4-ə arifmetik kvadrat kökün xassələrinin tətbiqi. Kvadrat kök

Mən yenə işarəyə baxdım... Və, gedək!

Sadə bir şeylə başlayaq:

Bir dəqiqə. bu, onu belə yaza biləcəyimiz deməkdir:

Anladım? Budur sizin üçün növbəti:

Yaranan ədədlərin kökləri tam olaraq çıxarılmayıbmı? Problem yoxdur - burada bəzi nümunələr var:

Əgər iki yox, daha çox çarpan varsa? Eyni! Kökləri çoxaltmaq üçün formula istənilən sayda amillərlə işləyir:

İndi tamamilə təkbaşına:

Cavablar:Əla! Razılaşın, hər şey çox asandır, əsas odur ki, vurma cədvəlini bilməkdir!

Kök bölgüsü

Köklərin çoxalmasını sıraladıq, indi bölmə xassəsinə keçək.

Nəzərinizə çatdırım ki, düstur ümumi görünüş belə görünür:

Hansı ki, o deməkdir bölmənin kökü köklərin bölünməsinə bərabərdir.

Yaxşı, bəzi nümunələrə baxaq:

Bütün elm budur. Budur bir nümunə:

Hər şey birinci nümunədəki kimi hamar deyil, amma gördüyünüz kimi, mürəkkəb bir şey yoxdur.

Bu ifadə ilə qarşılaşsanız nə olacaq:

Formulu əks istiqamətdə tətbiq etmək kifayətdir:

Və burada bir nümunə var:

Bu ifadə ilə də rastlaşa bilərsiniz:

Hər şey eynidir, yalnız burada fraksiyaları necə tərcümə edəcəyinizi xatırlamaq lazımdır (xatırlamırsınızsa, mövzuya baxın və qayıdın!). yadınızdadır? İndi qərar verək!

Əminəm ki, hər şeyin öhdəsindən gəldiniz, indi kökləri dərəcələrə qaldırmağa çalışaq.

Ekponentasiya

Kvadrat kök kvadrat olarsa nə olar? Bu sadədir, nömrənin kvadrat kökünün mənasını xatırlayın - bu, kvadrat kökü bərabər olan bir ədəddir.

Beləliklə, kvadrat kökü bərabər olan ədədin kvadratını versək, nə əldə edirik?

Yaxşı, əlbəttə!

Nümunələrə baxaq:

Bu sadədir, elə deyilmi? Kök fərqli dərəcədə olarsa necə? OK!

Eyni məntiqə əməl edin və dərəcələrlə xassələri və mümkün hərəkətləri xatırlayın.

“” mövzusunda nəzəriyyəni oxuyun və hər şey sizə son dərəcə aydın olacaq.

Məsələn, burada bir ifadə var:

Bu misalda dərəcə cütdür, bəs təkdirsə? Yenə səlahiyyətlərin xüsusiyyətlərini tətbiq edin və hər şeyi amil edin:

Bununla hər şey aydın görünür, amma rəqəmin kökünü gücə necə çıxarmaq olar? Budur, məsələn, bu:

Olduqca sadə, elə deyilmi? Əgər dərəcə ikidən çox olarsa? Dərəcələrin xüsusiyyətlərindən istifadə edərək eyni məntiqə əməl edirik:

Yaxşı, hər şey aydındır? Sonra nümunələri özünüz həll edin:

Və burada cavablar var:

Kök işarəsi altında daxil olmaq

Köklərlə nə etməyi öyrənməmişik! Yalnız kök işarəsinin altındakı nömrəni daxil etməyi məşq etmək qalır!

Bu, həqiqətən asandır!

Tutaq ki, bizdə yazılmış bir nömrə var

Bununla nə edə bilərik? Əlbəttə ki, üçü kökün altında gizlədin, üçlüyün kvadrat kök olduğunu unutmayın!

Bu bizə niyə lazımdır? Bəli, nümunələri həll edərkən imkanlarımızı genişləndirmək üçün:

Köklərin bu xüsusiyyətini necə bəyənirsiniz? Bu, həyatı çox asanlaşdırır? Mənim üçün bu, tam olaraq doğrudur! Yalnız Unutmamalıyıq ki, kvadrat kök işarəsi altında yalnız müsbət ədədlər daxil edə bilərik.

Bu nümunəni özünüz həll edin -
idarə etdin? Nə əldə etməli olduğunuzu görək:

Əla! Kök işarəsinin altındakı nömrəni daxil edə bildiniz! Gəlin eyni dərəcədə vacib bir şeyə keçək - kvadrat kök olan nömrələri necə müqayisə edəcəyimizə baxaq!

Köklərin müqayisəsi

Niyə kvadrat kökü olan ədədləri müqayisə etməyi öyrənməliyik?

Çox sadə. Çox vaxt imtahanda rast gəlinən iri və uzun ifadələrdə irrasional cavab alırıq (bu nə olduğunu xatırlayın? Bu gün artıq bu haqda danışmışdıq!)

Alınan cavabları koordinat xəttinə yerləşdirməliyik, məsələn, tənliyin həlli üçün hansı intervalın uyğun olduğunu müəyyən etmək lazımdır. Və burada problem yaranır: imtahanda kalkulyator yoxdur və onsuz hansı rəqəmin böyük, hansının az olduğunu necə təsəvvür etmək olar? Budur!

Məsələn, hansının daha böyük olduğunu müəyyənləşdirin: və ya?

Dərhal deyə bilməzsən. Yaxşı, kök işarəsi altında rəqəm daxil etməyin sökülmə xüsusiyyətindən istifadə edək?

Sonra davam edin:

Aydındır ki, kök işarəsinin altındakı rəqəm nə qədər böyükdürsə, kökün özü də bir o qədər böyükdür!

Bunlar. əgər, onda, .

Buradan qəti nəticəyə gəlirik ki. Və heç kim bizi başqa cür inandıra bilməz!

Çoxlu sayda köklərin çıxarılması

Bundan əvvəl, kökün işarəsi altında bir çarpan daxil etdik, amma onu necə çıxarmaq olar? Siz sadəcə onu amillərə daxil etməlisiniz və çıxardığınızı çıxartmalısınız!

Fərqli bir yol tutmaq və digər amillərə genişlənmək mümkün idi:

Pis deyil, hə? Bu yanaşmalardan hər hansı biri düzgündür, istədiyiniz kimi qərar verin.

Faktorinq bu kimi qeyri-standart problemləri həll edərkən çox faydalıdır:

Qorxmayaq, amma hərəkət edək! Gəlin hər bir amili kök altında ayrı-ayrı amillərə ayıraq:

İndi özünüz cəhd edin (kalkulyator olmadan! O, imtahanda olmayacaq):

Bu sondurmu? Yarı yolda dayanmayaq!

Hamısı budur, o qədər də qorxulu deyil, elə deyilmi?

Bu işlədi? Yaxşı, düzdür!

İndi bu nümunəni sınayın:

Ancaq misal çatlaması çətin bir qozdur, ona görə də ona necə yaxınlaşacağınızı dərhal anlaya bilməzsiniz. Amma təbii ki, biz bunun öhdəsindən gələ bilərik.

Yaxşı, faktorinqə başlayaq? Dərhal qeyd edək ki, bir ədədi aşağıdakılara bölmək olar (bölünmə əlamətlərini xatırlayın):

İndi özünüz cəhd edin (yenidən kalkulyator olmadan!):

Yaxşı, işlədi? Yaxşı, düzdür!

Gəlin ümumiləşdirək

1. Mənfi olmayan ədədin kvadrat kökü (arifmetik kvadrat kök) kvadratı bərabər olan qeyri-mənfi ədəddir.
   .
2. Sadəcə olaraq bir şeyin kvadrat kökünü götürsək, həmişə bir qeyri-mənfi nəticə əldə edirik.
3. Arifmetik kökün xüsusiyyətləri:
4. Kvadrat kökləri müqayisə edərkən yadda saxlamaq lazımdır ki, kök işarəsinin altındakı rəqəm nə qədər böyükdürsə, kökün özü də bir o qədər böyükdür.

Kvadrat kök necədir? Hər şey aydındır?

Kvadrat kök haqqında imtahanda bilməli olduğunuz hər şeyi sizə təlaşsız izah etməyə çalışdıq.

İndi növbə sənindir. Bu mövzu sizin üçün çətin olub-olmadığını bizə yazın.

Yeni bir şey öyrəndiniz, yoxsa hər şey aydın idi?

Şərhlərdə yazın və imtahanlarınızda uğurlar!

\(\sqrt(a)=b\), əgər \(b^2=a\), burada \(a≥0,b≥0\)

Nümunələr:

\(\sqrt(49)=7\), çünki \(7^2=49\)
\(\sqrt(0.04)=0.2\), çünki \(0.2^2=0.04\)

Ədədin kvadrat kökünü necə çıxarmaq olar?

Ədədin kvadrat kökünü çıxarmaq üçün özünüzə sual verməlisiniz: hansı ədədin kvadratı kök altında ifadə verəcək?

Məsələn. Kökü çıxarın: a)\(\sqrt(2500)\); b) \(\sqrt(\frac(4)(9))\); c) \(\sqrt(0.001)\); d) \(\sqrt(1\frac(13)(36))\)

a) Hansı ədədin kvadratı \(2500\) verəcək?

\(\sqrt(2500)=50\)

b) Hansı ədədin kvadratı \(\frac(4)(9)\) verəcək?

\(\sqrt(\frac(4)(9))\) \(=\)\(\frac(2)(3)\)

c) Hansı ədədin kvadratı \(0,0001\) verəcək?

\(\sqrt(0.0001)=0.01\)

d) Hansı ədədin kvadratı \(\sqrt(1\frac(13)(36))\) verəcək? Suala cavab vermək üçün onu səhv birinə çevirmək lazımdır.

\(\sqrt(1\frac(13)(36))=\sqrt(\frac(49)(16))=\frac(7)(6)\)

Şərh: Baxmayaraq ki, \(-50\), \(-\frac(2)(3)\), \(-0.01\),\(- \frac(7)(6)\), həmçinin suallara cavab verin, lakin onlar nəzərə alınmır, çünki kvadrat kök həmişə müsbətdir.

Kökün əsas xüsusiyyəti

Bildiyiniz kimi, riyaziyyatda hər hansı bir hərəkətin əksi var. Toplamanın çıxma, vurmada bölmə var. Kvadratlaşdırmanın tərsi kvadrat kök alır. Beləliklə, bu hərəkətlər bir-birini kompensasiya edir:

\((\sqrt(a))^2=a\)

Bu, ən çox istifadə olunan kökün əsas xüsusiyyətidir (OGE də daxil olmaqla)

Misal . (OGE-dən tapşırıq). \(\frac((2\sqrt(6))^2)(36)\) ifadəsinin qiymətini tapın

Həll :\(\frac((2\sqrt(6))^2)(36)=\frac(4 \cdot (\sqrt(6))^2)(36)=\frac(4 \cdot 6)(36 )=\frac(4)(6)=\frac(2)(3)\)

Misal . (OGE-dən tapşırıq). \((\sqrt(85)-1)^2\) ifadəsinin qiymətini tapın

Həlli:

Təbii ki, kvadrat köklərlə işləyərkən başqalarından istifadə etmək lazımdır.

Misal . (OGE-dən tapşırıq). \(5\sqrt(11) \cdot 2\sqrt(2)\cdot \sqrt(22)\) ifadəsinin qiymətini tapın.
Həlli:

Cavab: \(220\)

İnsanların həmişə unutduğu 4 qayda

Kök həmişə çıxarılmır

Misal: \(\sqrt(2)\),\(\sqrt(53)\),\(\sqrt(200)\),\(\sqrt(0,1)\) və s. – ədədin kökünü çıxarmaq həmişə mümkün olmur və bu normaldır!

Ədədin kökü, həm də ədəd

\(\sqrt(2)\), \(\sqrt(53)\) hər hansı bir xüsusi üsulla müalicə etməyə ehtiyac yoxdur. Bunlar ədədlərdir, amma tam ədədlər deyil, bəli, amma dünyamızda hər şey tam ədədlərlə ölçülmür.

Kök yalnız mənfi olmayan ədədlərdən götürülür

Buna görə də dərsliklərdə belə qeydləri görməyəcəksiniz \(\sqrt(-23)\),\(\sqrt(-1)\) və s.

Bu yazıda əsas şeylərə baxacağıq köklərin xüsusiyyətləri. Arifmetik kvadrat kökün xassələrindən başlayaq, onların düsturlarını verək və sübutlar verək. Bundan sonra n-ci dərəcəli arifmetik kökün xassələri ilə məşğul olacağıq.

Səhifə naviqasiyası.

Kvadrat kökün xassələri

Bu paraqrafda biz aşağıdakı əsaslarla məşğul olacağıq arifmetik kvadrat kökün xüsusiyyətləri:

Yazılı bərabərliklərin hər birində sol və sağ tərəflər dəyişdirilə bilər, məsələn, bərabərlik aşağıdakı kimi yenidən yazıla bilər. . Bu “əks” formada arifmetik kvadrat kökün xassələri o zaman tətbiq edilir ifadələrin sadələşdirilməsi"birbaşa" formada olduğu kimi.

İlk iki xassələrin sübutu arifmetik kvadrat kökün tərifinə və üzərində qurulur. Arifmetik kvadrat kökün son xüsusiyyətini əsaslandırmaq üçün yadda saxlamalı olacaqsınız.

Beləliklə, başlayaq iki qeyri-mənfi ədədin hasilinin arifmetik kvadrat kök xassəsinin sübutu: . Bunun üçün arifmetik kvadrat kökün tərifinə əsasən bunun kvadratı a·b-ə bərabər olan qeyri-mənfi ədəd olduğunu göstərmək kifayətdir. Gəlin bunu edək. İfadənin dəyəri mənfi olmayan ədədlərin hasili kimi qeyri-mənfidir. İki ədədin hasilinin gücünün xassəsi bərabərliyi yazmağa imkan verir , və arifmetik kvadrat kökün tərifinə görə və , onda .

Eyni şəkildə sübut edilmişdir ki, k qeyri-mənfi amil a 1 , a 2 , ..., a k hasilinin arifmetik kvadrat kökü bu amillərin arifmetik kvadrat köklərinin hasilinə bərabərdir. Həqiqətən, . Bu bərabərlikdən belə çıxır ki.

Nümunələr verək: və.

İndi sübut edək bölmənin arifmetik kvadrat kökünün xassəsi: . Bölmənin təbii dərəcədə xassəsi bərabərliyi yazmağa imkan verir , A , və mənfi olmayan bir ədəd var. Bu sübutdur.

Məsələn, və .

Bunu düzəltməyin vaxtıdır ədədin kvadratının arifmetik kvadrat kökünün xassəsi, bərabərlik şəklində yazılır. Bunu sübut etmək üçün iki halı nəzərdən keçirək: a≥0 və a üçün<0 .

Aydındır ki, a≥0 üçün bərabərlik doğrudur. Bunu görmək də asandır<0 будет верно равенство . Действительно, в этом случае −a>0 və (−a) 2 =a 2 . Beləliklə, sübut edilməli olan şey idi.

Budur bəzi nümunələr: Və .

Kvadrat kökün sadəcə sübut edilmiş xassəsi bizə aşağıdakı nəticəni əsaslandırmağa imkan verir, burada a istənilən real ədəd, m isə hər hansı . Əslində, gücü bir gücə yüksəltmək xüsusiyyəti a 2 m gücünü (a m) 2 ifadəsi ilə əvəz etməyə imkan verir, sonra .

Məsələn, Və .

n-ci kökün xassələri

Əvvəlcə əsasları sadalayaq n-ci köklərin xüsusiyyətləri:

Bütün yazılı bərabərliklər sol və sağ tərəfləri dəyişdirildikdə etibarlı qalır. Onlar da tez-tez bu formada, əsasən ifadələri sadələşdirən və dəyişdirən zaman istifadə olunur.

Kökün bütün elan edilmiş xassələrinin sübutu n-ci dərəcənin arifmetik kökünün müəyyən edilməsinə, dərəcənin xassələrinə və ədədin modulunun təyininə əsaslanır. Biz onları prioritet sırasına görə sübut edəcəyik.

Gəlin sübutdan başlayaq məhsulun n-ci kökünün xassələri . Mənfi olmayan a və b üçün ifadənin qiyməti də mənfi olmayan ədədlərin hasili kimi qeyri-mənfidir. Məhsulun xüsusiyyəti təbii gücə bərabərliyi yazmağa imkan verir . n-ci dərəcəli arifmetik kökün tərifi ilə və buna görə də, . Bu, nəzərdən keçirilən kökün xassəsini sübut edir.

Bu xassə k faktorlarının hasili üçün də eyni şəkildə sübut edilmişdir: mənfi olmayan a 1, a 2, …, a n ədədləri üçün Və .

Məhsulun n-ci kökünün xassəsindən istifadə nümunələri: Və .

sübut edək bölmənin kökünün xassəsidir. a≥0 və b>0 olduqda şərt ödənilir və .

Nümunələr göstərək: Və .

Gəlin davam edək. sübut edək ədədin n-ci kökünün n-ci dərəcəyə xassəsi. Yəni biz bunu sübut edəcəyik istənilən real a və təbii m üçün. a≥0 üçün bizdə bərabərliyi və bərabərliyi sübut edən və var açıq-aydın. Nə vaxt a<0 имеем и (son keçid cüt eksponentli dərəcənin xüsusiyyətinə görə etibarlıdır), bu da bərabərliyi sübut edir və tək dərəcənin kökündən danışarkən qəbul etdiyimizə görə doğrudur hər hansı mənfi olmayan ədəd üçün c.

Burada təhlil edilmiş kök xassəsindən istifadə nümunələri verilmişdir: və .

Kök kökünün mülkiyyətinin sübutuna davam edirik. Sağ və sol tərəfləri dəyişdirək, yəni bərabərliyin doğruluğunu sübut edəcəyik ki, bu da ilkin bərabərliyin etibarlılığını ifadə edəcək. Mənfi olmayan a ədədi üçün formanın kökü mənfi olmayan ədəddir. Bir dərəcəni bir gücə yüksəltmə xüsusiyyətini xatırladaraq və kökün tərifindən istifadə edərək, formanın bərabərlik zəncirini yaza bilərik. . Bu, nəzərdən keçirilən kökün kökünün xassəsini sübut edir.

Kök kökünün kökün xassəsi və s. də analoji şəkildə sübut olunur. Həqiqətən, .

Məsələn, Və .

Gəlin aşağıdakıları sübut edək kök eksponent daralma xassəsi. Bunun üçün kökün tərifinə əsasən, n·m qüvvəsinə qaldırıldıqda m-ə bərabər olan qeyri-mənfi ədədin olduğunu göstərmək kifayətdir. Gəlin bunu edək. Aydındır ki, a ədədi qeyri-mənfidirsə, onda a ədədinin n-ci kökü qeyri-mənfi ədəddir. Eyni zamanda , bu sübutu tamamlayır.

Budur təhlil edilmiş kök xassəsindən istifadə nümunəsi: .

Aşağıdakı xassəni – formanın dərəcəsinin kökünün xassəsini sübut edək . Aydındır ki, a≥0 olduqda dərəcə mənfi olmayan ədəddir. Üstəlik, onun n-ci qüvvəsi m-ə bərabərdir, həqiqətən, . Bu, nəzərdən keçirilən dərəcənin xüsusiyyətini sübut edir.

Məsələn, .

Gəlin davam edək. Sübut edək ki, a şərti ödənilən istənilən müsbət a və b ədədləri üçün , yəni a≥b. Və bu a şərtinə ziddir

Nümunə olaraq düzgün bərabərsizliyi verək .

Nəhayət, n-ci kökün son xassəsini sübut etmək qalır. Əvvəlcə bu xassənin birinci hissəsini isbat edək, yəni m>n və 0 üçün sübut edək . Sonra təbii göstəricili dərəcənin xüsusiyyətlərinə görə bərabərsizlik təmin edilməlidir , yəni a n ≤a m . Və m>n və 0 üçün yaranan bərabərsizlik

Eynilə, ziddiyyətlə sübut olunur ki, m>n və a>1 üçün şərt ödənilir.

Sübut edilmiş kök xassəsinin konkret ədədlərdə tətbiqinə dair nümunələr verək. Məsələn, bərabərsizliklər və doğrudur.

İstinadlar.