdakı xüsusiyyətlər birləşmələrə aiddir:
1.
2.
3.
4.
Misal. Müxtəlif rəngli 5 çiçək var. Buket üçün 3 çiçək seçilir. 5 güldən 3 güldən ibarət müxtəlif buketlərin sayı bərabərdir: .

1.2. Təsadüfi hadisələr

1.2.1. Hadisələr

Təbiət elmlərində reallıq haqqında biliklər sınaqlar (təcrübə, müşahidələr, təcrübə) nəticəsində baş verir.
Test və ya təcrübə, özbaşına çox sayda dəfə təkrarlana bilən xüsusi şərtlər toplusunun həyata keçirilməsidir.
Təsadüfi hansısa sınaq (təcrübə) nəticəsində baş verə bilən və ya olmaya bilməyən hadisədir.
Beləliklə, hadisə testin nəticəsi hesab olunur.
Misal. Sikkə atmaq bir problemdir. Atışma zamanı qartalın görünməsi bir hadisədir.
Müşahidə etdiyimiz hadisələr baş vermə ehtimalı dərəcəsi və qarşılıqlı əlaqə xarakteri ilə fərqlənir.
Tədbir adlanır etibarlı , bu test nəticəsində baş verəcəyinə əmin olduqda.
Misal.İmtahan adi qaydalara uyğun gedirsə, imtahandan müsbət və ya mənfi qiymət alan tələbə etibarlı hadisədir.
Tədbir adlanır qeyri-mümkün , bu sınaq nəticəsində baş verə bilməzsə.
Misal. Yalnız rəngli (ağ olmayan) topların olduğu qabdan ağ topun çıxarılması qeyri-mümkün bir hadisədir. Qeyd edək ki, digər eksperimental şəraitdə ağ topun görünüşü istisna edilmir; beləliklə, bu hadisə yalnız bizim təcrübəmizin şərtləri ilə mümkün deyil.
Bundan sonra təsadüfi hadisələr böyük Latın hərfləri ilə qeyd olunacaq A,B,C hərfləri... Etibarlı hadisəni Ω hərfi ilə, qeyri-mümkün hadisəni Ø ilə işarə edirik.
İki və ya daha çox hadisə çağırılır eyni dərəcədə mümkündür bu hadisələrin heç birinin digərlərindən daha çox və ya daha az mümkün olmadığına inanmaq üçün əsas varsa, verilmiş testdə.
Misal. Bir zar atışı ilə 1, 2, 3, 4, 5 və 6 xalların görünməsi eyni dərəcədə mümkün hadisələrdir. Təbii ki, zərlərin homojen materialdan hazırlandığı və düzgün formaya malik olduğu güman edilir.
İki hadisə adlanır uyğunsuz verilmiş sınaqda, əgər onlardan birinin baş verməsi digərinin baş verməsini istisna edirsə və birgə əks halda.
Misal. Qutuda standart və qeyri-standart hissələr var. Uğur üçün bir detalı götürək. Standart hissənin görünüşü qeyri-standart hissənin görünüşünü aradan qaldırır. Bu hadisələr bir-birinə uyğun gəlmir.
Bir neçə hadisə meydana gəlir hadisələrin tam qrupu verilmiş testdə, əgər onlardan ən azı birinin bu sınaq nəticəsində baş verəcəyinə əmindirsə.
Misal. Nümunədəki hadisələr eyni dərəcədə mümkün və qoşa uyğun gəlməyən hadisələrin tam qrupunu təşkil edir.
Müəyyən bir sınaqda hadisələrin tam qrupunu təşkil edən iki uyğunsuz hadisə deyilir əks hadisələr.
Onlardan biri tərəfindən təyin olunarsa A, onda digəri adətən ilə işarələnir (oxumaq “yox A»).
Misal. Hədəfdə bir vuruşla vuruş və qaçırma əks hadisələrdir.

1.2.2. Ehtimalın klassik tərifi

Hadisənin baş vermə ehtimalı – onun baş vermə ehtimalının ədədi ölçüsü.
Hadisə Açağırdı əlverişli hadisə IN hər hansı bir hadisə baş verərsə A, hadisə gəlir IN.
Hadisələr A 1 , A 2 , ..., An forma hal diaqramı əgər onlar:
1) eyni dərəcədə mümkündür;
2) cüt-cüt uyğunsuzluq;
3) tam qrup yaratmaq.
İşlərin sxemində (və yalnız bu sxemdə) var klassik tərif ehtimallar P(A) hadisələr A. Burada hal eyni dərəcədə mümkün və qoşa uyğun gəlməyən hadisələrin seçilmiş tam qrupuna aid olan hadisələrin hər birinə aiddir.
Əgər n sxemdəki bütün halların sayıdır və m– hadisə üçün əlverişli halların sayı A, Bu hadisənin baş vermə ehtimalı A bərabərliklə müəyyən edilir:

Aşağıdakı xüsusiyyətlər ehtimalın tərifindən irəli gəlir:
1. Etibarlı hadisənin baş vermə ehtimalı birə bərabərdir.
Həqiqətən, əgər bir hadisə müəyyəndirsə, işlərin sxemindəki hər bir hal hadisəyə üstünlük verir. Bu halda m = n və buna görə də

2. Qeyri-mümkün hadisənin baş vermə ehtimalı sıfırdır.
Həqiqətən, əgər bir hadisə qeyri-mümkündürsə, o zaman işlərin nümunəsində heç bir hal hadisəyə üstünlük vermir. Buna görə m=0 və buna görə də

Təsadüfi hadisənin baş vermə ehtimalı sıfırdan birə qədər olan müsbət ədəddir.
Həqiqətən də, işlərin nümunəsində işlərin ümumi sayının yalnız bir hissəsi təsadüfi hadisəyə üstünlük verir. Buna görə 0<m<n, bu 0 deməkdir<m/n<1 и, следовательно, 0 < P(A) < 1.
Beləliklə, hər hansı bir hadisənin ehtimalı bərabərsizlikləri ödəyir
0 ≤ P(A) ≤ 1.
Hazırda ehtimalın xassələri A.N. Kolmoqorov.
Ehtimalın klassik tərifinin əsas üstünlüklərindən biri hadisənin baş vermə ehtimalını birbaşa hesablamaq qabiliyyətidir, yəni. məntiqi əsaslandırma ilə əvəzlənən təcrübələrə müraciət etmədən.

Ehtimalların birbaşa hesablanması məsələləri

Problem 1.1. Zərbə atarkən cüt sayda xal (A hadisəsi) olma ehtimalı nədir?
Həll. Hadisələri nəzərdən keçirin Ai- buraxıldı i eynək, i= 1, 2, …,6. Aydındır ki, bu hadisələr bir nümunə meydana gətirir. Sonra bütün halların sayı n= 6. Hallar cüt sayda xalların yuvarlanmasına üstünlük verir A 2 , A 4 , A 6, yəni. m= 3. Sonra .
Problem 1.2. Bir qabda 5 ağ və 10 qara top var. Toplar yaxşıca qarışdırılır və sonra təsadüfi olaraq 1 top çıxarılır. Çəkilən topun ağ olma ehtimalı nədir?
Həll. İş nümunəsini təşkil edən cəmi 15 iş var. Üstəlik, gözlənilən hadisə A– ağ topun görünməsinə onlardan 5-i üstünlük verir, buna görə də .
Problem 1.3. Uşaq əlifbanın altı hərfi ilə oynayır: A, A, E, K, R, T. Onun təsadüfi olaraq DAŞINMA sözünü yarada bilmə ehtimalını tapın (A hadisəsi).
Həll. Həll hərflər arasında eyni olanların - iki "A" hərfinin olması ilə çətinləşir. Buna görə, müəyyən bir testdə bütün mümkün halların sayı 6 hərfin təkrarlanması ilə dəyişdirmələrin sayına bərabərdir:
.
Bu hallar eyni dərəcədə mümkündür, cüt-cüt uyğunsuzdur və hadisələrin tam qrupunu təşkil edir, yəni. halların diaqramını təşkil edir. Yalnız bir şans tədbirə üstünlük verir A. Buna görə
.
Problem 1.4. Tanya və Vanya Yeni ili 10 nəfərlik şirkətdə qeyd etməyə razılaşıblar. İkisi də bir-birinin yanında oturmaq istəyirdilər. Dostları arasında yerləri püşkatma yolu ilə bölüşdürmək adətdirsə, onların arzusunun həyata keçmə ehtimalı nədir?
Həll. ilə işarə edək A"Tanya və Vanyanın istəklərinin yerinə yetirilməsi" hadisəsi. 10 nəfərlik masada 10 nəfər otura bilər! müxtəlif yollarla. Bunların neçəsi n= 10! eyni dərəcədə mümkün yollar Tanya və Vanya üçün əlverişlidir? Bir-birinin yanında oturan Tanya və Vanya 20 müxtəlif mövqe tuta bilirlər. Eyni zamanda, onların səkkiz dostu 8 nəfərlik masada otura bilər! müxtəlif yollarla, yəni m= 20∙8!. Beləliklə,
.
Problem 1.5. 5 qadın və 20 kişidən ibarət qrup üç nümayəndə seçir. İştirak edənlərin hər birinin eyni ehtimalla seçilə biləcəyini fərz etsək, iki qadın və bir kişinin seçilmə ehtimalını tapın.
Həll. Bərabər mümkün test nəticələrinin ümumi sayı 25 nəfərdən üç nümayəndənin seçilə biləcəyi yolların sayına bərabərdir, yəni. . İndi əlverişli halların sayını sayaq, yəni. maraq hadisəsinin baş verdiyi halların sayı. Kişi nümayəndə iyirmi yolla seçilə bilər. Eyni zamanda, qalan iki nümayəndə qadın olmalıdır və siz beş qadından ikisini seçə bilərsiniz. Beləliklə, . Buna görə
.
Problem 1.6. Dörd top təsadüfi olaraq dörd dəliyə səpələnmişdir, hər bir top bərabər ehtimalla və digərlərindən asılı olmayaraq bu və ya digər çuxura düşür (eyni çuxura bir neçə topun düşməsi üçün heç bir maneə yoxdur). Çuxurların birində üç, biri digərində, digər iki çuxurda isə top olmama ehtimalını tapın.
Həll. İşlərin ümumi sayı n=4 4. Üç topun olacağı bir çuxur seçmək üçün yolların sayı, . Bir topun olacağı bir çuxur seçə biləcəyiniz yolların sayı, . Dörd topdan üçünün birinci çuxura yerləşdirilmək üçün seçilə biləcəyi yolların sayı . Əlverişli halların ümumi sayı. Hadisənin baş vermə ehtimalı:
Problem 1.7. Qutuda 1, 2, ..., 10 rəqəmləri ilə qeyd olunan 10 eyni top var. Uğur üçün altı top çəkilir. Çıxarılan toplar arasında olma ehtimalını tapın: a) 1 nömrəli top; b) 1 və 2 nömrəli toplar.
Həll. a) Testin mümkün elementar nəticələrinin ümumi sayı on topdan altı topun çıxarılmasının yollarının sayına bərabərdir, yəni.
Bizi maraqlandıran hadisəyə üstünlük verən nəticələrin sayını tapaq: seçilmiş altı top arasında 1 nömrəli top var və buna görə də qalan beş topun fərqli nömrələri var. Belə nəticələrin sayı açıq-aydın beş topun qalan doqquzdan seçilə biləcəyi yolların sayına bərabərdir, yəni.
Tələb olunan ehtimal, sözügedən hadisə üçün əlverişli olan nəticələrin sayının mümkün elementar nəticələrin ümumi sayına nisbətinə bərabərdir:
b) Bizi maraqlandıran hadisə üçün əlverişli nəticələrin sayı (seçilmiş toplar arasında №1 və 2 nömrəli toplar var, buna görə də dörd topun müxtəlif nömrələri var) dörd topun toplaya biləcəyi yolların sayına bərabərdir. qalan səkkizdən çıxarılmalı, yəni. Tələb olunan ehtimal

1.2.3. Statistik ehtimal

Ehtimalın statistik tərifi təcrübənin nəticələri eyni dərəcədə mümkün olmadıqda istifadə olunur.
Nisbi hadisə tezliyi A bərabərliklə müəyyən edilir:
,
Harada m– hadisənin baş verdiyi sınaqların sayı A gəlib çatdı n- yerinə yetirilən testlərin ümumi sayı.
C.Bernulli sübut etdi ki, təcrübələrin sayının qeyri-məhdud artması ilə hadisənin baş verməsinin nisbi tezliyi, demək olar ki, hansısa sabit ədəddən istənilən qədər az fərqlənəcək. Məlum oldu ki, bu sabit rəqəm hadisənin baş vermə ehtimalıdır. Buna görə də, əvvəllər təqdim edilmiş ehtimaldan fərqli olaraq, kifayət qədər çox sayda sınaqla hadisənin baş verməsinin nisbi tezliyini statistik ehtimal adlandırmaq təbiidir.
Misal 1.8. Göldəki balıqların sayını təxminən necə təyin etmək olar?
Gölə buraxın X balıq Bir tor atırıq və deyək ki, orada tapırıq n balıq Onların hər birini qeyd edirik və geri buraxırıq. Bir neçə gündən sonra eyni havada, eyni yerdə eyni toru atdıq. Tutaq ki, orada m balıq tapırıq, onların arasında k etiketləndi. Hadisə olsun A- "tutulan balıq işarələnir." Sonra nisbi tezlik tərifi ilə.
Amma göldə olsa X balıq və biz onu içinə buraxdıq n etiketli, sonra .
Çünki  R * (A) » R(A), bu.

1.2.4. Hadisələr üzərində əməliyyatlar. Ehtimal toplama teoremi

Məbləğ, və ya bir neçə hadisənin birləşməsi bu hadisələrdən ən azı birinin (eyni məhkəmədə) baş verməsindən ibarət hadisədir.
məbləğ A 1 + A 2 + … + An aşağıdakı kimi qeyd olunur:
və ya .
Misal. İki zar atılır. Hadisə olsun A 1 zar üzərində 4 xal atmaq və hadisədən ibarətdir IN– 5 xal başqa bir zərə yuvarlandıqda. Hadisələr A Və IN birgə. Buna görə də hadisə A +IN eyni zamanda birinci kalıpda 4 xal və ya ikinci kalıpda 5 xal və ya birinci kalıpda 4 xal və ikincidə 5 xal atmaqdan ibarətdir.
Misal. Hadisə A– 1 kredit üzrə uduş, hadisə IN– 2-ci kredit üzrə uduşlar. Sonra hadisə A+B– ən azı bir kredit udmaq (ehtimal ki, eyni anda iki).
iş yaxud bir neçə hadisənin kəsişməsi bütün bu hadisələrin (eyni məhkəmədə) birgə baş verməsindən ibarət hadisədir.
iş IN hadisələr A 1 , A 2 , …, An aşağıdakı kimi qeyd olunur:
.
Misal. Hadisələr A Və IN instituta qəbul olunduqdan sonra müvafiq olaraq birinci və ikinci turları uğurla keçməkdən ibarətdir. Sonra hadisə A×B hər iki turu uğurla başa vurmaqdan ibarətdir.
Hadisələrin cəmi və hasili anlayışları aydın həndəsi şərhə malikdir. Hadisə olsun Aəraziyə daxil olan bir nöqtə var A, və hadisə IN– əraziyə daxil olan nöqtə IN. Sonra hadisə A+B bu sahələrin birliyinə girən bir nöqtə var (şək. 2.1), və hadisə AIN bu sahələrin kəsişməsinə dəyən nöqtə var (şək. 2.2).

düyü. 2.1 Şek. 2.2
Teorem. Əgər hadisələr A i(i = 1, 2, …, n) cüt-cüt uyğunsuzdur, onda hadisələrin cəminin ehtimalı bu hadisələrin ehtimallarının cəminə bərabərdir:
.
Qoy A Və Ā – əks hadisələr, yəni. A + Ā= Ω, burada Ω etibarlı hadisədir. Əlavə teoremindən belə çıxır
Р(Ω) = R(A) + R(Ā ) = 1, deməli
R(Ā ) = 1 – R(A).
Əgər hadisələr A 1 və A 2 uyğundur, onda eyni vaxtda baş verən iki hadisənin cəminin ehtimalı bərabərdir:
R(A 1 + A 2) = R(A 1) + R(A 2) – P( A 1× A 2).
Ehtimalların toplanması teoremləri bizə ehtimalların birbaşa hesablanmasından mürəkkəb hadisələrin baş vermə ehtimallarının müəyyən edilməsinə keçməyə imkan verir.
Problem 1.8. Atıcı hədəfə bir atəş atır. 10 xal toplamaq ehtimalı (hadisə A), 9 xal (hadisə IN) və 8 xal (hadisə İLƏ) müvafiq olaraq 0,11-ə bərabərdir; 0,23; 0.17. Bir atışla atıcının 8 xaldan az xal toplaması ehtimalını tapın (hadisə D).
Həll. Gəlin əks hadisəyə keçək - bir atışla atıcı ən azı 8 xal qazanacaq. Hadisə baş verərsə baş verir A və ya IN, və ya İLƏ, yəni. . Hadisələrdən bəri A, B, İLƏ ikili uyğunsuzdur, onda əlavə teoreminə görə,
, harada.
Problem 1.9. 6 kişi və 4 qadından ibarət briqadanın kollektivindən həmkarlar ittifaqı konfransına iki nəfər seçilir. Seçilənlər arasında ən azı bir qadının olması ehtimalı nədir (hadisə A).
Həll. Bir hadisə baş verərsə A, onda aşağıdakı uyğun olmayan hadisələrdən biri mütləq baş verəcək: IN– “kişi və qadın seçilir”; İLƏ- "İki qadın seçildi." Buna görə də yaza bilərik: A=B+C. Hadisələrin baş vermə ehtimalını tapaq IN Və İLƏ. 10 nəfərdən ikisi müxtəlif yollarla seçilə bilər. 4 qadından ikisi müxtəlif yollarla seçilə bilər. Kişi və qadın 6 × 4 şəkildə seçilə bilər. Sonra . Hadisələrdən bəri IN Və İLƏ uyğunsuzdur, onda əlavə teoreminə görə,
P(A) = P(B + C) = P(B) + P(C).) = 8/15 + 2/15 = 2/3.
Problem 1.10. Kitabxanada rəfdə təsadüfi qaydada düzülmüş 15 dərslik var, onlardan beşi cildlənmişdir. Kitabxanaçı təsadüfi olaraq üç dərsliyi götürür. Alınan dərsliklərdən ən azı birinin bağlanma ehtimalını tapın (hadisə A).
Həll. Birinci yol. Tələb - götürülmüş üç cildli dərslikdən ən azı biri - aşağıdakı üç uyğunsuz hadisədən hər hansı biri baş verərsə yerinə yetiriləcəkdir: IN- bir cildli dərslik, İLƏ- iki cildli dərslik, D- üç cildli dərslik.
Bizi maraqlandıran hadisə A hadisələrin cəmi kimi təqdim edilə bilər: A=B+C+D. Əlavə teoreminə görə,
P(A) = P(B) + P(C) + P(D). (2.1)
Hadisələrin baş vermə ehtimalını tapaq B, C Və D(kombinator sxemlərinə baxın):

Bu ehtimalları bərabərliklə (2.1) təmsil edərək nəhayət əldə edirik
P(A)= 45/91 + 20/91 + 2/91 = 67/91.
İkinci yol. Hadisə A(götürülmüş üç dərslikdən ən azı biri cildlidir) və Ā (alınan dərsliklərin heç biri bağlı deyil) - əksinə, buna görə də P(A) + P(Ā) = 1 (iki əks hadisənin ehtimallarının cəmi 1-ə bərabərdir). Buradan P(A) = 1 – P(Ā). Hadisənin baş vermə ehtimalı Ā (alınan dərsliklərin heç biri cildli deyil)
Tələb olunan ehtimal
P(A) = 1 – P(Ā) = 1 – 24/91 = 67/91.

1.2.5. Şərti ehtimal. Ehtimalların vurma teoremi

Şərti ehtimal P(B/A) A hadisəsinin artıq baş verdiyi fərziyyəsi ilə hesablanmış B hadisəsinin ehtimalıdır.
Teorem. İki hadisənin birgə baş vermə ehtimalı, birinci hadisənin artıq baş verdiyi fərziyyəsi ilə hesablanan onlardan birinin ehtimalları ilə digərinin şərti ehtimalının hasilinə bərabərdir:
P(A∙B) = P(A)∙P( IN/A). (2.2)
İki hadisə müstəqil adlanır, əgər onlardan hər hansı birinin baş verməsi digərinin baş vermə ehtimalını dəyişməzsə, yəni.
P(A) = P(A/B) və ya  P(B) = P(B/A). (2.3)
Əgər hadisələr A Və IN müstəqildir, onda (2.2) və (2.3) düsturlarından əmələ gəlir
P(A∙B) = P(A)∙P(B). (2.4)
Əks ifadə də doğrudur, yəni. iki hadisə üçün bərabərlik (2.4) yerinə yetirilirsə, bu hadisələr müstəqildir. Həqiqətən də (2.4) və (2.2) düsturlarından belə çıxır
P(A∙B) = P(A)∙P(B) = P(A) × P(B/A), harada  P(A) = P(B/A).
Formula (2.2) sonlu sayda hadisələr üçün ümumiləşdirilə bilər A 1 , A 2 ,…,A n:
P(A 1 ∙A 2 ∙…∙A n)=P(A 1)∙P(A 2 /A 1)∙P(A 3 /A 1 A 2)∙…∙P(A n/A 1 A 2 …A n -1).
Məsələ 1.11. 5 ağ və 10 qara top olan qabdan iki top ardıcıl olaraq çəkilir. Hər iki topun ağ olması ehtimalını tapın (hadisə A).
Həll. Hadisələrə nəzər salaq: IN– ilk çəkilən top ağdır; İLƏ– çəkilən ikinci top ağdır. Sonra A = BC.
Təcrübə iki şəkildə həyata keçirilə bilər:
1) geri qaytarma ilə: çıxarılan top, rəngi düzəltdikdən sonra qaba qaytarılır. Bu vəziyyətdə hadisələr IN Və İLƏ müstəqil:
P(A) = P(B)∙R(S) = 5/15 ×5/15 = 1/9;
2) geri qaytarılmadan: çıxarılan top kənara qoyulur. Bu vəziyyətdə hadisələr IN Və İLƏ asılı:
P(A) = P(B)∙R(S/IN).
Bir hadisə üçün INşərtlər eynidir və üçün İLƏ vəziyyət dəyişdi. baş verdi IN, buna görə də qabda 4-ü ağ olmaqla 14 top qalıb.
Beləliklə, .
Məsələ 1.12. 50 lampa arasında 3-ü qeyri-standartdır. Eyni vaxtda çəkilmiş iki lampanın qeyri-standart olma ehtimalını tapın.
Həll. Hadisələrə nəzər salaq: A- birinci lampa qeyri-standartdır; IN- ikinci lampa qeyri-standartdır; İLƏ– hər iki lampa qeyri-standartdır. Aydındır ki C = A∙IN. Hadisə A 50 mümkün haldan 3-ü əlverişlidir, yəni. P(A) = 3/50. Əgər hadisə A artıq gəldi, sonra hadisə IN 49 mümkün haldan ikisi əlverişlidir, yəni. P(B/A) = 2/49. Beləliklə,
.
Məsələ 1.13. İki idmançı bir-birindən asılı olmayaraq eyni hədəfə atəş açır. Birinci idmançının hədəfi vurma ehtimalı 0,7, ikincinin isə 0,8-dir. Hədəfin vurulma ehtimalı nədir?
Həll. Ya birinci atıcı, ya ikinci, ya da hər ikisi onu vurarsa, hədəf vurulacaq, yəni. hadisə baş verəcək A+B, hadisə haradadır A hədəfə ilk vuran idmançı və hadisədən ibarətdir IN- ikinci. Sonra
P(A+IN)=P(A)+P(B)–P(A∙IN)=0, 7+0, 8–0, 7∙0,8=0,94.
Məsələ 1.14. Oxu zalında ehtimal nəzəriyyəsi üzrə altı dərslik var, onlardan üçü cildlidir. Kitabxanaçı təsadüfən iki dərslik götürdü. İki dərsliyin bağlanma ehtimalını tapın.
Həll. Hadisələrin təyinatlarını təqdim edək : A- alınan ilk dərslik cildlidir; IN– ikinci dərslik cildlidir. İlk dərsliyin bağlanma ehtimalı
P(A) = 3/6 = 1/2.
Alınan ilk dərsliyin cildli olması şərti ilə ikinci dərsliyin cildli olma ehtimalı, yəni. hadisənin şərti ehtimalı IN, belədir: P(B/A) = 2/5.
Hadisə ehtimallarının vurulması teoreminə görə hər iki dərsliyin bağlı olmasının arzu olunan ehtimalı bərabərdir.
P(AB) = P(A) ∙ P(B/A)= 1/2 · ∙ 2/5 = 0,2.
Məsələ 1.15. Sexdə 7 kişi və 3 qadın çalışır. Üç nəfər şəxsi heyət nömrələrindən istifadə etməklə təsadüfi seçilmişdir. Bütün seçilmiş şəxslərin kişi olma ehtimalını tapın.
Həll. Tədbir təyinatlarını təqdim edək: A- ilk kişi seçilir, IN- ikinci seçilən kişidir, İLƏ -Üçüncü seçilən kişi idi. Kişinin birinci seçilmə ehtimalı P(A) = 7/10.
Kişinin ikinci seçilmə ehtimalı, bir şərtlə ki, bir kişi artıq birinci seçilib, yəni. hadisənin şərti ehtimalı IN növbəti : P(B/A) = 6/9 = 2/3.
Artıq iki kişinin seçildiyini nəzərə alsaq, bir kişinin üçüncü seçilmə ehtimalı, yəni. hadisənin şərti ehtimalı İLƏ budur: P(C/AB) = 5/8.
Seçilmiş hər üç şəxsin kişi olması arzu olunan ehtimaldır  P(ABC) = P(A) P(B/A) P(C/AB) = 7/10 · 2/3 · 5/8 = 7/24.

1.2.6. Ümumi Ehtimal Formulu və Bayes Formulu

Qoy B 1 , B 2 ,…, Bn– qoşa uyğunsuz hadisələr (hipotezalar) və A– yalnız onlardan biri ilə birlikdə baş verə biləcək hadisə.
Bizə də bildirin P(B i) Və P(A/B i) (i = 1, 2, …, n).
Bu şərtlərdə düsturlar etibarlıdır:
(2.5)
(2.6)
Formula (2.5) adlanır ümumi ehtimal düsturu . Bir hadisənin baş vermə ehtimalını hesablayır A(ümumi ehtimal).
Formula (2.6) adlanır Bayes düsturu . Bu, hadisə baş verərsə, fərziyyələrin ehtimallarını yenidən hesablamağa imkan verir A baş verdi.
Nümunələr tərtib edərkən, fərziyyələrin tam bir qrup təşkil etdiyini güman etmək rahatdır.
Məsələ 1.16. Səbətdə eyni sortdan olan dörd ağacdan alma var. Birincidən - bütün almaların 15% -i, ikincidən - 35%, üçüncüdən - 20%, dördüncüdən - 30%. Yetişmiş almalar müvafiq olaraq 99%, 97%, 98%, 95% təşkil edir.
a) Təsadüfən alınan almanın yetişmə ehtimalı nədir (hadisə A).
b) Təsadüfən götürülmüş almanın yetişdiyini nəzərə alsaq, onun birinci ağacdan olma ehtimalını hesablayın.
Həll. a) 4 hipotezimiz var:
B 1 – 1-ci ağacdan təsadüfi götürülmüş alma götürülür;
B 2 – təsadüfi götürülmüş alma 2-ci ağacdan götürülür;
B 3 – təsadüfi götürülmüş alma 3-cü ağacdan götürülür;
B 4 – təsadüfi götürülmüş alma 4-cü ağacdan götürülür.
Şərtə görə onların ehtimalları: P(B 1) = 0,15; P(B 2) = 0,35; P(B 3) = 0,2; P(B 4) = 0,3.
Hadisənin şərti ehtimalları A:
P(A/B 1) = 0,99; P(A/B 2) = 0,97; P(A/B 3) = 0,98; P(A/B 4) = 0,95.
Təsadüfi olaraq alınan almanın yetişmə ehtimalı ümumi ehtimal düsturu ilə tapılır:
P(A)=P(B 1)∙P(A/B 1)+P(B 2)∙P(A/B 2)+P(B 3)∙P(A/B 3)+P(B 4)∙P(A/B 4)=0,969.
b) Bizim vəziyyətimiz üçün Bayes düsturu belə görünür:
.
Məsələ 1.17. Ağ top iki top olan bir qaba atılır, ondan sonra təsadüfi bir top çəkilir. Topların ilkin tərkibi (rəng əsasında) ilə bağlı bütün mümkün fərziyyələr eyni dərəcədə mümkün olarsa, çıxarılan topun ağ olması ehtimalını tapın.
Həll. ilə işarə edək A hadisə - ağ top çəkilir. Topların ilkin tərkibi ilə bağlı aşağıdakı fərziyyələr (fərziyyələr) mümkündür: B 1- ağ toplar yoxdur, B 2- bir ağ top, B 3- iki ağ top.
Ümumilikdə üç fərziyyə olduğundan və fərziyyələrin ehtimallarının cəmi 1-ə bərabər olduğundan (onlar tam hadisələr qrupunu təşkil etdiyinə görə), onda fərziyyələrin hər birinin ehtimalı 1/3-ə bərabərdir, yəni.
P(B 1) = P(B 2)= P(B 3) = 1/3.
Əvvəlcə qabda ağ topların olmadığını nəzərə alsaq, ağ topun çəkiləcəyinə dair şərti ehtimal, P(A/B 1)=1/3. Ağ topun çəkilməsinin şərti ehtimalı, əvvəlcə qabda bir ağ top olduğunu nəzərə alsaq, P(A/B 2)=2/3. Əvvəlcə qabda iki ağ top olduğunu nəzərə alsaq, ağ topun çəkiləcəyinin şərti ehtimalı P(A/B 3)=3/ 3=1.
Ümumi ehtimal düsturundan istifadə edərək ağ topun çəkilmə ehtimalını tapırıq:
R(A)=P(B 1)∙P(A/B 1)+P(B 2)∙P(A/B 2)+P(B 3)∙P(A/B 3)=1/3 1/3+1/3 2/3+1/3 1=2/3 .
Məsələ 1.18. İki maşın ümumi konveyerə gedən eyni hissələri istehsal edir. Birinci maşının məhsuldarlığı ikincidən iki dəfədir. Birinci maşın əla keyfiyyətli hissələrin orta hesabla 60%, ikincisi isə 84% istehsal edir. Konveyerdən təsadüfi götürülən hissə əla keyfiyyətə malik oldu. Bu hissənin birinci maşın tərəfindən istehsal olunma ehtimalını tapın.
Həll. ilə işarə edək A hadisə - əla keyfiyyətli detal. İki fərziyyə irəli sürmək olar: B 1- hissə birinci maşın tərəfindən istehsal edilmişdir və (çünki birinci maşın ikincidən iki dəfə çox hissə istehsal edir) P(A/B 1) = 2/3; B 2 - hissə ikinci maşın tərəfindən istehsal edilmişdir və P(B 2) = 1/3.
Parçanın birinci maşın tərəfindən istehsal edildiyi təqdirdə əla keyfiyyətə malik olmasının şərti ehtimalı, P(A/B 1)=0,6.
İkinci maşın tərəfindən istehsal olunarsa, hissənin əla keyfiyyətə malik olmasının şərti ehtimalı P(A/B 1)=0,84.
Təsadüfi olaraq alınan bir hissənin əla keyfiyyət olma ehtimalı ümumi ehtimal düsturuna görə bərabərdir.
P(A)=P(B 1) ∙P(A/B 1)+P(B 2) ∙P(A/B 2)=2/3·0,6+1/3·0,84 = 0,68.
Bayes düsturuna görə seçilmiş əla hissənin birinci maşın tərəfindən istehsal edilməsinin tələb olunan ehtimalı bərabərdir

Məsələ 1.19. Hər birində 20 hissədən ibarət üç hissə dəsti var. Birinci, ikinci və üçüncü partiyalardakı standart hissələrin sayı müvafiq olaraq 20, 15, 10-dur. Standart olan hissə təsadüfi olaraq seçilmiş partiyadan çıxarılıb. Parçalar partiyaya qaytarılır və bir hissə təsadüfi olaraq eyni partiyadan çıxarılır, bu da standartdır. Üçüncü partiyadan hissələrin çıxarılması ehtimalını tapın.
Həll. ilə işarə edək A hadisə - iki sınaqın hər birində (qayıtmaqla) standart hissə alındı. Üç fərziyyə (hipoteza) irəli sürmək olar: B 1 – hissələr birinci partiyadan çıxarılır, IN 2 - hissələr ikinci partiyadan çıxarılır; IN 3 – hissələr üçüncü partiyadan çıxarılır.
Hissələr verilmiş partiyadan təsadüfi olaraq çıxarılmışdır, buna görə də fərziyyələrin ehtimalları eynidir:  P(B 1) = P(B 2) = P(B 3) = 1/3.
Şərti ehtimalı tapaq P(A/B 1), yəni. iki standart hissənin ardıcıl olaraq birinci partiyadan çıxarılması ehtimalı. Bu hadisə etibarlıdır, çünki birinci partiyada bütün hissələr standartdır, belə ki  P(A/B 1) = 1.
Şərti ehtimalı tapaq P(A/B 2), yəni. iki standart hissənin ardıcıl olaraq ikinci partiyadan çıxarılması (və geri qaytarılması) ehtimalı: P(A/B 2)= 15/20 ∙ 15/20 = 9/16.
Şərti ehtimalı tapaq P(A/B 3), yəni. iki standart hissənin üçüncü partiyadan ardıcıl olaraq çıxarılması (və geri qaytarılması) ehtimalı:  P(A/B 3) = 10/20 · 10/20 = 1/4.
Bayes düsturuna görə hər iki çıxarılan standart hissənin üçüncü partiyadan götürülməsinin arzu olunan ehtimalı bərabərdir.

1.2.7. Təkrarlanan testlər

Bir neçə test aparılarsa və hadisənin baş vermə ehtimalı A hər bir testdə digər testlərin nəticələrindən asılı deyil, sonra belə testlər çağırılır A hadisəsinə münasibətdə müstəqil. Müxtəlif müstəqil sınaqlarda hadisə A ya fərqli ehtimallara, ya da eyni ehtimala malik ola bilər. Biz bundan sonra yalnız belə müstəqil testləri nəzərdən keçirəcəyik A eyni ehtimala malikdir.
Qoy istehsal olunsun n müstəqil sınaqlar, hər birində hadisə A görünə bilər və ya görünməyə bilər. Gəlin bir hadisənin baş vermə ehtimalını qəbul edək A hər sınaqda eyni, yəni bərabərdir r. Buna görə də hadisənin baş verməməsi ehtimalı A hər sınaqda da sabitdir və 1-ə bərabərdir r. Bu ehtimal sxemi adlanır Bernoulli sxemi. Gəlin özümüzə nə vaxt olması ehtimalını hesablamaq vəzifəsini qoyaq n Bernoulli test hadisəsi A gerçəkləşəcək k bir dəfə ( k– uğurların sayı) və buna görə də reallaşmayacaq p– bir dəfə. Bu hadisənin tələb olunmadığını vurğulamaq vacibdir A dəqiq təkrarlanır k müəyyən bir ardıcıllıqla. İstənilən ehtimalı işarə edirik R p (k). Məsələn, simvol R 5(3) beş sınaqda hadisənin düz 3 dəfə baş verməsi və buna görə də 2 dəfə baş verməməsi ehtimalı deməkdir.
Bu problem sözdə istifadə edərək həll edilə bilər Bernoulli düsturları, bu kimi görünür:
.
Məsələ 1.20. Bir gün ərzində elektrik enerjisi istehlakının müəyyən edilmiş normadan artıq olmama ehtimalı bərabərdir r=0,75. Növbəti 6 gündə 4 gün ərzində elektrik enerjisi sərfiyyatının normadan artıq olmama ehtimalını tapın.
Həll. 6 günün hər birində normal enerji istehlakı ehtimalı sabit və bərabərdir r=0,75. Nəticə etibarilə, hər gün həddindən artıq enerji istehlakı ehtimalı da sabit və bərabərdir q= 1–r=1–0,75=0,25.
Bernulli düsturuna görə tələb olunan ehtimal bərabərdir
.
Məsələ 1.21. İki bərabər şahmatçı şahmat oynayır. Nə daha çox ehtimal olunur: altı oyundan dörd və ya üç oyundan ikisini qazanmaq (heçə-heçə nəzərə alınmır)?
Həll. Bərabər şahmatçılar oynayır, buna görə qazanma ehtimalı r= 1/2, buna görə də itirmək ehtimalı q də 1/2-ə bərabərdir. Çünki bütün oyunlarda qalib gəlmə ehtimalı sabitdir və oyunların hansı ardıcıllıqla qazanılmasının əhəmiyyəti yoxdur, o zaman Bernoulli düsturu tətbiq olunur.
Dörd oyundan ikisinin qalib gəlməsi ehtimalını tapaq:

Altı oyundan üçünün qalib gəlməsi ehtimalını tapaq:

Çünki P 4 (2) > P 6 (3), onda altı oyundan üçdən dörd oyundan ikisini qazanmaq ehtimalı daha yüksəkdir.
Bununla belə, böyük dəyərlər üçün Bernoulli düsturundan istifadə edildiyini görmək olar n olduqca çətindir, çünki düstur böyük sayda əməliyyatlar tələb edir və buna görə də hesablama zamanı səhvlər toplanır; Nəticə etibarilə, yekun nəticə həqiqi olandan əhəmiyyətli dərəcədə fərqlənə bilər.
Bu problemi həll etmək üçün çoxlu sayda testlər üçün istifadə olunan bir neçə limit teoremləri var.
1. Puasson teoremi
Bernoulli sxemindən istifadə edərək çox sayda sınaq keçirərkən (ile n=> ∞) və az sayda əlverişli nəticələrlə k(uğur ehtimalının olduğu güman edilir səh kiçik), Bernoulli düsturu Puasson düsturuna yaxınlaşır
.
Misal 1.22. Müəssisə məhsul vahidi istehsal edərkən qüsurların baş vermə ehtimalı bərabərdir səh=0,001. 5000 ədəd məhsul istehsal edilərkən onlardan 4-dən azının qüsurlu olma ehtimalı nədir (hadisə). A Həll. Çünki n böyükdürsə, biz Laplasın yerli teoremindən istifadə edirik:

Gəlin hesablayaq x:
Funksiya – hətta, belə ki, φ(–1,67) = φ(1,67).
Əlavə A.1-dəki cədvəldən istifadə edərək φ(1.67) = 0.0989-u tapırıq.
Tələb olunan ehtimal P 2400 (1400) = 0,0989.
3. Laplasın inteqral teoremi
Ehtimal olarsa r hadisənin baş verməsi A Bernoulli sxeminə görə hər sınaqda sabit və sıfırdan və birdən fərqlidir, sonra çox sayda sınaq ilə n, ehtimal R p (k 1 , k 2) hadisənin baş verməsi A bu testlərdə k 1-ə k 2 dəfə təxminən bərabərdir
R p(k 1 , k 2) = Φ ( x"") – Φ ( x"), Harada
- Laplace funksiyası,

Laplas funksiyasındakı müəyyən inteqral analitik funksiyalar sinfi üzrə hesablana bilməz, ona görə də onu hesablamaq üçün cədvəldən istifadə olunur. 2-ci bənd, əlavədə verilmişdir.
Misal 1.24. Yüz müstəqil sınaqdan hər birində hadisənin baş vermə ehtimalı sabit və bərabərdir səh= 0,8. Hadisənin baş vermə ehtimalını tapın: a) ən azı 75 dəfə və 90 dəfədən çox olmamaqla; b) ən azı 75 dəfə; c) 74 dəfədən çox olmayaraq.
Həll. Laplasın inteqral teoremindən istifadə edək:
R p(k 1 , k 2) = Φ ( x"") – Φ( x"), burada Ф( x) – Laplas funksiyası,

a) Şərtə görə, n = 100, səh = 0,8, q = 0,2, k 1 = 75, k 2 = 90. Gəlin hesablayaq x"" Və x" :


Laplas funksiyasının tək olduğunu nəzərə alsaq, yəni. F(- x) = – Ф( x), alırıq
P 100 (75;90) = Ф (2,5) – Ф(–1,25) = Ф(2,5) + Ф(1,25).
Cədvələ görə S.2. tətbiqləri tapacağıq:
F(2,5) = 0,4938; 
Tələb olunan ehtimal
P 100 (75; 90) = 0,4938 + 0,3944 = 0,8882.
F(1,25) = 0,3944. k 1 = 75, k b) Hadisənin ən azı 75 dəfə baş verməsi tələbi o deməkdir ki, hadisənin baş vermə sayı 75, 76, ... və ya 100 ola bilər. Beləliklə, baxılan işdə o, qəbul edilməlidir.

.
2 = 100. Sonra
Tələb olunan ehtimal
P 100 (75;100) = (5) – (–1,25) = (5) + (1,25) = 0,5 + 0,3944 = 0,8944.
Cədvələ görə S.2. tətbiqi tapırıq Ф(1.25) = 0.3944; Ф(5) = 0,5. A c) Hadisə – “ Aən azı 75 dəfə çıxdı" və "
P 100 (0;74) = 1 – P 100 (75; 100) = 1 – 0,8944 = 0,1056.

zəhmət olmasa mətni ingilis dilinə tərcümə edin.

Qızıl Qapı Kiyevin simvoludur, bu günə qədər gəlib çatmış ən qədim memarlıq nümunələrindən biridir. Kiyevin Qızıl Qapısı 1164-cü ildə məşhur Kiyev şahzadəsi Yaroslav Müdrik tərəfindən tikilmişdir. Əvvəlcə onlar Cənub adlanırdılar və şəhərin müdafiə istehkamları sisteminin bir hissəsi idi, demək olar ki, şəhərin digər mühafizə qapılarından heç bir fərqi yoxdur. İlk rus mitropoliti Hilarion "Qanun və lütf haqqında xütbə"də "Böyük" adlandırdığı Cənub Qapısı idi. Möhtəşəm Ayasofya kilsəsi tikildikdən sonra “Böyük” darvaza cənub-qərb tərəfdən Kiyevə əsas quru girişi oldu. Onların əhəmiyyətini dərk edən Yaroslav Müdrik şəhərdə və Rusiyada hakim xristian dininə xərac vermək üçün qapıların üstündə kiçik bir Müjdə kilsəsi tikməyi əmr etdi. O vaxtdan bütün rus xronika mənbələri Kiyevin Cənub Qapısını Qızıl Qapı adlandırmağa başladılar. Darvazanın eni 7,5 m, keçidin hündürlüyü 12 m, uzunluğu isə təxminən 25 m olub.

le sport ce n"est pas seulement des cours de gym. C"est aussi sauter toujours plus haut nager jouer au ballon danser. le sport developpé ton corps və aussi ton cerveau. Quand tu prends l"escalier et non pas l"ascenseur tu fais du sport. Quand tu fais une cabane dans un arbre tu fais du sport. Quand tu te bats avec ton frere tu fais du sport. Quand tu cours, parce que tu es en retard a l"ecole, tu fais du sport.

Ehtimal nəzəriyyəsi, riyaziyyatın hər hansı bir sahəsi kimi, müəyyən bir sıra anlayışlarla işləyir. Ehtimal nəzəriyyəsinin əksər anlayışlarına tərif verilir, lakin bəziləri həndəsədə nöqtə, düz xətt, müstəvi kimi müəyyən edilməmiş əsas kimi qəbul edilir. Ehtimal nəzəriyyəsinin əsas anlayışı hadisədir. Hadisə, müəyyən bir zamandan sonra iki şeydən yalnız birinin deyilə biləcəyi bir şey kimi başa düşülür:

• · Bəli, baş verdi.
• · Xeyr, baş vermədi.

Məsələn, mənim lotereya biletim var. Lotereyanın nəticələri dərc olunandan sonra məni maraqlandıran hadisə - min rubl udmaq ya baş verir, ya da baş vermir. Hər hansı bir hadisə sınaq (və ya təcrübə) nəticəsində baş verir. Test (və ya təcrübə) hadisənin baş verdiyi şərtlərə aiddir. Məsələn, sikkə atmaq sınaqdır, üzərində “gerb”in görünməsi isə hadisədir. Hadisə adətən böyük latın hərfləri ilə işarələnir: A,B,C,.... Maddi aləmdəki hadisələri üç kateqoriyaya bölmək olar - etibarlı, qeyri-mümkün və təsadüfi.

Müəyyən bir hadisə baş verməsi əvvəlcədən məlum olan bir hadisədir. W hərfi ilə işarələnir.Beləliklə, adi zər atarkən altıdan çox xal yuvarlanmaması, tərkibində yalnız ağ toplar olan qabdan çəkildikdə ağ topun görünməsi və s.

Qeyri-mümkün hadisə, baş verməyəcəyi əvvəlcədən bilinən hadisədir. O, E hərfi ilə işarələnir. Qeyri-mümkün hadisələrə misal olaraq adi kart göyərtəsindən dörddən çox eys çəkmək, yalnız ağ və qara toplardan ibarət qabdan qırmızı top çəkmək və s.

Təsadüfi hadisə test nəticəsində baş verə bilən və ya olmaya bilən hadisədir. Əgər onlardan birinin baş verməsi digərinin baş vermə ehtimalını istisna edirsə, A və B hadisələri uyğunsuz adlanır. Beləliklə, zar atarkən istənilən mümkün sayda xalın görünməsi (A hadisəsi) başqa bir nömrənin (B hadisəsi) görünüşü ilə uyğun gəlmir. Cüt sayda xalların yuvarlanması tək nömrənin yuvarlanması ilə uyğun gəlmir. Əksinə, cüt sayda nöqtələrin yuvarlanması (A hadisəsi) və üçə (B hadisəsinin) çoxluğu olan bir sıra nöqtələrin yuvarlanması bir-birinə uyğun gəlməyəcək, çünki altı nöqtənin yuvarlanması həm A hadisəsinin, həm də B hadisəsinin baş verməsi deməkdir. onlardan birinin baş verməsi digərinin baş verməsini istisna etmir. Hadisələr üzərində əməliyyatlar həyata keçirə bilərsiniz. İki hadisənin birləşməsi C=AUB hadisəsidir ki, o zaman və yalnız bu A və B hadisələrindən ən azı biri baş verərsə, iki hadisənin kəsişməsi D=A?? B yalnız və yalnız A və B hadisələrinin hər ikisi baş verdikdə baş verən hadisədir.